เคิร์ล

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เคิร์ล (แม่แบบ:Langx) เป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์ที่อธิบายการหมุนของสนามเวกเตอร์ ในสามมิติ เคิร์ลที่แต่ละจุดในสนามเวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ซึ่งความยาวและทิศทางแสดงถึงลักษณะการหมุนที่จุดนั้น

ทิศทางของเคิร์ลคือแกนของการหมุนตามที่กำหนดโดยกฎมือขวา และขนาดของเคิร์ลคือขนาดของการหมุน เช่น ถ้าสนามเวกเตอร์แทนความเร็วการไหลของของไหลที่กำลังเคลื่อนที่ แล้วเคิร์ลจะเป็น ความหนาแน่นของการไหลเวียน ของของไหล สนามเวกเตอร์ที่เคิร์ลเป็นศูนย์เรียกว่าสนามไร้การหมุน (irrotational) เคิร์ลเป็นการหาอนุพันธ์รูปแบบหนึ่งสำหรับสนามเวกเตอร์ และทฤษฎีบทที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสสำหรับเคิร์ลคือ ทฤษฎีบทของสโตกส์ ซึ่งเชื่อมโยงปริพันธ์ตามผิวของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์กับปริพันธ์ตามเส้นของสนามเวกเตอร์รอบเส้นโค้งขอบเขตของพื้นผิวนั้น

สัญกรณ์ของเคิร์ล เขียนเป็น แม่แบบ:Math หรือ แม่แบบ:Math ซึ่งใช้ตัวดำเนินการเดลและผลคูณไขว้ บางครั้งอาจเรียกเคิร์ลว่า โรเตชัน (rotation) หรือ โรเตชันนอล (rotational) เขียนเป็นสัญกรณ์ว่า แม่แบบ:Math

เคิร์ลแตกต่างจากตัวดำเนินการเกรเดียนต์และไดเวอร์เจนซ์ เนื่องจากวางนัยทั่วไปไปยังมิติอื่น ๆ ได้ยากกว่า มีการวางนัยทั่วไปอยู่หลายวิธี แต่จะมีเพียงในสามมิติเท่านั้นที่เคิร์ลของสนามเวกเตอร์จะยังได้ผลลัพธ์เป็นสนามเวกเตอร์เหมือนเดิม ปรากฏการณ์นี้คล้ายกับ ผลคูณไขว้ ซึ่งนิยามในสามมิติและขยายไปใช้ในมิติอื่นได้ยากเช่นเดียวกัน ความสัมพันธ์นี้สะท้อนในสัญกรณ์ ∇× สำหรับเคิร์ล

ชื่อ "เคิร์ล" เสนอเป็นครั้งแรกโดย เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ใน ค.ศ. 1871 แต่แนวคิดนี้มีการใช้งานตั้งแต่ ค.ศ. 1839 ในทฤษฎีสนามเชิงแสงของเจมส์ แมกคัลลัค

องค์ประกอบของ แม่แบบ:Math ที่ตำแหน่ง แม่แบบ:Math ในทิศปกติและทิศสัมผัสกับเส้นโค้งปิด แม่แบบ:Math ในระนาบแบน ที่ล้อมรอบพื้นที่เชิงเวกเตอร์ แม่แบบ:Math

นิยาม

เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ แม่แบบ:Math (แทนด้วย แม่แบบ:Math หรือ แม่แบบ:Math หรือ แม่แบบ:Math) ที่จุดหนึ่ง ๆ นิยามจากภาพฉายของมันลงบนเส้นต่าง ๆ ที่ผ่านจุดนั้น ถ้า แม่แบบ:Math เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใด ๆ ภาพฉายของเคิร์ลของ แม่แบบ:Math ไปบน แม่แบบ:Math นิยามโดยลิมิตของปริพันธ์ตามเส้นปิดในระนาบที่ตั้งฉากกับ n̂ หารด้วยพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ เมื่อเส้นทางการหาปริพันธ์ลดขนาดลงสู่จุด

ตัวดำเนินการเคิร์ลส่งฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง แม่แบบ:Math ให้ได้ฟังก์ชันต่อเนื่อง แม่แบบ:Math และโดยทั่วไปแล้วจะแปลงฟังก์ชัน แม่แบบ:Mathใน แม่แบบ:Math เป็นฟังก์ชัน แม่แบบ:Math ใน แม่แบบ:Math

แบบแผนสำหรับการวางแนวเวกเตอร์ของปริพันธ์ตามเส้น

โดยปริยาย นิยามของเคิร์ล เขียนเป็นสมการได้เป็น

$(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)(p)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{A\to 0}{\lim }(\frac{1}{|A|}{\oint }_C𝐅\cdot d𝐫)\widehat{𝐧}$

โดยที่ แม่แบบ:Math คือ อินทิกรัลตามเส้น ตามขอบเขตของพื้นที่รอบจุดและ แม่แบบ:Math คือขนาดของพื้นที่ ถ้า แม่แบบ:Math เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบ และ แม่แบบ:Math เป็นเวกเตอร์ปกติที่ในระนาบที่ชี้ออกไปด้านนอกพื้นที่ (ดูภาพขวา) แล้ว ทิศทางของ แม่แบบ:Mvar จะเลือกให้เวกเตอร์สัมผัส แม่แบบ:Math ของ C ทำให้ แม่แบบ:Math เป็นชุดเวกเตอร์ที่เป็นไปตามกฎมือขวา

การใช้งาน

ในทางปฏิบัติ นิยามข้างต้นไม่ค่อยได้ใช้เพราะในเกือบทุกกรณี ตัวดำเนินการเคิร์ลสามารถนำมาใช้ในกรอบของระบบพิกัดเชิงเส้นโค้งบางระบบ ที่มีการคำนวณหาสูตรที่ง่ายกว่าเอาไว้แล้ว

สัญกรณ์ แม่แบบ:Math มีต้นกำเนิดในความคล้ายคลึงกับผลคูณไขว้สามมิติ และมีประโยชน์ในการช่วยจำสูตรหาเคิร์ลในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดย แม่แบบ:Math แทนตัวดำเนินการเดล สัญกรณ์เช่นนี้ถือเป็นปกติใน ฟิสิกส์ และ พีชคณิต

เมื่อกระจายสูตร แม่แบบ:Math ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ (ดู เดลในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม สำหรับสูตรในระบบพิกัดทรงกลม และทรงกระบอก พิกัด) สำหรับ แม่แบบ:Math ที่มีองก์ประกอบเวกเตอร์เป็น แม่แบบ:Math จะได้เป็น

$\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|$

โดยที่ i, j, และ k เป็น เวกเตอร์หน่วย สำหรับ แกน x y และ z ตามลำดับ สิ่งนี้จะขยายออกดังนี้:

$(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})𝐤$

แม้ว่าจะแสดงในรูปแบบของพิกัด ผลลัพธ์นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนที่เหมาะสมของแกนพิกัด แต่จะพลิกด้านภายใต้การสะท้อน