สัญกรณ์บรา-เค็ท

ในกลศาสตร์ควอนตัม สัญกรณ์บรา-เค็ท (แม่แบบ:Langx) คือ สัญกรณ์พื้นฐานที่ใช้ในการอธิบายสถานะควอนตัม แทนด้วยสัญลักษณ์ angle bracket ("$⟨$", และ "$⟩$") และ vertical bar ("$\mid$") สัญกรณ์นี้สามารถแทนได้ทั้งเวกเตอร์และเมทริกซ์ ซึ่งถูกนำเสนอโดยพอล ดิแรก (Paul Dirac) ในปี 1939 และเป็นที่รู้จักกันในชื่อ สัญกรณ์ดิแรก (Dirac notation)

ในรูปผลคูณเชิงสเกลาร์ สามารถแสดงได้ดังนี้

$⟨\varphi \mid \psi ⟩$

ประกอบด้วยส่วนทางขวา $|\psi ⟩$ เรียกว่า เวกเตอร์เค็ท (ket vector)

และส่วนทางด้านซ้าย $⟨\varphi |$ เรียกว่า เวกเตอร์บรา (bra vector) ซึ่งเป็นสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) ของเค็ท

สมบัติ

สัญกรณ์บรา-เค็ทถูกคิดค้นมาเพื่อความสะดวกในการแสดง state function หรือ state vector สามารถหาสมบัติบางประการ โดยกำหนดให้

แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math แทน จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

แม่แบบ:Math แทน สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน แม่แบบ:Math

แม่แบบ:Math แทน แม่แบบ:Math แทน ตัวดำเนินการเชิงเส้นใด ๆ

ความเป็นเชิงเส้น

เนื่องจากบรา เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear functional)

$⟨\varphi |(c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩)=c_1⟨\varphi |{\psi }_1⟩+c_2⟨\varphi |{\psi }_2⟩$

จากนิยามการบวกและการคูณสเกลาร์ของฟังก์ชันเชิงเส้น

$(c_1⟨{\varphi }_1|+c_2⟨{\varphi }_2|)|\psi ⟩=c_1⟨{\varphi }_1|\psi ⟩+c_2⟨{\varphi }_2|\psi ⟩$

สมบัติการเปลี่ยนหมู่

เป็นการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงซ้อน, บรา, เค็ท, ผลคูณภายใน (inner product), ผลคูณภายนอก (outer product) และตัวดำเนินการเชิงเส้น โดยสามารถเขียนในรูปสัญกรณ์บรา-เค็ทได้ดังนี้

$⟨\psi |(A|\varphi ⟩)=(⟨\psi |A)|\varphi ⟩\stackrel{\text{def}}{=}⟨\psi |A|\varphi ⟩$

$(A|\psi ⟩)⟨\varphi |=A(|\psi ⟩⟨\varphi |)\stackrel{\text{def}}{=}A|\psi ⟩⟨\varphi |$

สังยุคเอร์มีเชียน

สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugation) แทนด้วยสัญลักษณ์ แม่แบบ:Math มีกฎต่าง ๆ ดังนี้

• สังยุคเอร์มีเชียนของบรา คือ เค็ท
• สังยุคเอร์มีเชียนของจำนวนเชิงซ้อน คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน 
• สังยุคเอร์มีเชียนของสังยุคเอร์มีเชียนใด ๆ คือ ตัวมันเอง ยกตัวอย่างเช่น :แม่แบบ:Math

จากกฎต่าง ๆ สามารถแสดงสมบัติบางประการของสังยุคเอร์มีเชียนได้ดังนี้

• เค็ท

${(c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩)}^{†}=c_1^{*}⟨{\psi }_1|+c_2^{*}⟨{\psi }_2|$

• ผลคูณภายใน (Inner products)

$⟨\varphi |\psi {⟩}^{*}=⟨\psi |\varphi ⟩$

($⟨\varphi |\psi ⟩$ เป็นสเกลาร์ ดังนั้น สังยุคเอร์มีเชียน ก็คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน $⟨\varphi |\psi {⟩}^{*}=\overline{⟨\varphi |\psi ⟩}$)

• เมทริกซ์

$⟨\varphi |A|\psi {⟩}^{*}=⟨\psi |A^{†}|\varphi ⟩$

$⟨\varphi |A^{†}{B}^{†}|\psi {⟩}^{*}=⟨\psi |BA|\varphi ⟩$

• ผลคูณภายนอก (Outer products)

${((c_1|{\varphi }_1⟩⟨{\psi }_1|)+(c_2|{\varphi }_2⟩⟨{\psi }_2|))}^{†}=(c_1^{*}|{\psi }_1⟩⟨{\varphi }_1|)+(c_2^{*}|{\psi }_2⟩⟨{\varphi }_2|)$

ตัวดำเนินการเชิงเส้น

ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อเค็ท

ตัวดำเนินการเชิงเส้น (linear operators) ที่กระทำต่อเค็ทและได้ผลเป็น เค็ท เราจะสามารถกล่าวได้ว่าตัวดำเนินการนั้นเป็น “เชิงเส้น” ได้ เมื่อตัวดำเนินการนั้นมีสมบัติที่แน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า ถ้าให้ $A$ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ $|\psi ⟩$ เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าเค็ท จะได้ว่า เมื่อ $A$ กระทำต่อ $|\psi ⟩$ จะทำให้ได้ $A|\psi ⟩$ เป็นสถานะใหม่ขึ้นมา

ตัวดำเนินการเชิงเส้นถูกใช้อย่างมากในวิชากลศาสตร์ควอนตัม ใน Hilbert space ที่มีจำนวน $N$ มิติ สถานะ $|\psi ⟩$ สามารถเขียนในรูปของคอลัมน์เวกเตอร์ $N\times 1$ มิติ ส่วนตัวดำเนินการ $A$ จะอยู่ในรูปเมริกซ์ $N\times N$ มิติ โดยที่ $A|\psi ⟩$ สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์

ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อบรา

ตัวดำเนินการจะกระทำจากทางด้านขวาของบรา ถ้าให้ $A$ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ $⟨\psi |$ เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าบรา ซึ่ง $⟨\psi |A$ จะเป็นสถานะใหม่ที่ถูกนิยามตามสมการ

$(⟨\varphi |A)|\psi ⟩=⟨\varphi |(A|\psi ⟩),$

ใน Hilbert space ที่มีจำนวน N มิติ สถานะ $⟨\psi |$ สามารถเขียนในรูปของแถวเวกเตอร์ $1\times N$ มิติ ส่วนตัวดำเนินการ $A$ จะอยู่ในรูปเมริกซ์ $N\times N$ มิติ โดยที่ $⟨\psi |A$ สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์ และถ้าสถานะของเวกเตอร์อยู่ในรูปของสัญกรณ์บราและเค็ทจะเขียนได้เป็น

$⟨\varphi |A|\psi ⟩$

ผลที่ออกมาจะแสดงผลของปริมาณที่เรียกว่า ค่าคาดหวัง หรือค่าเฉลี่ย

Outer products

วิธีที่จะนิยามตัวดำเนินการเชิงเส้นใน Hilbert space จะใช้ outer product โดยถ้าให้ $⟨\psi |$ และ $|\psi ⟩$ เป็นสถานะที่เรียกว่าบราและเค็ทตามลำดับ จะเขียน outer product เป็น $|\psi ⟩$$⟨\psi |$ ซึ่งจะแสดงตัวดำเนินการที่เรียกว่า rank-one operator เป็นไปตามสมการ

$(|\varphi ⟩⟨\psi |)(x)=⟨\psi |x⟩|\varphi ⟩$

สำหรับ vector space มิติจำกัดสามารถเขียนในรูปของการคูณแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้

$|\varphi ⟩⟨\psi |\doteq \left(\begin{array}{c}{\varphi }_1\\ {\varphi }_2\\ ⋮\\ {\varphi }_N\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{\psi }_1^{*}& {\psi }_2^{*}& \cdots & {\psi }_N^{*}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\varphi }_1{\psi }_1^{*}& {\varphi }_1{\psi }_2^{*}& \cdots & {\varphi }_1{\psi }_N^{*}\\ {\varphi }_2{\psi }_1^{*}& {\varphi }_2{\psi }_2^{*}& \cdots & {\varphi }_2{\psi }_N^{*}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\varphi }_N{\psi }_1^{*}& {\varphi }_N{\psi }_2^{*}& \cdots & {\varphi }_N{\psi }_N^{*}\end{array}\right)$

ซึ่ง outer product ของตัวดำเนินการจะได้ออกมาเป็นเมทริกซ์ N× N มิติ