กฎลูกโซ่

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded =

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}

ในวิชาแคลคูลัส กฎลูกโซ่ (แม่แบบ:Langx) คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต

เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร y เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร u ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร x แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ u คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ u เทียบกับ x

สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6 °F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6 °F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3 °F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่

ในทางพีชคณิต กฎลูกโซ่ (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และฟังก์ชัน g หาอนุพันธ์ได้ที่ x คือเราจะได้ $f\circ g=f(g(x))$ ดังนั้น

$\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:

$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$

เมื่อ $\frac{df}{dg}$ ระบุว่า f เปลี่ยนแปลงตาม g เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง

ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า

กฎเลขยกกำลังทั่วไป

กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้

ตัวอย่างข้อที่ 1

พิจารณา $f(x)=(x^2+1{)}^3$. $f(x)$ เทียบได้กับ $h(g(x))$ โดยที่ $g(x)=x^2+1$ และ $h(x)=x^3$ ดังนั้น

$\frac{d}{d}\frac{x}{y}$$=f^{\prime }(x).g^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)$	$=3(x^2+1{)}^2(2x)$
	$=6x(x^2+1{)}^2$

ตัวอย่างข้อที่ 2

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

$f(x)=\sin (x^2),$

เราสามารถเขียน $f(x)=h(g(x))$ ด้วย $h(x)=\sin x$ และ $g(x)=x^2$ จากกฎลูกโซ่ จะได้

$f^{\prime }(x)=2x\cos (x^2)$

เนื่องจาก $h^{\prime }(g(x))=\cos (x^2)$ และ $g^{\prime }(x)=2x$

กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร

กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน $f(u(x,y),v(x,y))$ โดยที่

$u(x,y)=3x+y^2$ และ $v(x,y)=\sin (xy)$

ดังนั้น

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=3+\cos (xy)y$

บทพิสูจน์กฎลูกโซ่

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และให้ x เป็นจำนวนที่ f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้

$g(x+\delta )-g(x)=\delta g^{\prime }(x)+ϵ(\delta )$ ซึ่ง $\frac{ϵ(\delta )}{\delta }\to 0$ ขณะที่ $\delta \to 0$

ในทำนองเดียวกัน

$f(g(x)+\alpha )-f(g(x))=\alpha f^{\prime }(g(x))+\eta (\alpha )$ ซึ่ง $\frac{\eta (\alpha )}{\alpha }\to 0$ ขณะที่ $\alpha \to 0$

จะได้

$f(g(x+\delta ))-f(g(x))$	$=f(g(x)+\delta g^{\prime }(x)+ϵ(\delta ))-f(g(x))$
	$={\alpha }_{\delta }{f}^{\prime }(g(x))+\eta ({\alpha }_{\delta })$

ซึ่ง ${\alpha }_{\delta }=\delta g^{\prime }(x)+ϵ(\delta )$ จะเห็นว่าขณะที่ $\delta \to 0$ นั้น $\frac{{\alpha }_{\delta }}{\delta }\to g^{\prime }(x)$ และ $\frac{\eta ({\alpha }_{\delta })}{\delta }\to 0$ ดังนั้น

$\frac{f(g(x+\delta ))-f(g(x))}{\delta }\to g^{\prime }(x)f^{\prime }(g(x))$ ขณะที่ $\delta \to 0$

กฎลูกโซ่พื้นฐาน

กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า E F และ G เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ f : E → F และ g : F → G เป็นฟังก์ชัน และถ้า x เป็นสมาชิกของ E ซึ่ง f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต g o f ที่ x จะเป็นดังนี้

${\text{D}}_x(g\circ f)={\text{D}}_{f\left(x\right)}\left(g\right)\circ {\text{D}}_x\left(f\right)$

สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์

การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ M N และ P เป็นแมนิโฟลด์ C^k (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้

f : M → N และ g : N → P

เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ f แทนด้วย df จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ M ไปยังปมสัมผัสของ N และสามารถเขียนแทนด้วย

$\text{d}(g\circ f)=\text{d}g\circ \text{d}f$

ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ C^∞ โดยมีการแปลง C^∞ เป็นสัณฐาน

เทนเซอร์กับกฎลูกโซ่

ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์