กฎการหาอนุพันธ์

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded = Differential

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}

บทความนี้เป็นการสรุปสูตรและกฎการหาอนุพันธ์ หรือกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในแคลคูลัส

กฎการหาอนุพันธ์เบื้องต้น

ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริง (R) ที่ให้ค่าจริง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว สูตรด้านล่างนี้จะใช้ได้ทุกเมื่อที่มีการนิยามไว้อย่างรัดกุม รวมถึงกรณีของจำนวนเชิงซ้อน (C) ด้วย

กฎพจน์ค่าคงที่

สำหรับฟังก์ชั่น $f$ และ $g$ และจำนวนจริง $a$ และ $b$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $h(x)=af(x)+bg(x)$ ในส่วน $x$ คือ$h^{\prime }(x)=a{f}^{\prime }(x)+b{g}^{\prime }(x)$

การพิสูจน์

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(c)-(c)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }0\\ & =0\end{array}$

บทพิสูจน์แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ เป็น 0

คำอธิบายททางเรขาคณิต

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด ๆ หนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดนั้น ความชันของฟังก์ชันคงที่เป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสของฟังก์ชันคงที่เป็นแนวนอนและมุมเป็นศูนย์

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่าของฟังก์ชันคงที่ y จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้นหรือลดลง

ไฟล์:Tangent function animation.gif

ในแต่ละจุดอนุพันธ์คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดนั้น หมายเหตุ อนุพันธ์ที่จุด A เป็นค่าบวก โดยแสดงเป็นเส้นสีเขียวประ–ค่าลบเป็นเส้นสีแดงประ และ เป็นศูนย์ เมื่อเป็นเส้นสีดำทึบ

การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น

สำหรับฟังก์ชัน$f$ และ $g$ และจำนวนจริง $a$ และ $b$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $h(x)=af(x)+bg(x)$ ที่ส่วน $x$ คือ $h^{\prime }(x)=a{f}^{\prime }(x)+b{g}^{\prime }(x)$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

$$\frac{d(af+bg)}{dx}=a\frac{df}{dx}+b\frac{dg}{dx}$$

กรณีพิเศษต่าง ๆ ได้แก่

• กฎตัวประกอบค่าคงที่ $$(af{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }$$
• กฎผลรวม $$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$$
• กฎผลต่าง $$(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }.$$

กฎผลคูณ

สำหรับฟังก์ชั่น $f$ และ $g$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $h(x)=f(x)g(x)$ ในส่วน $x$ คือ

$$h^{\prime }(x)=(fg{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

$$\frac{d(fg)}{dx}=g\frac{df}{dx}+f\frac{dg}{dx}$$

  ไปที่แนวคิดของการจับคู่ และอนุพันธ์ที่เป็นการจับคู่ $\text{D}$ ซึ่งเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้

$$[\text{D}(f\circ g){]}_x=[\text{D}f{]}_{g(x)}\cdot [\text{D}g{]}_x$$

กฎลูกโซ่

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $h(x)=f(g(x))$ คือ$$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป $$\frac{d}{dx}h(x)={\frac{d}{dz}f(z)|}_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x)$$

มักจะย่อเป็น $$\frac{dh(x)}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot \frac{dg(x)}{dx}$$

สำหรับค่า $c$ ใด ๆ เมื่อ $c\in ℝ$, ถ้า $f(x)$ คือฟังก์ชันคงที่ โดยที่ $f(x)=c$ แล้ว $\frac{df}{dx}=0$

กฎฟังก์ชันผกผัน

ถ้าฟังก์ชัน แม่แบบ:Mvar มีฟังก์ชันผกผัน แม่แบบ:Mvar ซึ่งหมายความว่า $g(f(x))=x$ และ $f(g(y))=y$ แล้ว $$g^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ g}$$

เมื่อ $r=1$ จะเป็นกรณีพิเศษถ้า $f(x)=x$ แล้ว $f^{\prime }(x)=1$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

กฎยกกำลัง พหุนาม ผลหาร และส่วนกลับ

กฎพหุนามหรือกฎยกกำลังเบื้องต้น

ถ้า $f(x)=x^r$ สำหรับจำนวนจริงใดๆ $r\ne 0$ แล้ว

$f^{\prime }(x)=r{x}^{r-1}$

การรวมกฎยกกำลังเข้ากับกฎผลรวมและกฎการคูณด้วยค่าคงที่ ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามใด ๆ ได้

กฎส่วนกลับ

อนุพันธ์ของ $h(x)=\frac{1}{f(x)}$ สำหรับฟังก์ชัน แม่แบบ:Mvar (ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด) ใด ๆ คือ

$h^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{(f(x){)}^2}$ โดยที่ แม่แบบ:Mvar ไม่เป็นศูนย์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

$\frac{d(1/f)}{dx}=-\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}$

กฎส่วนกลับสามารถได้มาจากกฎผลหาร หรือจากการรวมกันของกฎยกกำลังและกฎลูกโซ่

กฎผลหาร

ถ้า แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar เป็นฟังก์ชัน แล้ว

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-g^{\prime }f}{g^2}$ โดยที่ แม่แบบ:Mvar ไม่เป็นศูนย์

ซึ่งสามารถได้มาจากกฎผลคูณและกฎส่วนกลับ

กฎยกกำลังวางนัยทั่วไป

$(f^g{)}^{\prime }=\left(e^{g\ln f}\right)=f^g(f^{\prime }\frac{g}{f}+g^{\prime }\ln f)$

ที่ซึ่งเมื่อทั้งสองฝั่งได้นิยามไว้อย่างรัดกุม

กรณีพิเศษ

• ถ้า $f(x)=x^a$ แล้ว $f^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}$ เมื่อ แม่แบบ:Mvar เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ และ แม่แบบ:Mvar เป็นบวก
• กฎส่วนกลับเป็นกรณีพิเศษโดยที่ $g(x)=-1$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

$\frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right)=a{c}^{ax}\ln c,c>0$

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก แม่แบบ:Mvar แต่อนุพันธ์เมื่อ $c<0$ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

$\frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right)=a{e}^{ax}$

$\frac{d}{dx}\left({\log }_{c}x\right)=\frac{1}{x\ln c},c>1$

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก แม่แบบ:Mvar แต่ให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อนหาก $c<0$ -

$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},x>0$

$\frac{d}{dx}(\ln |x|)=\frac{1}{x},x\ne 0$

$\frac{d}{dx}(W(x))=\frac{1}{x+e^{W(x)}},x>-\frac{1}{e}.$ เมื่อ $W(x)$ คือฟังก์ชันดับเบิลยูลัมแบร์ท

$\frac{d}{dx}\left(x^x\right)=x^x(1+\ln x).$

$\frac{d}{dx}(f(x{)}^{g(x)})=g(x)f(x{)}^{g(x)-1}\frac{df}{dx}+f(x{)}^{g(x)}\ln (f(x))\frac{dg}{dx},\text{if }f(x)>0,\text{ and if }\frac{df}{dx}\text{ and }\frac{dg}{dx}\text{ exist.}$

$\frac{d}{dx}(f_1(x{)}^{f_2(x{)}^{{(...)}^{f_n(x)}}})=\left[\sum _{k=1}^n\frac{\partial }{\partial x_k}(f_1(x_1{)}^{f_2(x_2{)}^{{(...)}^{f_n(x_n)}}})\right]{|}_{x_1=x_2=...=x_n=x},\text{ if }{f}_{i<n}(x)>0\text{ and }$ $\frac{d{f}_i}{dx}\text{ exists. }$

อนุพันธ์เชิงลอการิทึม

อนุพันธ์เชิงลอการิทึมเป็นอีกวิธีหนึ่งในการระบุกฎสำหรับการหาอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน (โดยใช้กฎลูกโซ่):

$(\ln f{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}$ โดยที่ แม่แบบ:Mvar เป็นบวก

อนุพันธ์เชิงลอการิทึม เป็นเทคนิคที่ใช้ลอการิทึมและกฎการหาอนุพันธ์เพื่อทำให้นิพจน์บางอย่างง่ายขึ้นก่อนที่จะนำอนุพันธ์ไปใช้จริงแม่แบบ:ต้องการอ้างอิงเฉพาะส่วน

ลอการิทึมสามารถใช้เพื่อลบเลขยกกำลัง แปลงการคูณเป็นการรวม และแปลงการหารเป็นการลบ ซึ่งแต่ละค่าอาจนำไปสู่นิพจน์ที่ง่ายขึ้นในการหาอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$	$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$	$\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$	$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{d}{dx}\cot x=-{\csc }^{2}x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-1-{\cot }^{2}x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}$

ค่าสัมบูรณ์ในตารางด้านบนมีไว้สำหรับเมื่อช่วงของซีแคนต์ผกผันเป็น $[0,\pi ]$ และเมื่อช่วงของโคซีแคนต์ผกผันเป็น $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว $\arctan (y,x)$ ค่าของฟังก์ชันอยู่ในช่วง $[-\pi ,\pi ]$ และสะท้อนจตุภาคของจุด $(x,y)$ สำหรับจตุภาคที่หนึ่งและสี่ (เช่น $x>0$ ) มี $\arctan (y,x>0)=\arctan (y/x)$ อนุพันธ์ย่อยขอฟังก์ชันคือ

$\frac{\partial \arctan (y,x)}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}$และ$\frac{\partial \arctan (y,x)}{\partial x}=\frac{-y}{x^2+y^2}.$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
$\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{d}{dx}\tanh x={\mathrm{sech}}^{2}x=1-{\tanh }^{2}x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{artanh}x=\frac{1}{1-x^2}$
$\frac{d}{dx}\mathrm{csch}x=-\mathrm{csch}x\coth x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$
$\frac{d}{dx}\mathrm{sech}x=-\mathrm{sech}x\tanh x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\coth x=-{\mathrm{csch}}^{2}x=1-{\coth }^{2}x$	$\frac{d}{dx}\mathrm{arcoth}x=-\frac{1}{x^2-1}$

ดูฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกสำหรับข้อจำกัดเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพิเศษ

ฟังก์ชันแกมมา

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}\ln tdt\\ & =\mathrm{\Gamma }(x)(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln (1+\frac{1}{n})-\frac{1}{x+n})-\frac{1}{x})\\ & =\mathrm{\Gamma }(x)\psi (x)\end{array}$แม่แบบ:Paragraph break กับ $\psi (x)$ เป็น ฟังก์ชันไดแกมม่า ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของ $\mathrm{\Gamma }(x)$ ในบรรทัดด้านบน

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^x}$

$\begin{array}{cc}{\zeta }^{\prime }(x)& =-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n^x}=-\frac{\ln 2}{2^x}-\frac{\ln 3}{3^x}-\frac{\ln 4}{4^x}-\cdots \\ & =-\sum _{p\text{ prime}}\frac{p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x}{)}^2}\prod _{q\text{ prime},q\ne p}\frac{1}{1-q^{-x}}\end{array}$

อนุพันธ์ของปริพันธ์

แม่แบบ:หลัก สมมติว่าจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ในส่วน x ของฟังก์ชัน

$F(x)=\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt$

ที่ฟังก์ชั่น $f(x,t)$ และ $\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)$ ต่อเนื่องทั้ง $t$ และ $x$ ในบางบริเวณของระนาบ $(t,x)$ รวมทั้ง $a(x)\le t\le b(x),$ $x_0\le x\le x_1$ และฟังก์ชัน $a(x)$ และ $b(x)$ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ต่อเนื่องได้สำหรับ $x_0\le x\le x_1$ - แล้วเมื่อ $x_0\le x\le x_1$ -

$F^{\prime }(x)=f(x,b(x))b^{\prime }(x)-f(x,a(x))a^{\prime }(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt$

สูตรนี้เป็นรูปแบบทั่วไปของ กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ และสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

อนุพันธ์อันดับดับที่ n

มีกฎบางกฎมีขึ้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อับดับที่ แม่แบบ:Mvar ของฟังก์ชัน โดยที่ แม่แบบ:Mvar เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งรวมถึง

สูตรของฟาอาดิบรูโน

ถ้า แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar สามารถหาอนุพันธ์ได้ แม่แบบ:Mvar ครั้ง $$\frac{d^n}{d{x}^n}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_m\}}{f}^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^n\frac{1}{k_m!}{(g^{(m)}(x))}^{k_m}$$ เมื่อ $r={\sum }_{m=1}^{n-1}{k}_m$ และเซต $\{k_m\}$ ประกอบด้วยคำตอบจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์ ${\sum }_{m=1}^{n}m{k}_m=n$ -

กฎทั่วไปของไลบ์นิซ

ถ้า แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar สามารถหาอนุพันธ์ได้ แม่แบบ:Mvar ครั้ง $$\frac{d^n}{d{x}^n}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{d^{n-k}}{d{x}^{n-k}}f(x)\frac{d^k}{d{x}^k}g(x)$$

ดูเพิ่ม

• แม่แบบ:Annotated link
• แม่แบบ:Annotated link
• แม่แบบ:Annotated link
• แม่แบบ:Annotated link
• แม่แบบ:Annotated link
• แม่แบบ:Annotated link
• แม่แบบ:Annotated link
• แม่แบบ:Annotated link
• แม่แบบ:Annotated link
• แม่แบบ:Annotated link
• แม่แบบ:Annotated link
• แม่แบบ:Annotated link

ที่มาและอ่านเพิ่มเติม

กฎเหล่านี้มีอยู่ในหนังสือหลายเล่ม ทั้งแคลคูลัสพื้นฐานและขั้นสูง ในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ สิ่งที่อยู่ในบทความนี้ (นอกเหนือจากอ้างอิงข้างต้น) สามารถพบได้ใน

• คู่มือคณิตศาสตร์ของสูตรและตาราง (ฉบับที่ 3), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, แม่แบบ:ISBN.
• คู่มือสูตรฟิสิกส์ของเคมบริดจ์, G. Woan, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, แม่แบบ:ISBN.
• วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, แม่แบบ:ISBN.
• คู่มือ NIST ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, แม่แบบ:ISBN.

แหล่งข้อมูลอื่น

• เครื่องคำนวณอนุพันธ์พร้อมการทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย