ตัวแปรเสริมสโตกส์

ตัวแปรเสริมสโตกส์ I, Q, U และ V

ตัวแปรเสริมสโตกส์ (Stokes parameters) เป็นชุดของค่าสี่ค่าที่ใช้อธิบายสถานะของโพลาไรเซชัน ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตั้งชื่อตาม จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ ซึ่งเป็นผู้เสนอขึ้นในปี 1852

ตัวแปรเสริมเหล่านี้มักจะถูกเขียนในรูปแบบของเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์สโตกส์ (Stokes vector) โดยแสดงเป็นฟังก์ชันของความเข้มรวมของลำแสง ระดับของโพลาไรเซชัน และตัวแปรเสริมที่เกี่ยวข้องกับรูปร่างเชิงวงรีของการโพลาไรซ์ ใช้เพื่ออธิบายแสงทั้งที่ไม่โพลาไรซ์ โพลาไรซ์บางส่วน และโพลาไรซ์ทั้งหมด ต่างจากวิธีการคำนวณของโจนส์ ซึ่งสามารถอธิบายได้เฉพาะแสงโพลาไรซ์ทั้งหมดเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น การแทนด้วยค่านี้เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการทดลอง เนื่องจากแต่ละค่าสอดคล้องกับผลรวมหรือความแตกต่างของความเข้มที่วัดได้ง่าย

ผลของระบบทางแสงที่มีต่อโพลาไรเซชันของแสงสามารถกำหนดได้โดยการสร้างเวกเตอร์สโตกส์สำหรับแสงที่ตกกระทบและใช้เมทริกซ์มึลเลอร์ เพื่อให้ได้เวกเตอร์สโตกส์ของแสงขาออกจากระบบ

หลักการ

เรามักจะนำตัวแปรเสริมสโตกส์มาเขียนรวมเป็นเวกเตอร์สโตกส์ ดังนี้:

$\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}{S}_0\\ S_1\\ S_2\\ S_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}I\\ Q\\ U\\ V\end{array}\right)$

เราสามารถมองว่าตัวแปรเสริมสโตกส์เป็นความเข้มทั่วไปสามค่า

• $I$: ความเข้มทั้งหมดที่วัดได้รวมกัน
• $V$: ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบวงกลม ซึ่งอาจมีค่าเป็นบวกหรือลบขึ้นอยู่กับทิศทางของการหมุน
• $L\equiv Q+iU\equiv |L|e^{i2\theta }$: ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่อธิบายความเอียง $\theta$ ของทิศทางของโพลาไรเซชัน

สำหรับแสงโพลาไรซ์ทั้งหมด ซึ่งมีสถานะโพลาไรซ์แบบเดียวกันทั้งหมด สามารถแสดงได้เป็น

$\begin{array}{c}{Q}^2+U^2+V^2=I^2\end{array}$

สำหรับลำแสงโพลาไรซ์บางส่วน ตัวแปรเสริมสโตกส์จะถูกกำหนดเป็นค่าเฉลี่ย สมการก่อนหน้าจะกลายเป็นอสมการ:

$Q^2+U^2+V^2=I_p^2\le I^2$

โดย $I_p/I$ เรียกว่าเป็น อัตราโพลาไรเซชัน

คำจำกัดความ

เราสามารถให้คำจำกัดความของตัวแปรเสริมสโตกส์ได้หลายแบบขึ้นอยู่กับว่าอธิบายสถานะของโพลาไรซ์ของแสงอย่างไร

คลื่นระนาบอาจแสดงลักษณะเฉพาะด้วยเวกเตอร์คลื่น $\overrightarrow{k}$ และแอมพลิจูดเชิงซ้อนของสนามไฟฟ้า $E_1$ และ $E_2$ อธิบายด้วยฐาน $({\widehat{ϵ}}_1,{\widehat{ϵ}}_2)$ หรืออาจแสดงโดยใช้เวกเตอร์คลื่น เฟส $\varphi$ และสถานะโพลาไรเซชัน $\mathrm{\Psi }$ โดย $\mathrm{\Psi }$ คือเส้นโค้งที่วาด สนามไฟฟ้าในระนาบหนึ่ง ๆ สถานะโพลาไรเซชันที่พบบ่อยที่สุดคือโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง และแบบวงกลม ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสถานะทั่วไปของโพลาไรเซชันแบบวงรี

องค์ประกอบสนามไฟฟ้า

ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามตามองค์ประกอบของสนามไฟฟ้าโดย

$\begin{array}{ccc}I& \equiv & |E_x{|}^2+|E_y{|}^2\\ & =& |E_a{|}^2+|E_b{|}^2\\ & =& |E_l{|}^2+|E_r{|}^2\\ Q& \equiv & |E_x{|}^2-|E_y{|}^2& \\ U& \equiv & |E_a{|}^2-|E_b{|}^2& \\ V& \equiv & |E_l{|}^2-|E_r{|}^2& \end{array}$

โดยที่ดัชนีอ้างอิงถึงสามฐาน: ฐานอ้างอิงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ($\hat{x},\hat{y}$) ฐานที่ทำมุม 45 องศากับฐานอ้างอิง ($\hat{a},\hat{b}$) และฐานวงกลม ($\hat{l},\hat{r}$) โดยฐานวงกลมถูกกำหนดโดย $\hat{l}=(\hat{x}+i\hat{y})/\sqrt{2}$

รูปทางขวาแสดงให้เห็นว่าเครื่องหมายบวกลบของตัวแปรเสริมสโตกส์มีความสัมพันธ์กับทิศทางการหมุนและการวางแนวของแกนเอกของวงรีอย่างไร

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงตัวแปรเสริมสโตกส์ในทั้งสามฐานแต่ละฐานแยกกัน

ในฐาน ($\hat{x},\hat{y}$) ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามโดย

$\begin{array}{ccc}I& =& |E_x{|}^2+|E_y{|}^2\\ Q& =& |E_x{|}^2-|E_y{|}^2\\ U& =& 2\text{Re}(E_x{E}_y^{*})\\ V& =& -2\text{Im}(E_x{E}_y^{*})\end{array}$

ในฐาน $(\hat{a},\hat{b})$ แสดงได้เป็น

$\begin{array}{ccc}I& =& |E_a{|}^2+|E_b{|}^2\\ Q& =& -2\text{Re}(E_a^{*}{E}_b)\\ U& =& |E_a{|}^2-|E_b{|}^2\\ V& =& 2\text{Im}(E_a^{*}{E}_b)\end{array}$

และในฐาน $(\hat{l},\hat{r})$:

$\begin{array}{ccc}I& =& |E_l{|}^2+|E_r{|}^2\\ Q& =& 2\text{Re}(E_l^{*}{E}_r)\\ U& =& -2\text{Im}(E_l^{*}{E}_r)\\ V& =& |E_l{|}^2-|E_r{|}^2\end{array}$

ในรูปของวงรี

วงรีของโพลาไรเซชันและตัวแปรที่เกี่ยวข้อง

วิธีหนึ่งในการอธิบายโพลาไรเซชันคือการระบุแกนเอกและแกนโทของวงรีโพลาไรเซชัน การวางแนว และทิศทางการหมุน ความสัมพันธ์ระหว่างค่าต่าง ๆ ในของวงรีโพลาไรเซชันกับตัวแปรเสริมสโตกส์ อาจแสดงได้ดังนี้:

$\begin{array}{ccc}{I}_p& =& A^2+B^2\\ Q& =& (A^2-B^2)\cos (2\theta )\\ U& =& (A^2-B^2)\sin (2\theta )\\ V& =& 2ABh\end{array}$

และในทางกลับกัน:

$\begin{array}{ccc}A& =& \sqrt{\frac{1}{2}(I_p+|L|)}\\ B& =& \sqrt{\frac{1}{2}(I_p-|L|)}\\ \theta & =& \frac{1}{2}\arg (L)\\ h& =& \mathrm{sgn}(V).\end{array}$

ในพิกัดทรงกลม

วงรีโพลาไรเซชัน แสดงความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมปวงกาเรกับค่า ψ และ χ

ตัวแปรเสริมสโตกส์อาจแสดงในรูปของพิกัดทรงกลม เรียกว่าทรงกลมปวงกาเร

$\begin{array}{cc}{S}_0& =I\\ S_1& =Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\ S_2& =Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\ S_3& =Ip\sin 2\chi \end{array}$

ในที่นี้ $Ip$, $2\psi$ และ $2\chi$ คือพิกัดทรงกลมของสถานะโพลาไรเซชันในปริภูมิสามมิติของตัวแปรเสริมสโตกส์สามตัวหลัง ตัวคูณ 2 อยู่ข้างหน้า $\psi$ แสดงถึงความจริงที่ว่าวงรีที่หมุนไป 180 องศาจะไม่ต่างจากเดิม ในขณะที่ตัวคูณ 2 ที่อยู่ข้างหน้า $\chi$ บ่งบอกว่าวงรีจะไม่สามารถแยกความแตกต่างได้เมื่อพลิกแกนทั้งสองตามด้วยการหมุน 90

สามารถหาค่าต่าง ๆ ในพิกัดทรงกลมจากตัวแปรเสริมสโตกส์ได้ด้วยสมการต่อไปนี้:

$\begin{array}{cc}I& =S_0\\ p& =\frac{\sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2}}{S_0}\\ 2\psi & =\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{S_2}{S_1}\\ 2\chi & =\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{S_3}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}\\ \end{array}$

ตัวอย่าง

ภาพอธิบายสถานะโพลาไรซ์บนทรงกลมปวงกาเร

ตารางต่อไปนี้แสดงเวกเตอร์สโตกส์สำหรับสถานะโพลาไรเซชันของแสงที่พบได้บ่อย

โพลาไรเซชัน	เวกเตอร์สโตกส์	โพลาไรเซชัน	เวกเตอร์สโตกส์
เส้นตรงแนวนอน	$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$	เส้นตรงแนวตั้ง	$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
วงกลมวนซ้าย	$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$	วงกลมวนขวา	$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
เส้นตรงเฉียง $\pm 45$ องศา	$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \pm 1\\ 0\end{array}\right)$	ไม่โพลาไรซ์	$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$