แคลคูลัสเวกเตอร์

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง {{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded =

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}} แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงของของเวกเตอร์ในมิติที่สูงกว่าหรือเท่ากับสองมิติ เนื้อหาประกอบด้วยเทคนิคในการแก้ปัญหาและสูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องต่าง ๆ ซึ่งมีประโยชน์ใช้งานมากในทางวิศวกรรมและฟิสิกส์

สนามเวกเตอร์หมายถึงการระบุค่าเวกเตอร์ให้กับทุก ๆ จุดในปริภูมิที่พิจารณา เช่นเดียวกับสนามสเกลาร์ ซึ่งเป็นการระบุค่าสเกลาร์ให้กับทุก ๆ จุดในปริภูมิ เช่น อุณหภูมิของน้ำในสระ เป็นสนามสเกลาร์ โดยเป็นการระบุค่าอุณหภูมิ ซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร์ให้กับแต่ละตำแหน่ง ส่วนการไหลของน้ำในสระนั้นเป็นสนามเวกเตอร์ เนื่องจากการไหลของน้ำที่แต่ละจุดนั้นจะถูกระบุด้วย เวกเตอร์ความเร็ว

ตัวดำเนินการที่สำคัญในแคลคูลัสเวกเตอร์

• เกรเดียนต์ (gradient) ใช้สัญลักษณ์ $\mathrm{grad}\phi$ หรือ $\mathrm{\nabla }\phi$ : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดอัตราและทิศทาง ความเปลี่ยนแปลงของสนามสเกลาร์ ดังนั้นเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์ จะได้เป็นสนามเวกเตอร์
• ไดเวอร์เจนซ์ (divergence) ใช้สัญลักษณ์ $\mathrm{div}\overrightarrow{F}$ หรือ $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}$ : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดความลู่เข้าหรือลู่ออก (เป็นจุดกำเนิดสนาม) ของสนามเวกเตอร์ ณ จุดใด ๆ
• เคิร์ล (curl) ใช้สัญลักษณ์ $\mathrm{curl}\overrightarrow{F}$ หรือ $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}$ : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดระดับความหมุนวน ณ จุดใด ๆ โดยเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ จะได้เป็นอีกสนามเวกเตอร์หนึ่ง

ตัวดำเนินการอีกตัวหนึ่งคือตัวดำเนินการลาปลัส ได้จากการประยุกต์ไดเวอร์เจนซ์และเกรเดียนต์รวมกัน

ทฤษฎีบทที่สำคัญที่เกี่ยวข้อง

• ทฤษฎีบทเกรเดียนต์
• ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
• ทฤษฎีบทของสโตกส์

การวิเคราะห์เหล่านี้สามารถทำความเข้าใจได้ไม่ยาก โดยการใช้วิธีการทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นสาขาย่อยหนึ่งของ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์)

การดำเนินการเวกเตอร์

การดำเนินการพีชคณิต

พื้นฐานพีชคณิต (ไม่ใช่การหาอนุพันธ์) การดำเนินการในแคลคูลัสเวกเตอร์จะเรียกว่าพีชคณิตเวกเตอร์ ถูกกำหนดไว้สำหรับปริภูมิเวกเตอร์และได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กันทั่วโลกกับสนามเวกเตอร์และประกอบด้วย

• การคูณสเกลาร์ การคูณของสนามสเกลาร์และสนามเวกเตอร์ย่อมได้สนามเวกเตอร์ $a𝐯$;
• การบวกเวกเตอร์ การบวกของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์ ${𝐯}_1+{𝐯}_2$;
• ผลคูณจุด การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามสเกลาร์ ${𝐯}_1\cdot {𝐯}_2$;
• ผลคูณไขว้ การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์ ${𝐯}_1\times {𝐯}_2$;

นอกจากนี้ยังมีผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสามเวกเตอร์ 2 แบบ คือ:

ผลคูณเชิงสเกลาร์สามชั้น

ผลคูณจุดของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์: ${𝐯}_1\cdot ({𝐯}_2\times {𝐯}_3)$;

ผลคูณเชิงเวกเตอร์สามชั้น

ผลคูณไขว้ของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์: ${𝐯}_1\times ({𝐯}_2\times {𝐯}_3)$ or $({𝐯}_3\times {𝐯}_2)\times {𝐯}_1$;

แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นการดำเนินการพื้นฐานที่มักจะถูกนำมาใช้น้อยกว่า, ดังเช่นที่สามารถแสดงได้ในแง่ของผลคูณจุดและผลคูณไขว้ก็ตาม

การดำเนินการอนุพันธ์

แคลคูลัสเวกเตอร์ศึกษาเกี่ยวกับตัวดำเนินการอนุพันธ์ต่าง ๆ ที่กำหนดไว้ในสนามสเกลาร์หรือสนามเวกเตอร์, ซึ่งโดยปกติจะถูกแสดงในเทอมของตัวดำเนินการเดล ($\mathrm{\nabla }$) หรือที่เรียกกันว่า "nabla" มีการดำเนินการอนุพันธ์ที่สำคัญที่สุดอยู่ห้าอย่างในแคลคูลัสเวกเตอร์:

การดำเนินการ	สัญกรณ์	คำอธิบาย	โดเมน/พิสัย
เกรเดียนต์	$\mathrm{grad}(f)=\mathrm{\nabla }f$	วัดอัตราและทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในสนามสเกลาร์	แผนที่สนามสเกลาร์สู่สนามเวกเตอร์
เคิร์ล	$\mathrm{curl}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\times 𝐅$	วัดแนวโน้มของการหมุนในบริเวณโดยรอบจุดในสนามเวกเตอร์	แผนที่สนามเวกเตอร์ (เทียม) สู่สนามเวกเตอร์
ไดเวอร์เจนซ์	$\mathrm{div}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$	วัดสเกลาร์ของแหล่งที่มาหรือแหล่งกำเนิดกับสเกลาร์ของแหล่งที่รับเข้าไปหรือแหล่งจุดจบที่จุดที่กำหนดในสนามเวกเตอร์	แผนที่สนามเวกเตอร์สู่สนามสเกลาร์
ลาปลาเซียน เวกเตอร์	${\mathrm{\nabla }}^2𝐅=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐅)$	องค์ประกอบของการดำเนินการเคริล์และการดำเนินการเกรเดียนต์	แผนที่ระหว่างสนามเวกเตอร์
ลาปลาเซียน	$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f$	องค์ประกอบของการดำเนินการไดเวอร์เจนซ์และการดำเนินการเกรเดียนต์	แผนที่ระหว่างสนามสเกลาร์