ผลรวม

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง ในทางคณิตศาสตร์ ผลรวม (แม่แบบ:Langx) หมายถึงการบวกของเซตของจำนวน ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น ผลบวก (sum, total) จำนวนที่กล่าวถึงอาจเป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนเชิงซ้อน เมตริกซ์ หรือวัตถุอื่นที่ซับซ้อนกว่านั้น ผลรวมไม่จำกัดของลำดับเรียกว่าเป็นอนุกรม

สัญกรณ์

ผลรวมของลำดับ 1, 2, 4 คือ แม่แบบ:Nowrap ดังนั้นผลบวกก็คือ 7 และเนื่องจากการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จึงไม่สำคัญที่จะแปลผล แม่แบบ:Nowrap ว่าเป็น แม่แบบ:Nowrap หรือ แม่แบบ:Nowrap เพราะถึงอย่างไรก็ให้ผลลัพธ์เหมือนกัน ดังนั้นเครื่องหมายวงเล็บจึงมักจะถูกละทิ้งในการเขียนผลรวม นอกจากนั้นการบวกจำนวนจำกัดมีสมบัติการสลับที่ จึงทำให้ลำดับในการบวกจำนวนก่อนหรือหลังก็ไม่ส่งผลต่อผลบวกสุดท้าย (สำหรับสมบัติการสลับที่ของการบวกจำนวนไม่จำกัด ดูเพิ่มที่การลู่เข้าสัมบูรณ์)

ถ้าหากผลรวมหนึ่ง ๆ มีพจน์มากเกินไปเกินกว่าจะเขียนให้แยกออกจากกัน มักจะย่อด้วยจุดไข่ปลาตรงตำแหน่งพจน์ที่หายไป ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 เขียนได้เป็น แม่แบบ:Nowrap

สัญกรณ์ซิกมาตัวใหญ่

คณิตศาสตร์มีสัญกรณ์พิเศษมาใช้เพื่อที่จะเขียนผลรวมให้กะทัดรัดมากขึ้น นั่นคือ สัญลักษณ์ผลรวม ∑ (U+2211) โดยยืมมาจากอักษรกรีกซิกมาตัวใหญ่ Σ ซึ่งนิยามการใช้ไว้ว่า

$\sum _{i=m}^n{x}_i=x_m+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_n$

ตัวห้อยที่อยู่ข้างล่าง i เป็นสัญลักษณ์แทนดัชนีของผลรวม m คือขอบเขตล่างของผลรวม และ n คือขอบเขตบนของผลรวม การที่กำหนดให้ แม่แบบ:Nowrap หมายความว่าดัชนี i เริ่มตั้งแต่ค่าที่เท่ากับ m พจน์ถัดไปจะถูกสร้างขึ้นโดยเพิ่มค่า i ขึ้นไปทีละหนึ่งของค่าก่อนหน้า และหยุดเมื่อ แม่แบบ:Nowrap เราสามารถใช้ตัวแปรอื่นแทน i ก็ได้ เช่น

$\sum _{k=2}^6{k}^2=2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=90$

ถึงแม้ว่าชื่อของตัวแปรดัชนีจะไม่มีความสำคัญ เรามักจะใช้อักษรละตินช่วงกลาง (i ไปถึง q) เพื่อใช้แสดงจำนวนเต็มถ้าหากเกิดความสับสนขึ้น

บางครั้งเราอาจพบการเขียนแบบไม่เป็นทางการ โดยการตัดดัชนีและขอบเขตของผลรวมออกไป เมื่อสิ่งเหล่านี้ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนแล้วในบริบท เช่น

$\sum x_i^2$ จะมีความหมายเทียบเท่ากับ $\sum _{i=1}^n{x}_i^2$

หรืออาจพบรูปแบบการใส่เงื่อนไขทางตรรกะลงไปแทน ซึ่งผลรวมนั้นตั้งใจที่จะบวกค่าที่ตรงตามเงื่อนไขเข้าด้วยกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น

$\sum _{0\le k<100}f(k)$

คือผลรวมของ f (k) บนทุกจำนวนเต็ม k ที่อยู่ในช่วงดังกล่าว

$\sum _{x\in S}f(x)$

คือผลรวมของ f (x) บนทุกสมาชิก x ในเซต S และ

$\sum _{d|n}\mu (d)$

คือผลรวมของ μ (d) บนทุกจำนวนเต็ม d ที่หาร n ได้ลงตัว เป็นต้น

นอกจากนี้ก็ยังมีอีกทางหนึ่งเพื่อนำเสนอแทนการใช้สัญลักษณ์ผลรวมจำนวนมาก เราอาจยุบเข้าด้วยกันได้ เช่น

$\sum _{\ell ,{\ell }^{\prime }}$ จะมีความหมายเหมือนกับ $\sum _{\ell }\sum _{{\ell }^{\prime }}$

สัญกรณ์ภาษาโปรแกรม

ในภาษาโปรแกรมบางภาษาใช้สัญกรณ์อย่างย่อแทนผลรวมคล้ายกับสัญกรณ์คณิตศาสตร์ อย่างเช่นภาษาไพทอน

sum (x[m:n+1])

ภาษาฟอร์แทรนและแมตแล็บ

sum (x(m:n))

ภาษาเจ

+/x

ส่วนในภาษาอื่น ๆ ที่ไม่มีสัญกรณ์แทนผลรวม ก็ต้องเขียนเป็นการวนรอบแทน เช่นภาษาวิชวลเบสิก/วีบีสคริปต์

Sum = 0
For I = M To N
    Sum = Sum + X (I)
Next I

หรือภาษาซี/ซีพลัสพลัส/ซีชาร์ป/จาวา สมมติว่าตัวแปรที่เกี่ยวข้องถูกกำหนดค่าแล้ว

int i;
int sum = 0;
for (i = m; i <= n; i++) {
    sum += x[i];
}

ในบางกรณี การวนรอบก็สามารถย่อให้สั้นลงได้ อย่างเช่นภาษาเพิร์ล

$sum = 0;
$sum += $x[$_] for ($m..$n) ;

ภาษารูบี

x[m..n].inject{|a,b| a+b}
x[m..n].inject (0) {|a,b| a+b}

สำหรับภาษาซีพลัสพลัส สามารถเรียกใช้ฟังก์ชันจากไลบรารีมาตรฐานได้

std::accumulate (&x[m], &x[n + 1], 0)

สังเกตว่าตัวอย่างข้างต้นจะเริ่มต้นด้วยการกำหนดให้ตัวแปรผลบวกเป็น 0 ซึ่งเป็นสมาชิกเอกลักษณ์สำหรับการบวก แต่บางภาษาจะกำหนดให้โดยอัตโนมัติ และค่ากลับคืนของตัวอย่างทั้งหมดข้างต้น จะได้เป็นสเกลาร์ค่าหนึ่ง

กรณีพิเศษ

มีความเป็นไปได้ที่ผลรวมจะประกอบขึ้นจากสมาชิกน้อยกว่า 2 ตัว

• ถ้าผลรวมมีพจน์เดียวคือ x ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ x กรณีนี้จะเกิดเมื่อ m = n ตามนิยามข้างบน
• ถ้าผลรวมไม่มีพจน์ใดอยู่เลย ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ 0 เพราะว่า 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก ผลรวมชนิดนี้เรียกว่า ผลรวมว่าง กรณีนี้จะเกิดเมื่อ m > n หรือไม่มีสมาชิกใดตรงตามเงื่อนไขที่ระบุในผลรวม

การประมาณค่าด้วยปริพันธ์

การประมาณค่าของผลรวม สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมกับปริพันธ์ต่อไปนี้ สำหรับฟังก์ชันเพิ่ม f

$\underset{s=a-1}{\overset{b}{\int }}f(s)ds\le \sum _{i=a}^{b}f(i)\le \underset{s=a}{\overset{b+1}{\int }}f(s)ds$

และฟังก์ชันลด f

$\underset{s=a}{\overset{b+1}{\int }}f(s)ds\le \sum _{i=a}^{b}f(i)\le \underset{s=a-1}{\overset{b}{\int }}f(s)ds$

ส่วนการประมาณค่าแบบทั่วไป ดูได้ที่ สูตรออยเลอร์-แมคลอริน (Euler-Maclaurin formula)

สำหรับฟังก์ชัน f ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ค่าของปริพันธ์สามารถประมาณค่าได้ด้วยผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) ตัวอย่างเช่น สูตรต่อไปนี้คือผลบวกรีมันน์ข้างซ้ายที่แบ่งช่วงเป็น n ส่วนเท่ากัน

$\frac{b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}f(a+i\frac{b-a}{n})\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

ซึ่งการประมาณค่านี้จะแม่นยำมากขึ้น เมื่อ n มีค่ามากขึ้น (ถูกแบ่งเป็นส่วนมากขึ้น) จนเข้าใกล้อนันต์

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}f(a+i\frac{b-a}{n})=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

เอกลักษณ์

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวกับผลรวมที่สำคัญ

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)$ เมื่อ C เป็นค่าคงตัว (ดูเพิ่มที่การคูณสเกลาร์)

$\sum _{i=s}^{n}f(C)=(n-s+1)f(C)$ เมื่อ C เป็นค่าคงตัว

$\sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^t[f(n)+g(n)]$

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)$

$\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)$

$\sum _{i=m}^{n}x=(n-m+1)x$

$\sum _{i=1}^{n}x=nx$ เป็นนิยามของการคูณ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นตัวคูณของ x

$\sum _{i=m}^{n}i=\frac{(n-m+1)(n+m)}{2}$ (ดูเพิ่มที่อนุกรมเลขคณิต)

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i=\frac{(n)(n+1)}{2}$ (กรณีพิเศษของอนุกรมเลขคณิต)

$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$

$\sum _{i=1}^n{i}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}={\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]}^2$

$\sum _{i=1}^n{i}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}$

$\sum _{i=0}^n{i}^p=\frac{(n+1{)}^{p+1}}{p+1}+\sum _{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})(n+1{)}^{p-k+1}$ เมื่อ $B_k$ เป็นจำนวนแบร์นูลลีตัวที่ k

---

$\sum _{i=m}^n{x}^i=\frac{x^{n+1}-x^m}{x-1}$ (ดูเพิ่มที่อนุกรมเรขาคณิต)

$\sum _{i=0}^n{x}^i=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ (กรณีพิเศษของสูตรก่อนหน้านี้ เมื่อ m = 0)

$\sum _{i=0}^{n}i{2}^i=2+2^{n+1}(n-1)$

$\sum _{i=0}^n\frac{i}{2^i}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}$

$\sum _{i=0}^{n}i{x}^i=\frac{x}{(1-x{)}^2}(x^n(n(x-1)-1)+1)$

$\sum _{i=0}^n{i}^2{x}^i=\frac{x}{(1-x{)}^3}(1+x-(n+1{)}^2{x}^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2{x}^{n+2})$

---

$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=2^n$ (ดูเพิ่มที่สัมประสิทธิ์ทวินาม)

$\sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})$

$\left(\sum _i{a}_i\right)\left(\sum _j{b}_j\right)=\sum _i\sum _j{a}_i{b}_j$

---

${\left(\sum _i{a}_i\right)}^2=2\sum _i\sum _{j<i}{a}_i{a}_j+\sum _i{a}_i^2$

$\sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=b}^{a}f(n)$

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=-t}^{-s}f(-n)$

$\sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)$

$\sum _{n=0}^t\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)$

${\hat{b}}^{[\sum _{n=s}^{t}f(n)]}=\prod _{n=s}^t{\hat{b}}^{f(n)}$ (ดูเพิ่มที่ผลคูณของอนุกรม)

$\sum _{n=s}^t\ln f(n)=\ln \prod _{n=s}^{t}f(n)$

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=a}^{t}f(n)=\sum _{n=a}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ (ดูเพิ่มที่ลิมิตอนันต์)

$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{(n-i)}{b}^i$ สำหรับการกระจายทวินาม

$\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b}{n^2-b^2}=\sum _{n=1}^{2b}\frac{1}{2n}$

${(\sum _{i=1}^n{f}_i(x))}^{\prime }=\sum _{i=1}^n{f}_i^{\prime }(x)$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i)\cdot \frac{b-a}{n}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

อัตราการเติบโต

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการประมาณค่าอัตราการเติบโต โดยใช้สัญกรณ์ทีตา

$\sum _{i=1}^n{i}^c=\mathrm{\Theta }(n^{c+1})$ สำหรับจำนวนจริง c ที่มากกว่า −1

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}=\mathrm{\Theta }(\log n)$

$\sum _{i=1}^n{c}^i=\mathrm{\Theta }(c^n)$ สำหรับจำนวนจริง c ที่มากกว่า 1

$\sum _{i=1}^n\log (i{)}^c=\mathrm{\Theta }(n\cdot \log (n{)}^c)$ สำหรับจำนวนจริง c ที่ไม่เป็นลบ

$\sum _{i=1}^n\log (i{)}^c\cdot i^d=\mathrm{\Theta }(n^{d+1}\cdot \log (n{)}^c)$ สำหรับจำนวนจริง c, d ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด

$\sum _{i=1}^n\log (i{)}^c\cdot i^d\cdot b^i=\mathrm{\Theta }(n^d\cdot \log (n{)}^c\cdot b^n)$ สำหรับจำนวนจริง b > 1, c, d ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด

ดูเพิ่ม

• สัญกรณ์ไอน์สไตน์
• ผลรวมตรวจสอบ (checksum)
• ผลคูณ

แหล่งข้อมูลอื่น

• Nicholas J. Higham, "The accuracy of floating point summation", SIAM J. Scientific Computing 14 (4), 783–799 (1993).