ฟังก์ชันประกอบ

แม่แบบ:Sidebar ในทางคณิตศาสตร์ ตัวดำเนินการประกอบฟังก์ชัน $\circ$ จะนำฟังก์ชันสองตัว $f$ และ $g$ มารวมกันและให้ฟังก์ชันใหม่กำหนดโดย$h(x):=(g\circ f)(x)=g(f(x))$ นั่นคือทำฟังก์ชัน แม่แบบ:Math หลังจากทำฟังก์ชัน แม่แบบ:Math กับ แม่แบบ:Math

ฟังก์ชัน $(g\circ f)$ อ่านว่า ฟังก์ชันประกอบของ $g$ และ $f$ เรียกการดำเนินการนี้ว่าการประกอบฟังก์ชัน (แม่แบบ:Langx)

การประกอบฟังก์ชันย้อนกลับ (Reverse Composition) บางครั้งเขียนแทนด้วย $f\mapsto g$ ซึ่งหมายถึงการทำงานในลำดับตรงกันข้าม โดยใช้ฟังก์ชัน $f$ ก่อนและ $g$ หลัง ในเชิงสัญชาตญาณ การประกอบย้อนกลับเป็นกระบวนการต่อเนื่องที่ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน แม่แบบ:Math จะถูกส่งเข้าเป็นอินพุตของฟังก์ชัน แม่แบบ:Math

การประกอบฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของการประกอบความสัมพันธ์ (Composition of Relations) ซึ่งบางครั้งใช้สัญลักษณ์ $\circ$ ด้วยเช่นกัน ดังนั้นคุณสมบัติทั้งหมดของการประกอบความสัมพันธ์จึงสามารถนำมาใช้กับการประกอบฟังก์ชันได้ เช่น สมบัติการจัดกลุ่มของความสัมพันธ์

ตัวอย่าง

ตัวอย่างชัดแจ้งสำหรับการประกอบฟังก์ชันสองฟังก์ชัน

• การประกอบฟังก์ชันบนเซตจำกัด: ถ้า แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math จะได้ว่า แม่แบบ:Math ตามที่แสดงในภาพ
• การประกอบฟังก์ชันบนเซตอนันต์: ถ้า แม่แบบ:Math (โดยที่ แม่แบบ:Math คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด) กำหนดโดย แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math กำหนดโดย แม่แบบ:Math, จะได้ว่า: แม่แบบ:Block indent แม่แบบ:Block indent
• ถ้าความสูงของเครื่องบินในเวลา แม่แบบ:Mvar คือ แม่แบบ:Math และความดันอากาศที่ความสูง แม่แบบ:Mvar คือ แม่แบบ:Math ดังนั้นจะได้ว่า แม่แบบ:Math คือความดันอากาศรอบเครื่องบินที่เวลา แม่แบบ:Mvar

สมบัติ

การประกอบฟังก์ชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งเป็นสมบัติที่ได้รับจากการประกอบความสัมพันธ์ นั่นคือ ถ้า แม่แบบ:Mvar, แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar เป็นฟังก์ชันที่สามารถประกอบกันได้ จะมีความสัมพันธ์ ดังนี้: แม่แบบ:Math เนื่องจากวงเล็บไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ในการประกอบฟังก์ชัน จึงนิยมละการเขียนวงเล็บออก

การประกอบฟังก์ชันมีนิยามที่แตกต่างกันหลายระดับ ในแง่ที่รัดกุมเข้มงวดที่สุด ฟังก์ชันประกอบ แม่แบบ:Math จะมีความหมายก็ต่อเมื่อโคโดเมนของ แม่แบบ:Mvar เท่ากับโดเมนของ แม่แบบ:Mvar แต่มีการนิยามฟังก์ชันประกอบที่กว้างขึ้น โดยยอมให้ฟังก์ชันประกอบ แม่แบบ:Math มีความหมายได้เมื่อ โคโดเมนของ แม่แบบ:Mvar เป็นสับเซตของโดเมนของ แม่แบบ:Mvar

นอกจากกรณีข้างต้น หลายครั้งที่การประกอบฟังก์ชันใช้งานสะดวกขึ้นหากยอมให้จำกัดโดเมนของ แม่แบบ:Mvar ลงไป โดยจำกัดโดเมนของ แม่แบบ:Mvar ไปยังเซตของสมาชิกทั้งหมดที่เมื่อส่งผ่าน แม่แบบ:Mvar แล้วลงไปอยู่ในโดเมนของ แม่แบบ:Mvar ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการประกอบฟังก์ชัน แม่แบบ:Math ระหว่างฟังก์ชัน แม่แบบ:Math ที่กำหนดโดย แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math ที่กำหนดโดย $g(x)=\sqrt{x}$ สามารถนิยามได้ในช่วง แม่แบบ:Math ภายใต้นิยามนี้

การประกอบฟังก์ชันค่าจริงสองตัว ได้แก่ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์และฟังก์ชันกำลังสาม ในลำดับที่แตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าการประกอบฟังก์ชันไม่มีสมบัติสลับที่

ฟังก์ชัน แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar จะเรียกว่าสลับที่ได้ ถ้า แม่แบบ:Math ซึ่งหมายความว่าการประกอบฟังก์ชันในลำดับใด ๆ จะให้ผลลัพธ์เหมือนกัน สมบัติการสลับที่กันได้นั้นเป็นสมบัติพิเศษที่เกิดขึ้นเฉพาะกับฟังก์ชันบางคู่ และมักจะเกิดขึ้นในสถานการณ์พิเศษ ตัวอย่างเช่น แม่แบบ:Math จะเป็นจริงเมื่อ แม่แบบ:Math ชภาพด้านข้างแสดงตัวอย่างอื่น ๆ อีกเช่นกัน

การประกอบฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสองตัวจะได้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ ในทำนองเดียวกันการประกอบฟังก์ชันทั่วถึงสองตัวจะได้ฟังก์ชันทั่วถึงเสมอ ดังนั้นการประกอบฟังก์ชันสองตัวที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จะได้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเช่นเดียวกัน

ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันประกอบ (หากมีฟังก์ชันผกผันอยู่จริง) มีคุณสมบัติว่า แม่แบบ:Math

อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันประกอบที่มีหาอนุพันธ์ได้สามารถหาได้โดยใช้กฎลูกโซ่ สำหรับอนุพันธ์อันดับสูงของฟังก์ชันเหล่านี้หาได้จากสูตรของ Faà di Bruno

เราอาจมองว่าการประกอบฟังก์ชันเป็นการคูณชนิดหนึ่งบนปริภูมิของฟังก์ชัน แต่จะมีสมบัติแตกต่างจากการคูณรายจุดของฟังก์ชัน (เช่น การประกอบฟังก์ชันไม่เป็นการคูณที่สลับที่ได้)

โมนอยด์การประกอบฟังก์ชัน

หากเรามีฟังก์ชันสองตัว แม่แบบ:Math แม่แบบ:Math ซึ่งมีโดเมนและโคโดเมนเดียวกัน ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่าการแปลง (transformation) เราสามารถประกอบฟังก์ชันต่อกันไปเรื่อย ๆ เป็นลูกโซ่ เช่น แม่แบบ:Math ลูกโซ่เหล่านี้มีโครงสร้างทางพีชคณิตแบบโมนอยด์ ซึ่งเรียกว่าโมนอยด์การแปลง (transformation monoid) หรือโมนอยด์การประกอบฟังก์ชัน (composition monoid) โมนอยด์การแปลงโดยทั่วไปอาจมีโครงสร้างที่ซับซ้อนมากเช่นในกรณีของเส้นโค้งเดอรัง

เซตของฟังก์ชัน แม่แบบ:Math ทั้งหมดเรียกว่า กึ่งกรุปของการแปลงเต็ม (full transformation semigroup) หรือ กึ่งกรุปสมมาตร (symmetric semigroup) บน แม่แบบ:Mvar

การประกอบกันของการส่งแบบเฉือน (สีแดง) และการหมุนตามเข็มนาฬิกา 45° (สีเขียว) ด้านซ้ายคือวัตถุเดิม ด้านบนคือการเปลี่ยนรูปเชิงเฉียงก่อน แล้วจึงหมุน ด้านล่างคือการหมุนก่อน แล้วจึงเปลี่ยนรูปเชิงเฉียง

หากการแปลงเหล่านี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (ดังนั้นสามารถหาฟังก์ชันผกผันได้) แล้วเซตของฟังก์ชันประกอบทั้งหมดที่เป็นไปได้จะสร้างกรุปการแปลง (transformation group) หรือกรุปการจัดเรียง (permutation group) และจะกล่าวว่ากรุปการจัดเรียงก่อกำเนิดโดยฟังก์ชันฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

ผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีกรุปชื่อว่าทฤษฎีบทของเคย์ลีย์กล่าวว่ากรุปใด ๆ จะเป็นสับกรุปของกรุปการจัดเรียง (จนถึงขั้นภาวะสมสัณฐาน) เซตของฟังก์ชัน แม่แบบ:Math หนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดบนเซต แม่แบบ:Math (ฟังก์ชันเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าการเรียงสับเปลี่ยน) ประกอบกันเป็นกรุปภายใต้การรวมฟังก์ชันเรียกว่ากรุปสมมาตร