การหาปริพันธ์ทีละส่วน

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded = ปริพันธ์

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}

ในแคลคูลัส และในคณิตวิเคราะห์ การหาปริพันธ์ทีละส่วน (แม่แบบ:Langx) เป็นทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงระหว่างปริพันธ์ของผลคูณฟังก์ชันคู่หนึ่ง กับปริพันธ์ของอนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันคู่นั้น มีการหาปริพันธ์วิธีนี้อย่างบ่อยครั้ง โดยการแปลงรูปฟังก์ชันที่หาปฏิยานุพันธ์ยาก แล้วหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันที่หาได้ง่ายกว่า กฎนี้สามารถแปลงให้อยู่ในรูปอย่างง่ายในหนึ่งบรรทัดโดยการหาปริพันธ์ของกฎผลคูณอนุพันธ์

กำหนดให้ แม่แบบ:Math = แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math = แม่แบบ:Math และกำหนดให้ แม่แบบ:Math = แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math = แม่แบบ:Math สำหรับการหาปริพันธ์ทีละส่วน จะได้ว่า

$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)dx$

หรือในรูปที่กระทัดรัดกว่า

$\int udv=uv-\int vdu$

ทฤษฎีบท

ผลคูณของสองฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทนี้แสดงได้ดังสมการข้างล่างนี้ สมมติว่า u(x) และ v(x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จากกฎผลคูณ (ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ):

$\frac{d}{dx}(u(x)v(x))=v(x)\frac{d}{dx}(u(x))+u(x)\frac{d}{dx}(v(x))$

หาปริพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ x

$\int \frac{d}{dx}(u(x)v(x))dx=\int u^{\prime }(x)v(x)dx+\int u(x)v^{\prime }(x)dx$

จากนั้นใช้นิยามของปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

$u(x)v(x)=\int u^{\prime }(x)v(x)dx+\int u(x)v^{\prime }(x)dx$

$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)dx$

จะได้สูตรสำหรับการหาปริพันธ์ทีละส่วน

เมื่อ du และ dv เป็นผลต่างอนุพัทธ์ของฟังก์ชันของตัวแปร x

$du=u^{\prime }(x)dxdv=v^{\prime }(x)dx$

$\int u(x)dv=u(x)v(x)-\int v(x)du$

ปริพันธ์ทางซ้ายของสมการ ∫uv′ dx ประกอบด้วย v′ (อนุพันธ์ของ v) เพื่อที่จะใช้ทฤษฎีบทนี้ได้นั้น ต้องหาค่า v (ปฏิยานุพันธ์ของ v′) ก่อน แล้วจึงหาปริพันธ์ทางขวา ∫vu′ dx

การตีความโดยใช้กราฟ

การตีความทฤษฎีบทนี้โดยใช้กราฟ เส้นโค้งในภาพขึ้นอยู่กับตัวแปร t

กำหนดเส้นโค้งพาราเมตริก (x, y) = (f(t), g(t)) สมมติว่าเส้นโค้งนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราจะสามารถกำหนดได้ว่า

$x(y)=f(g^{-1}(y))$

$y(x)=g(f^{-1}(x))$

พื้นที่ของบริเวณสีน้ำเงินคือ

$A_1=\underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}x(y)dy$

ในทำนองเดียวกัน พื้นที่ของบริเวณสีแดง คือ

$A_2=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}y(x)dx$

พื้นที่รวม A₁ + A₂ มีค่าเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใหญ่ x₂y₂ ลบด้วยพื้นที่ของรูปเล็ก x₁y₁:

$\stackrel{A_1}{\overbrace{\underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}x(y)dy}}+\stackrel{A_2}{\overbrace{\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}y(x)dx}}=x.y(x){|}_{x1}^{x2}=y.x(y){|}_{y1}^{y2}$

สมมติว่าเส้นโค้งนี้เรียบในบริเวณใกล้เคียง ทำให้กล่าวถึงปริพันธ์ไม่จำกัดเขต:

$\int xdy+\int ydx=xy$

จัดรูปใหม่:

$\int xdy=xy-\int ydx$

เพราะฉะนั้น การหาปริพันธ์ทีละส่วนสามารถพิจารณาได้ว่าพื้นที่สีน้ำเงินมาจากพื้นที่รวมลบด้วยพื้นที่สีแดง

การตีความให้เห็นภาพนี้ยังอธิบายได้ว่าทำไมการหาปริพันธ์ทีละส่วนสามารถหาปริพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน f⁻¹(x) ได้ เมื่อทราบปริพันธ์ของฟังก์ชัน f(xv) อันที่จริงแล้ว ฟังก์ชัน x(y) และ y(x) เป็นส่วนกลับกัน และปริพันธ์ ∫x dy สามารถคำนวณได้ดังข้างบน เมื่อทราบปริพันธ์ ∫y dx

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite journal

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:Springer
• Integration by parts—from MathWorld