ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

ในคณิตศาสตร์สาขาทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต, ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต หรือ ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียว (แม่แบบ:Langx) เป็นทฤษฎีบทซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น หากไม่สนใจการเรียงลำดับ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน

6936 = 2³ · 3 · 17²   หรือ   1200 = 2⁴ · 3 · 5²

และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบเฉพาะของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะในรูปแบบอย่างอื่น (หากเราไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบ)

เงื่อนไขที่ว่าตัวประกอบทั้งหมดในผลคูณเป็นตัวประกอบเฉพาะนั้นจำเป็น เพราะการเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบเฉพาะอาจไม่ได้มีเพียงแบบเดียว เช่น $12=2\cdot 6=3\cdot 4$

ทฤษฎีบทนี้เป็นอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำไม 1 จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะถ้าหาก 1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วการแยกตัวประกอบเฉพาะจะไม่ได้มีแบบเดียว เช่น $2=2\cdot 1=2\cdot 1\cdot 1=\dots$

ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นที่เรียกว่า โดเมนแยกตัวประกอบได้แบบเดียว (unique factorization domain หรือ UFD) ซึ่งรวมโครงสร้างริงจำนวนมากในพีชคณิต ตั้งแต่ โดเมนไอดีลมุขสำคัญ (principal ideal domain หรือ PID) โดเมนยูคลิเดียน (Euclidean domain) และจนถึงริงพหุนามเหนือฟีลด์ ด้วยเหตุที่ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียวไม่จำเป็นจริงต้องเป็นจริงในริงทั่ว ๆ ไป เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มามีความซับซ้อน

เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราสามารถมองว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)

ประวัติ

ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตสามารถพิสูจน์ได้จากประพจน์ที่ 30, 31 และ 32 เล่ม VII และประพจน์ 14, เล่ม IX ในตำราเอเลเมนส์ของยุคลิด ยุคลิดเป็นผู้แรกที่เขียนถึงการมีอยู่ของการแยกตัวประกอบเฉพาะ ในขณะที่อัล-ฟาริสีเป็นบุคคลแรกที่พิจารณาการมีแบบเดียว และระบุข้อความของทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตที่รวมทั้งการมีอยู่และการมีได้แบบเดียว (existence and uniqueness)

เกาส์ได้เขียนไว้ใน Article 16 (ข้อที่ 16) ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ถึงรูปแบบสมัยใหม่อันแรกของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต พร้อมกับให้บทพิสูจน์ที่ใช้เลขคณิตมอดุลาร์

บทประยุกต์

รูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มบวก

ทุกจำนวนเต็มบวก แม่แบบ:Math สามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะเพียงแบบเดียว

$n=p_1^{n_1}{p}_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}=\prod _{i=1}^k{p}_i^{n_i}$

เมื่อ แม่แบบ:Math เป็นจำนวนเฉพาะ และ แม่แบบ:Math เป็นจำนวนเต็มบวก การเขียนเช่นนี้อาจขยายไปสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกได้โดยรวม 1 โดยอาศัยข้อกำหนดที่ว่า ผลคูณว่างจะเท่ากับ 1 (ผลคูณว่างคือกรณีเมื่อ แม่แบบ:Math)

การเขียนแบบนี้เรียกว่ารูปแบบบัญญัติ (canonical representation) ของ แม่แบบ:Math หรือรูปแบบมาตรฐาน (standard form) ของ n ตัวอย่างเช่น

999 = 3³×37,

1000 = 2³×5³,

1001 = 7×11×13.

สามารถเพิ่มตัวประกอบ แม่แบบ:Math โดยไม่เปลี่ยนค่าของ แม่แบบ:Math (ตัวอย่างเช่น แม่แบบ:Math) ยิ่งไปกว่านั้นทุกจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณอนันต์ของจำนวนเฉพาะบวก

$n=2^{n_1}{3}^{n_2}{5}^{n_3}{7}^{n_4}\cdots =\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_i^{n_i},$

โดยมี แม่แบบ:Math เพียงจำกัดจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็มบวก ที่เหลือมีค่าเป็นศูนย์

หากยอมให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบจะได้รูปแบบบัญญัติของจำนวนตรรกยะ

การดำเนินการทางเลขคณิต

รูปแบบบัญญัติของผลคูณ, รูปแบบบัญญัติของห.ร.ม. และ รูปแบบบัญญัติของค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนสามารถเขียนได้ในเทอมของรูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มทั้งสอง

$\begin{array}{cccc}a\cdot b& =2^{a_1+b_1}{3}^{a_2+b_2}{5}^{a_3+b_3}{7}^{a_4+b_4}\cdots & & =\prod p_i^{a_i+b_i},\\ \gcd (a,b)& =2^{\min (a_1,b_1)}{3}^{\min (a_2,b_2)}{5}^{\min (a_3,b_3)}{7}^{\min (a_4,b_4)}\cdots & & =\prod p_i^{\min (a_i,b_i)},\\ \mathrm{lcm}(a,b)& =2^{\max (a_1,b_1)}{3}^{\max (a_2,b_2)}{5}^{\max (a_3,b_3)}{7}^{\max (a_4,b_4)}\cdots & & =\prod p_i^{\max (a_i,b_i)}.\end{array}$

อย่างไรก็ตาม การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม นั้นยากกว่าการหาผลคูณ, ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน

ฟังก์ชันเลขคณิต

แม่แบบ:Main article ฟังก์ชันเลขคณิตจำนวนมากนิยามผ่านรูปแบบบัญญัติข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าของฟังก์ชันเลขคณิตที่เป็นฟังก์ชันแยกบวก หรือเป็นฟังก์ชันแยกคูณขึ้นอยู่กับค่าของมันสำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะ

การพิสูจน์

การพิสูจน์ด้านล่างจประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ

การมีอยู่

สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้นจะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้นโดยหลักการจัดอันดับดี ให้จำนวนนั้นคือ $n$ จะเห็นได้ว่า $n$ ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะ $n$ เป็นผลคูณของตัวมันเองตัวเดียวซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $n$ จะต้องเป็นจำนวนประกอบ จะได้

$n=ab$

เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $n$ แต่ $n$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทไม่จริง ดังนั้น $a=p_1\cdots p_j$ และ $b=q_1\cdots q_j$ ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ได้ว่า

$n=ab=p_1\dots p_j{q}_1\dots q_k$

ฉะนั้น $n$ เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิดข้อขัดแย้ง

การเขียนได้แบบเดียว

เราจะใช้บทตั้งของยุคลิดที่ว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ p หารผลคูณ ab ลงตัวแล้ว มันจะหาร a ลงตัว หรือหาร b ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์

พิจารณาการแยก $n$ ให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ $p_1,\dots ,p_j$ และ $q_1,\dots ,q_k$ สองแบบ

$n=p_1\cdots p_j=q_1\cdots q_k$

จะเห็นว่า $p_1$ จะหาร $q_1\cdots q_k$ ลงตัว จากบทตั้งของยุคลิด $p_1$จะต้องหารตัวประกอบ $q_i$ ในผลคูณ $q_1\cdots q_k$ ลงตัวอย่างน้อย 1 ตัว โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้เป็น $q_1$ แต่ตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ดังนั้น $p_1$ จะต้องเท่ากับ $q_1$ ดังนั้นเราจึงตัด $p_1$ และ $q_1$ออกจากทั้งสองผลคูณได้ จะได้ว่า

$p_2\cdots p_j=q_2\cdots q_k$

และทำซ้ำอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ จะเห็นว่าตัวประกอบเฉพาะของผลคูณสองผลคูณจะจับคู่กันเสมอจนหมด (เทียบเท่ากับการใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บนจำนวนตัวประกอบเฉพาะ)

อ้างอิง

หนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน

• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n". Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".

• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation

These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.

• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Hardy and Wright
• แม่แบบ:Citation.
• แม่แบบ:Citation.
• แม่แบบ:Citation
• แม่แบบ:Citation

ดูเพิ่ม

• การแยกตัวประกอบ

ลิงก์เชื่อมโยงภายนอก

• Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
• GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
• PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
• Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.
• "Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• แม่แบบ:Citationแม่แบบ:Cbignore