ระบบพิกัดทรงกระบอก

ระบบพิกัดทรงกระบอก มี O เป็นจุดกำเนิด A เป็นแกนเชิงขั้ว L เป็นแกนลองจิจูด

ระบบพิกัดทรงกระบอก (แม่แบบ:Langx) เป็นระบบพิกัดสามมิติที่กำหนดตำแหน่งของจุดโดยใช้ระยะทางจากแกนอ้างอิง มุมจากทิศอ้างอิง และระยะทางจากระนาบอ้างอิงที่ตั้งฉากกับแกนอ้างอิง โดยระยะทางจากระนาบมีเครื่องหมายเป็นบวกหรือลบได้ ขึ้นกับฝั่งของระนาบที่หันหาจุด

จุดที่พิกัดทั้งสามเป็นศูนย์ คือ จุดกำเนิด ซึ่งเป็นจุดที่แกนอ้างอิงตัดกับทิศอ้างอิง แกนอ้างอิงอาจเรียกว่า แกนทรงกระบอก หรือ แกนลองจิจูด ส่วนรังสีจากจุดกำเนิดไปทิศอ้างอิงอาจเรียกว่า แกนเชิงขั้ว

ระยะทางจากแกนลองจิจูด เรียกว่า รัศมี มุมจากแกนเชิงขั้ว เรียกว่า มุมทิศ พิกัดทั้งสองนี้รวมกันเป็นระบบพิกัดเชิงขั้ว ซึ่งเมื่อเพิ่มระยะทางจากระนาบ เรียกว่า ความสูง จะได้ระบบพิกัดทรงกระบอก

นิยาม

จุด P ใด ๆ ในระบบพิกัดทรงกระบอกแสดงโดยสามสิ่งอันดับ (ρ, φ, z) โดยที่

• ρ แสดงรัศมี คือระยะห่างของ P จากแกนอ้างอิง นั่นคือ แกน z
• φ แสดงมุมทิศ คือมุมระหว่างทิศอ้างอิงบนระนาบอ้างอิง กับเส้นตรงที่ลากจากจุดกำเนิดไปหาภาพฉายของจุด P บนระนาบอ้างอิง
• z แสดง ความสูง คือระยะทางที่คิดเครื่องหมายจากจุด P ไประนาบอ้างอิง

จากนิยามเพียงเท่านี้ จุดหนึ่งจุดยังคงมีได้หลายพิกัด โดยพิกัด (ρ, φ, z) จะแสดงจุดเดียวกับ (ρ, φ + n×360°, z) และ (−ρ, φ + (2n + 1)×180°, z) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ เสมอ ดังนั้นเพื่อให้แต่ละจุดระบุพิกัดได้แบบเดียว ตามปกติจะจำกัดให้ ρ ≥ 0 และ φ อยู่ในช่วง [−180°,+180°] หรือ [0,360°]

สัญกรณ์อีกแบบที่ใช้บ่อย คือใช้ r แทนรัศมี ใช้ θ แทนมุมทิศ และ h แทนความสูง

การแปลงระหว่างระบบพิกัด

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

โดยปกติถือว่า แกน z ของระบบพิกัดทรงกระบอกเป็นแกนเดียวกับแกน z ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้นพิกัด z ของทั้งสองระบบจึงมีค่าเท่ากัน ส่วนอีกสองพิกัดของระบบพิกัดทรงกระบอกเหมือนกับระบบพิกัดเชิงขั้ว ดังนั้นการแปลงพิกัดทรงกระบอกเป็นคาร์ทีเซียนมีสูตรว่า

$\begin{array}{cc}x& =\rho \cos \varphi \\ y& =\rho \sin \varphi \\ z& =z\end{array}$

และการแปลงพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นทรงกระบอกมีสูตรว่า

$\begin{array}{cc}\rho & =\sqrt{x^2+y^2}\\ \phi & =\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x=0\text{ and }y=0\\ \arcsin \left(\frac{y}{\rho }\right)& \text{if }x\ge 0\\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)& \text{if }x>0\\ -\arcsin \left(\frac{y}{\rho }\right)+\pi & \text{if }x<0\end{array}\end{array}$

ระบบพิกัดทรงกลม

การแปลงระบบพิกัดทรงกระบอกเป็นระบบพิกัดทรงกลม เมื่อใช้ φ แทนมุมทิศและ θ แทนมุมเชิงขั้ว มีสูตรว่า

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{{\rho }^2+z^2}\\ \phi & =\phi \\ \theta & =\arctan \left(\frac{\rho }{z}\right)\end{array}$

และการแปลงกลับมีสูตรว่า

$\begin{array}{cc}\rho & =rsin\theta \\ \phi & =\phi \\ z& =rcos\theta \\ \end{array}$