วิธีการคำนวณของโจนส์

วิธีการคำนวณของโจนส์ (Jones calculus) เป็นรูปแบบการคำนวณแบบหนึ่งที่ช่วยให้สามารถอธิบายสถานะของโพลาไรเซชันของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตั้งชื่อตามชื่อ โรเบิร์ต เคลิร์ก โจนส์ (Robert Clark Jones) ซึ่งได้ให้นิยามไว้ในปี 1941 เมื่อใช้รูปแบบการคำนวณนี้ สถานะของแสงโพลาไรซ์จะแสดงด้วย เวกเตอร์โจนส์ (Jones vector) และองค์ประกอบทางแสงเชิงเส้นจะแสดงด้วย เมทริกซ์โจนส์ (Jones matrix) เวกเตอร์โจนส์ของแสงที่ออกจากระบบหนึ่ง ๆ จะคำนวณได้จากผลคูณของเมทริกซ์โจนส์ของระบบกับเวกเตอร์โจนส์ของแสงขาเข้า

รูปแบบการคำนวณนี้ใช้ประโยชน์ได้ดีสำหรับแสงโพลาไรซ์ทั้งหมดเท่านั้น ในการอธิบายแสงโพลาไรซ์บางส่วนจะใช้เวกเตอร์สโตกส์ และ เมทริกซ์มึลเลอร์

คำนิยาม

ในงานวิจัยต้นฉบับของโจนส์ เขาได้พิจารณากรณีของระนาบคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีการโพลาไรซ์ทั้งหมด และกำหนดสถานะของแสง ณ จุดหนึ่ง ๆ จากเวกเตอร์ของจำนวนเชิงซ้อน

$\left(\begin{array}{c}{E}_x(t)\\ E_y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{E}_x^{(0)}\exp [i(-\omega t+{\varphi }_x)]\\ E_y^{(0)}\exp [i(-\omega t+{\varphi }_y)]\end{array}\right),$

โดย $E_x(t)$ และ $E_y(t)$ เป็นส่วนประกอบของสนามไฟฟ้าของคลื่นตามแกน x และ y อย่างไรก็ตาม ตัวแปรที่สำคัญที่สุดในการอธิบายสถานะของโพลาไรเซชันคือความแตกต่างของเฟส ${\varphi }_y-{\varphi }_x$ และแอมพลิจูดของสนามไฟฟ้า $E_x^{(0)}/E_y^{(0)}$ โดยปกติแล้ว จะเลือกจุดที่ทำหน้าที่เป็นตัวอ้างอิงความเข้มและเฟส และได้ว่า

$\left(\begin{array}{c}{E}_x(t)\\ E_y(t)\end{array}\right)=E^{(0)}\exp [i(-\omega t+{\varphi }_x)]\left(\begin{array}{c}{V}_x\\ V_y\end{array}\right),$

โดยที่เวกเตอร์โจนส์ถูกนิยามโดย

$\overrightarrow{V}=\left(\begin{array}{c}{V}_x\\ V_y\end{array}\right)$

ตัวอย่างของเวกเตอร์โจนส์

ตัวอย่างของเวกเตอร์โจนส์

โพลาไรเซชัน	เวกเตอร์โจนส์	สัญกรณ์ในรูปเค็ท	รูปประกอบ
เส้นตรงตามแกน x	$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$	$|H⟩$
เส้นตรงตามแกน y	$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$	$|V⟩$
เส้นตรงตามแนวที่ทำมุม 45° กับแกน x	$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$	$|D⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|H⟩+|V⟩)$
หมุนวนขวา	$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right)$	$|R⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|H⟩-i|V⟩)$
หมุนวนซ้าย	$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right)$	$|L⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|H⟩+i|V⟩)$

การเปรียบเทียบกับในควอนตัม

อย่างเป็นทางการ เวกเตอร์โจนส์เป็นเวกเตอร์ของ ℂ² เช่นเดียวกับเวกเตอร์สถานะ ที่ใช้สำหรับในกลศาสตร์ควอนตัม การเปรียบเทียบนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าโฟตอนสามารถมีสถานะเฮลิซิตีได้สองสถานะ ดังนั้นเราจึงสามารถสานความเชื่อมโยงระหว่างการคำนวณทั้งสองสายนี้ ซึ่งแสดงด้วยการใช้สัญกรณ์บรา-เค็ท ที่ทำกันทั่วไปในทัศนศาสตร์เชิงควอนตัม เพื่อแสดงถึงสถานะของโพลาไรซ์ของแสง ตารางด้านล่างนี้แสดงรายละเอียดความเชื่อมโยงระหว่างการคำนวณทั้งสอง

โพลาไรเซชัน	กลศาสตร์ควอนตัม
เวกเตอร์โจนส์	เวกเตอร์สถานะ
เมทริกซ์โจนส์	ตัวดำเนินการวิวัฒนาการ
ทรงกลมปวงกาเร	ทรงกลมบล็อค
ตัวแปรเสริมสโตกส์	เมทริกซ์ความหนาแน่น

ตัวอย่างเมทริกซ์โจนส์

ตัวอย่างเมทริกซ์โจนส์

ระบบเชิงแสง	เมทริกซ์โจนส์
โพลาไรเซอร์ที่แกนอยู่ในแนวนอน	$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$
โพลาไรเซอร์ที่แกนอยู่ในแนวตั้ง	$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
โพลาไรเซอร์ที่มีแกนเอียง $\pm$ 45°	$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& \pm 1\\ \pm 1& 1\end{array}\right)$
โพลาไรเซอร์ที่แกนเอียงเป็นมุม $\phi$	$\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\phi & \cos \phi \sin \phi \\ \sin \phi \cos \phi & {\sin }^2\phi \end{array}\right)$
โพลาไรเซอร์แบบวงกลมวนขวา	$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& i\\ -i& 1\end{array}\right)$
โพลาไรเซอร์แบบวงกลมวนซ้าย	$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -i\\ i& 1\end{array}\right)$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบครึ่งคลื่นโดยแกนเร็วอยู่ในแนวนอน	$\left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบครึ่งคลื่นโดยแกนเร็วทำมุม $\theta$ กับแนวนอน	${\mathrm{e}}^{-\frac{i\pi }{2}}\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta & 2\cos \theta \sin \theta \\ 2\cos \theta \sin \theta & {\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta \end{array}\right)$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบหนึ่งในสี่คลื่นโดยแกนเร็วอยู่ในแนวนอน	${\mathrm{e}}^{-\frac{i\pi }{4}}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& i\end{array}\right)$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบหนึ่งในสี่คลื่นโดยแกนเร็วอยู่ในแนวตั้ง	${\mathrm{e}}^{\frac{i\pi }{4}}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -i\end{array}\right)$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบหนึ่งในสี่คลื่นโดยแกนเร็วทำมุม $\theta$ กับแนวนอน	${\mathrm{e}}^{-\frac{i\pi }{4}}\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +i{\sin }^2\theta & (1-i)\sin \theta \cos \theta \\ (1-i)\sin \theta \cos \theta & {\sin }^2\theta +i{\cos }^2\theta \end{array}\right)$

หากระบบเชิงแสงถูกหมุนรอบแกนเชิงแสงเป็นมุม $\theta$ เมทริกซ์โจนส์สำหรับระบบหมุน $M(\theta )$ ได้มาจากเมทริกซ์ของระบบที่ไม่ได้หมุนโดยการแปลงดังนี้:

$M(\theta )=R(\theta )MR(-\theta )$

โดยที่

$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

บทความที่เกี่ยวข้อง

• โพลาไรเซชัน
• โพลาไรเซอร์
• แผ่นหน่วงคลื่น
• เมทริกซ์มึลเลอร์
• ตัวแปรเสริมสโตกส์
• ทรงกลมปวงกาเร

อ่านเพิ่มเติม

• E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005) แม่แบบ:ISBN
• E. Hecht, Optics, 2d ed., Addison-Wesley (1987) แม่แบบ:ISBN
• Frank L. Pedrotti, S.J. Leno S. Pedrotti, Introduction to Optics, 2d ed., Prentice Hall (1993) แม่แบบ:ISBN
• Document présentant le formalisme de Jones, et application à l'interférométrie