กฎของโลปีตาล

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ของกฎของโลปีตาล เมื่อ $f(x)=\sin (x)$ และ $g(x)=-0.5x$ ของฟังก์ชัน $h(x)=f(x)/g(x)$ จะไม่นิยาม ณ ตำแหน่ง แม่แบบ:Math แต่สามารถทำให้ฟังก์ชันนั้นต่อเนี่องใน $ℝ$ โดยนิยามให้ $h(0)=f^{\prime }(0)/g^{\prime }(0)=-2$

{{#invoke:sidebar|collapsible

| class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded = อนุพันธ์

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}} ในแคลคูลัส กฎของโลปีตาล (แม่แบบ:Langx) หรือ กฎของแบร์นูลลี (แม่แบบ:Langx) เป็นทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการหาค่าลิมิตที่อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด (แม่แบบ:Langx) ด้วยการใช้อนุพันธ์กฎนี้มักนำมาใช้ในการเปลี่ยนรูปแบบยังไม่กำหนด เป็นรูปแบบกำหนด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณลิมิตโดยการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ กฎนี้ถูกตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสกีโยม เดอ โลปีตาล ถึงแม้กฎนี้มักถูกพิจารณาว่าถูกเขียนโดยเดอ โลปีตาล แต่ทฤษฎีบทนี้แบร์นูลลีเป็นคนเสนอให้กับเขา แม่แบบ:ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์

ประวัติ

กีโยม เดอ โลปีตาลเผยแพร่กฎนี้ในปี พ.ศ. 2239 (ค.ศ. 1696) ในหนังสือชื่อ Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes เป็นหนังสือเล่มแรกที่เขียนเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ถึงอย่างไรก็ตาม เชื่อกันว่ากฎนี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสชื่อโยฮันน์ แบร์นูลลี

รูปทั่วไป

รูปทั่วไปของกฎของโลปีตาลครอบคลุมหลากหลายกรณี ให้ $c$ และ $L$ เป็นจำนวนจริงส่วนขยาย (ต.ย. จำนวนจริง อนันต์บวก อนันต์ลบ) ให้ $I$ เป็นช่วงเปิดที่มี $c$ อยู่ (สำหรับลิมิตสองข้าง) หรือช่วงเปิดที่มี $c$ เป็นจุดปลาย (สำหรับลิมิตข้างเดียว หรือลิมิตที่อนันต์ ถ้า $c$ เป็นอนันต์) สมมติให้ฟังก์ชันค่าจริง $f$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้บน $I$ อาจยกเว้นที่ $c$ และ $g^{\prime }(x)\ne 0$ บน $I$ อาจยกเว้นที่ $c$ ด้วย ยังสมมติให้ $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to c}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$ ดังนั้นกฎนี้สามารถใช้ได้ในสถานการณ์เมื่ออัตราส่วนของอนุพันธ์มี่ค่าจำกัดหรือไม่จำกัด แต่ใข้ไม่ได้ในสถานการณ์อัตราส่วนแปรปรวนตลอดที่ $x$ มีค่าเข้าไกล้ $c$

ถ้า

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$

หรือ

$\underset{x\to c}{\lim }|f(x)|=\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=\mathrm{\infty }$

อย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L$

ถึงแม้ว่าเราจะเขียนในรูป $x\to c$ ตลอด ลิมิตนั้นอาจเป็นลิมิตข้างเดียว ($x\to c^{+}$ หรือ $x\to c^{-}$) เมื่อ $c$ เป็นจุดปลายจำกัดของ $I$

ในกรณีที่สองนั้น สมมุติฐานให้ $f$ ลู่ออกไปอนันต์จะไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ (ดูหมายเหตุตรงท้ายหัวเรื่องบทพิสูจน์) ดังนั้นโดยปกติเงื่อนไขของกฎจะกล่าวไว้ตามข้างบน เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองที่จะทำให้กระบวนการของกฎนี้ถูกต้องสามารถกล่าวได้อย่างสั้น ๆ ว่า $\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=\mathrm{\infty }$

สมมุติฐานที่ว่า $g^{\prime }(x)\ne 0$ จะพบเห็นได้บ่อยตามงานเขียน แต่บางผู้เขียนละสมมุติฐานนี้โดยการเขียนสมมติฐานอื่น วิธีหนึ่ง คือการนิยามลิมิตของฟังก์ชันนั้นโดยเพิ่มข้อกำหนดทีฟังก์ชันที่ใช้หาลิมิตนั้นต้องถูกนิยามทุกที่บนช่วงที่เกี่ยวข้อง $I$ อาจยกเว้นที่ $c$ อีกวิธี คือให้ทั้ง $f$ และ $g$ จำเป็นที่จะต้องหาอนุพันธ์ได้ทุกที่บนช่วงที่มี $c$ อยู่

ตัวอย่าง

• ตัวอย่างพื้นฐานที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ในรูปแบบยังไม่กำหนด $\frac{0}{0}$ ที่ $x=0$$$\begin{array}{cc}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x^2+x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}(e^x-1)}{\frac{d}{dx}(x^2+x)}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{2x+1}\\ & =1\end{array}$$
• ตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นที่เป็น $\frac{0}{0}$ การใช้กฎของโลปีตาลเพียงครั้งเดียวผลลัพท์ยังคงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดอยู่ ในที่นี้ ลิมิตอาจหาค่าได้โดยการใชกฎของโลปีตาลสามครั้ง

$$\begin{array}{cc}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin (x)-\sin (2x)}{x-\sin (x)}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos (x)-2\cos (2x)}{1-\cos (x)}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-2\sin (x)+4\sin (2x)}{\sin (x)}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-2\cos (x)+8\cos (2x)}{\cos (x)}\\ & =\frac{-2+8}{1}\\ & =6\end{array}$$

• ตัวอย่างที่เป็น $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^n}{e^x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n{x}^{n-1}}{e^x}=n\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^{n-1}}{e^x}$$ใช้กฎของโลปีตาลซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเลขชี้กำลังจะเป็นศูนย์ (ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็ม) หรือติดลบ (ถ้า $n$ เป็นเศษส่วน) ถีงจะสรุปได้ว่าลิมิตมีค่าเป็นศูนย์
• ตัวอย่างที่เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด $0\cdot \mathrm{\infty }$ (ดูข้างล่าง) ซึ่งเขียนใหม่ได้ในรูป $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }-x=0.$$
• สามารถใช้กฎของโลปีตาลในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า $f$ หาอนุพันธ์ได้สองครั้งในบริเวณใกล้เคียงกับ $x$ และอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องในบริเวณใกล้เคียงนี้ แล้ว$$\begin{array}{cc}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x-h)}{2h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{″}(x+h)+f^{″}(x-h)}{2}\\ & =f^{″}(x)\end{array}$$
• บางครั้งมีวิธีพลิกแพลงที่ใช้กฎของโลปีตาล เช่นสมมติให้ $f(x)+f^{\prime }(x)$ ลู่เข้าเมื่อ $x\to \mathrm{\infty }$ และ $e^x\cdot f(x)$ ลู่เข้าหาอนันต์บวกหรืออนันต์ลบ แล้ว$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x\cdot f(x)}{e^x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x(f(x)+f^{\prime }(x))}{e^x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)+f^{\prime }(x))$$ดังนั้นถ้า $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ หาค่าได้ แล้ว $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^{\prime }(x)=0$

รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ

รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ เช่น $1^{\mathrm{\infty }}$ $0^0$ ${\mathrm{\infty }}^0$ $0\cdot \mathrm{\infty }$ และ $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ สามารถหาค่าโดยใช้กฎของโลปีตาลได้ เช่นการหาลิมิตทีมี $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ โดยการเปลี่ยนสองฟังก์ชันที่ลบกันเป็นการหาร

$\begin{array}{ccc}\underset{x\to 1}{\lim }(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x})& =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}& (1)\\ & =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{x-1}{x}+\ln x}& (2)\\ & =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}& (3)\\ & =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1+\ln x}{1+1+\ln x}& (4)\\ & =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1+\ln x}{2+\ln x}\\ & =\frac{1}{2}\\ \end{array}$

กฎของโลปีตาลถูกใช้ในขั้นตอนจาก (1) ไป (2) และอีกครั้งในขั้นตอน (3) ไป (4)

กฎของโลปีตาลใช้ได้กับรูปแบบยังไม่กำหนดที่มีเลขยกกำลังโดยใช้ลอการิทึมช่วย"ตบเลขยกกำลังลงมา" ตัวอย่างเช่น

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\ln (x^x)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{x\cdot \ln x}=e^{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{+}}(x\cdot \ln x)}$

ย้ายลิมิตเข้าไปในฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และการที่เลขชี้กำลัง $x$ "อยู่ข้างล่าง" ลิมิต $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\cdot \ln x$ อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด $0\cdot \mathrm{\infty }$ แต่จากที่ได้แสดงในตัวอย่างข้างบนมา กฎของโลปีตาลยังสามารถบอกได้ว่า

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\cdot \ln x=0$ ดังนั้น $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=e^0=1$

ตารางต่อไปนี้คือรายการรูปแบบยังไม่กำหนดที่พบบ่อย กับการแปลงโดยใช้กฎโลปีตาล

รูปแบบยังไม่กำหนด	เงื่อนไข	การแปลงเป็น $0/0$
$$\frac{0}{0}$$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	แม่แบบ:Center
$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$
$$0\cdot \mathrm{\infty }$$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{1/g(x)}$
$$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}$
$$0^0$$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0^{+},\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$
$$1^{\mathrm{\infty }}$$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=1,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$
$${\mathrm{\infty }}^0$$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$

บทพิสูจน์กฎโลปีตาล

กรณีพิเศษ

การพิสูจน์กฎโลปีตาลนั้นง่ายในกรณีที่ $f$ และ $g$ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จุด $c$ และหลังหาอนุพันธ์ครั้งแรกจะเจอลิมิตจำกัด จึงไม่ใช่การพิสูจน์กฎโลปีตาลทั่วไปเพราะมีความจำกัดกว่านิยาม ฟังก์ชันทั้งสองต้องต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ และ $c$ เป็นจำนวนจริง เนื่องจากฟังก์ชันทั่วไปต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ (ต.ย. พหุนาม ไซน์และโคไซน์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) จึงเป็นกรณีที่สมควรแก่การสนใจ

ให้ $f$ และ $g$ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จำนวนจริง $c$ โดย $f(c)=g(c)=0$ และ $g^{\prime }(c)\ne 0$ แล้ว $$\begin{array}{cc}& \underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}\\ =& \underset{x\to c}{\lim }\frac{\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)}=\frac{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to c}\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to c}\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\end{array}$$มาจากนิยามอัตราส่วนเชิงผลต่างของอนุพันธ์ การเท่ากันครั้งสุดท้ายเกิดจากความต่อเนื่องของอนุพันธ์ที่ $c$ ลิมิตทีสรุปมาได้เป็นรูปแบบกำหนดเพราะ $g^{\prime }(c)\ne 0$

บทพิสูจน์ทั่วไปของกฎโลปีตาลได้รับการอธีบายไว้ข้างล่างนี้

บทพิสูจน์ทั่วไป

บทพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นของแม่แบบ:Harvtxt ซึ่งพิสูจน์รูปแบบยังไม่กำหนดทั้ง $\frac{0}{0}$ และ $\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$ เทย์เลอร์ยังทราบว่ามีบทพิสูจน์อื่นอยู่ในแม่แบบ:Harvtxt และแม่แบบ:Harvtxt

ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังชันที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่ตั้งไว้ในหัวข้อรูปทั่วไป ให้ $ℐ$ เป็นช่วงเปิดในสมมติฐานที่มีจุดปลาย $c$ พิจรณาให้ $g^{\prime }(x)\ne 0$ บนช่วงนี้ และ $g$ ต่อเนื่อง สามารถเลือก $ℐ$ ที่เล็กกว่าที่ทำให้ $g$ ไม่เป็นศูนย์บน $ℐ$ ได้

สำหรับทุก $x$ ในช่วง นิยามให้ $m(x)=\inf \frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$และ $M(x)=\sup \frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$ โดยที่ $\xi$ มีค่าอยู่ระหว่าง $x$ และ $c$ (ฟังก์ขัน $\inf$ กับ $\sup$ คืออินฟิมัมกับซูพรีมัมตามลำดับ)

จากการหาอนุพันธ์ได้ของ $f$ และ $g$ บน $ℐ$ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชียืนยันได้ว่าสำหรับจุดสองจุดใด ๆ $x$ และ $y$ ใน $ℐ$ จะมี $\xi$ ระหว่างค่า $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$ ส่งผลให้ $m(x)\le \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}\le M(x)$ สำหรับทุกตัวเลือกค่า $x$ และ $y$ ที่แตกต่างในช่วง

ค่า $g(x)-g(y)$ ไม่เป็นศูนย์เมื่อ $x$ และ $y$ แตกต่างกันในช่วง เพราะถ้ามีค่าเป็นศูนย์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะนิรนัยได้ว่ามี $p$ ที่อยู่ระหว่าง $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $g^{\prime }(p)=0$

จากนิยามของ $m(x)$ และ $M(x)$ ทำให้ค่าเป็นจำนวนจริงขยาย และอาจสามารถมีค่าเป็น $\pm \mathrm{\infty }$ ได้ ในกรณีต่อไปนี้ $m(x)$ และ $M(x)$ จะเป็นขอบเขตของอัตราส่วน $\frac{f}{g}$

กรณีที่ 1 $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$

สำหรับทุก $x$ ในช่วง $ℐ$ และจุด $y$ ระหว่าง $x$ และ $c$

$m(x)\le \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(y)}{g(x)}}{1-\frac{g(y)}{g(x)}}\le M(x)$

และเมื่อ $y$ มีค่าเข้าใกล้ $c$ ทั้ง $\frac{f(y)}{g(x)}$ และ $\frac{g(y)}{g(x)}$ จะมีค่าเท่ากับศูนย์ ทำให้

$m(x)\le \frac{f(x)}{g(x)}\le M(x)$

กรณีที่ 2 $\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=\mathrm{\infty }$

สำหรับทุก $x$ บนช่วง $ℐ$ นิยาม $S_x=\{y\mid y$ อยู่ระหว่าง $x$ และ $c\}$ สำหรับทุกจุด $y$ ระหว่าง $x$ และ $c$

$m(x)\le \frac{f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}=\frac{\frac{f(y)}{g(y)}-\frac{f(x)}{g(y)}}{1-\frac{g(x)}{g(y)}}\le M(x)$

โดยที่เมือ $y$ มีค่าเข้าใกล้ $c$ ทั้ง $\frac{f(x)}{g(y)}$ และ $\frac{g(x)}{g(y)}$ จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น

$m(x)\le \underset{y\in S_x}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{f(y)}{g(y)}\le \underset{y\in S_x}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(y)}{g(y)}\le M(x).$

ลิมิตอินฟิเรียร์ และลิมิตซูพีเรียร์นั้นจำเป็นเนื่องจากการมีอยู่ของลิมิต $\frac{f}{g}$ ยังไม่ได้รับการยืนยัน

แบ่งได้เป็นสองกรณีได้แก่

$\underset{x\to c}{\lim }m(x)=\underset{x\to c}{\lim }M(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$

และ

$\underset{x\to c}{\lim }\left(\underset{y\in S_x}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{f(y)}{g(y)}\right)=\underset{x\to c}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{f(x)}{g(x)}$ และ$\underset{x\to c}{\lim }\left(\underset{y\in S_x}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(y)}{g(y)}\right)=\underset{x\to c}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(x)}{g(x)}$

ในกรณีแรก ทฤษฎีบทการบีบบอกได้ว่า $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ หาค่าได้และเท่ากับ $L$ ในกรณีที่สอง ทฤษฎีบทการบีบยังบอกได้ว่า $\underset{x\to c}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(x)}{g(x)}=L$ ดังนั้น $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ หาค่าได้และเท่ากับ $L$ นี่เป็นผลลัพท์ที่ต้องพิสูจน์

ในกรณีที่สอง สมมติฐานที่ว่า $f(x)$ ลู่ออกไปหาอนันต์ไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ หมายความว่าถ้า $|g(x)|$ ลู่ออกหาอนันต์เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $c$ และทั้ง$f$ และ $g$ สอดคล้องกับสมมติฐานของกฎของโลปีตาล แล้ว $f(x)$ ไม่จำเป็นที่ต้องมีสมมติฐานเพิ่ม ลิมิตของ $f(x)$ อาจไม่มีก็ได้ ในกรณีนี้ทฤษฎีบทของโลปีตาลเป็นผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทสโตลซ์-เชซาโร

อ้างอิง

แหล่งข้อมูล

• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation