เส้นโค้งเชิงวงรี

แคตตาล็อกเส้นโค้งเชิงวงรี บริเวณของกราฟคือ แม่แบบ:Math
(หมายเหตุ: เมื่อ แม่แบบ:Math ฟังก์ชันนี้ไม่เรียบ ฉะนั้นจึงไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี)

ในคณิตศาสตร์ เส้นโค้งเชิงวงรี (แม่แบบ:Langx) คือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตโปรเจคทีฟที่เป็นเส้นโค้งเรียบและมีจีนัสเท่ากับ 1 และจุดพิเศษ O กำหนดบนเส้นโค้ง เส้นโค้งเชิงวงรีนิยามบนฟีลด์ K และประกอบไปด้วยจุดใน แม่แบบ:Math ถ้าค่าแคแรคเตอริสติกของฟีลด์นั้นไม่เท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วเส้นโค้งเชิงวงรีสามารถเขียนอยู่ในรูปผลเฉลยของสมการ

$y^2=x^3+ax+b$

สำหรับบาง แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar ใน แม่แบบ:Mvar

เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน นั่นคือจะต้องไม่มีบัพแหลม (cusp) และไม่ตัดตัวเอง (non-self-intersecting) ซึ่งสมมูลกับเงื่อนไขที่ว่า แม่แบบ:Math นั่นคือสมการข้างต้นไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ในตัวแปร แม่แบบ:Mvar โดยทั่วไปถือว่าเส้นโค้งเชิงวงรีอยู่บนระนาบเชิงการฉายโดยมีจุด O ผู้เขียนหลายคนนิยามให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งที่กำหนดด้วยสมการข้างต้น (ถ้า K มีแคแรคเตอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการข้างต้นจะไม่ครอบคลุมเส้นโค้งกำลังสามทั้งหมด, ดูหัวข้อ แม่แบบ:Section link ด้านล่าง)

เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นวาไรอิตีอาบีเลียน นั่นคือมีกรุปอาบีเลียนนิยามบนเส้นโค้งดังกล่าว และ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป

ถ้า แม่แบบ:Math เมื่อ แม่แบบ:Mvar เป็นพหุนามกำลังสามใด ๆ ที่ไม่มีรากซ้ำ แล้วเซตของผลเฉลยของสมการข้างต้นจะเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่ไม่เอกฐานและมีจีนัสเท่ากับ 1 ทำให้เซตดังกล่าวเป็นเส้นโค้งเชิงวงรี แต่ถ้า แม่แบบ:Mvar มีดีกรีเท่ากับ 4 และปลอดกำลังสองแล้วสมการข้างต้นเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่มีจีนัสเท่ากับ 1 แต่ไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์ที่เลือกมาแบบธรรมชาติได้ ยิ่งไปกว่างนั้น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตที่มีจีนัสเท่ากับ 1 ใด ๆ เช่นที่เกิดจากรอยตัดระหว่างพื้นผิวกำลังสอง (quadric surface) ในปริภูมิเชิงภาพฉายสามมิติ (three-dimensional projective space) จะเป็นเส้นโค้งเชิงวงรีหากมีจุดพิเศษที่ระบุให้เป็นเอกลักษณ์

โดยใช้ทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงวงรี (elliptic function) เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนจะสัมพันธ์กันกับการฝังทอรัสเข้าไปในปริภูมิเชิงภาพฉายเชิงซ้อน ทอรัสนั้นเป็นกรุปอาบีเลียน และความสัมพันธ์ที่ว่าจะเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างกรุปทั้งสองด้วย

เส้นโค้งเชิงวงรีมีความสำคัญมากโดยเฉพาะในทฤษฎีจำนวน และเป็นหัวข้อวิจัยสำคัญหัวข้อหนึ่งในปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาใช้เส้นโค้งเชิงวงรี นอกจากนี้เส้นโค้งเชิงวงรียังมีบทประยุกต์ในการเข้ารหัสโดยเส้นโค้งเชิงวงรี (elliptic curve cryptography, ECC) และการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม

เส้นโค้งเชิงวงรีไม่ใช่วงรี ที่เป็นภาคตัดกรวยเชิงภาพฉายซึ่งต้องมีจีนัสเป็น 0 ที่มาของชื่อมาจากปริพันธ์เชิงวงรี (elliptic integral) อย่างไรก็ตาม เรามีการระบุเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำนวนจริงผ่านตัวยืนยัง แม่แบบ:Math ซึ่งสามารถแสดงแทนได้เป็นวงรีบนระนาบไฮเพอร์บอลิก ${ℍ}^2$

ในเชิงทอพอโลยี เส้นโค้งเชิงวงรีเชิงซ้อนเป็นทอรัส และวงรีเชิงซ้อนเป็นทรงกลม

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริง

Graphs of curves แม่แบบ:Math and แม่แบบ:Math

ถึงแม้ว่าบทนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องใช้เรขาคณิตเชิงพีชคณิต แต่เราอาจแสดงลักษณะที่สำคัญของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริงผ่านพีชคณิตและเรขาคณิตพื้นฐานได้

ภายใต้มุมมองพื้นฐาน เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งบนระนาบที่สามารถเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้นให้อยู่ในรูป

$y^2=x^3+ax+b$

เมื่อ แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar เป็นจำนวนจริง สมการในรูปแบบนี้เรียกว่าสมการไวเออร์ชตราส (Weierstrass equation) และเรียกเส้นโค้งเชิงวงรีในรูปแบบนี้ว่าอยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราส (Weierstrass form) หรืออยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราสปรกติ (Weierstrass normal form)

นิยามของเส้นโค้งเชิงวงรีระบุเพิ่มเติมอีกว่าเส้นโค้งนั้นต้องไม่เอกฐาน นั่นคือกราฟของเส้นโค้งไม่มีบัพแหลม ไม่ตัดตัวเอง และไม่มีจุดเอกเทศ (isolated point) ซึ่งจะเกิดขึ้นหากดิสคริมิแนนต์ $\mathrm{\Delta }$ ไม่เท่ากับศูนย์:

$\mathrm{\Delta }=-16(4a^3+27b^2)\ne 0$

เส้นกราฟเชิงจริงของเส้นโค้งไม่เอกฐานจะมีสองชิ้น (เรียกว่า คอมโพแนนต์ (component)) หากดิสคริมิแนนต์เป็นบวก และมีชิ้นเดียวหากดิสคริมิแนนต์เป็นลบ ในกราฟด้านข้างสมการ แม่แบบ:Math มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ 64 จึงมีคอมโพแนนต์ของเส้นกราฟสองส่วน ในขณะที่สมการ แม่แบบ:Math มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ -368 จึงมีคอมโพแนนต์เดียว

กรุปลอว์ของเส้นโค้งเชิงวงรี

เมื่อเราทำงานในระนาบเชิงภาพฉาย (projective plane) สมการของเส้นโค้งเชิงวงรีในระบบพิกัดเอกพันธ์ (homogeneous coordinate) จะกลายเป็น :

$\frac{Y^2}{Z^2}=\frac{X^3}{Z^3}+a\frac{X}{Z}+b$

สมการข้างต้นไม่นิยามบนเส้นตรงที่อนันต์ (line at infinity) แต่เราสามารถคูณตลอดด้วย $Z^3$ เพื่อให้ได้สมการที่นิยามทุกที่บนระนาบเชิงภาพฉาย :

$Z{Y}^2=X^3+a{Z}^{2}X+b{Z}^3$

เส้นโค้งข้างต้นสามารถฉายลงให้ได้เส้นโค้งเชิงวงรีบนระนาบในหัวข้อข้างต้น เพื่อหาว่าเส้นโค้งนี้ตัดกับเส้นตรงที่อนันต์ที่ใด เราแทนค่า $Z=0$ ซึ่งจะทำให้ได้ $X^3=0$ นั่นคือ $X=0$ ส่วนค่า $Y$ จะเป็นจำนวนใดก็ได้ดังนั้นทุกสามสิ่งอันดับ $(0,Y,0)$ สอดคล้องกับสมการข้างต้น ในเรขาคณิตเชิงภาพฉายจะได้ว่าเซตของทุกสามสิ่งอันดับแทนด้วยจุดเดียว ฉะนั้นจุดตัดมีเพียงจุดเดียวซึ่งคือจุด $O=[0:1:0]$

เนื่องจากเส้นโค้งข้างต้นเป็นเส้นโค้งเรียบ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดที่อนันต์นี้เป็นเอกลักษณ์ของโครงสร้างกรุปที่เราจะนิยามต่อไป

เส้นโค้งนี้สมมาตรเมื่อเทียบกับแกน แม่แบบ:Mvar หากกำหนดจุด แม่แบบ:Mvar บนเส้นโค้งมา เรานิยาม แม่แบบ:Math ให้เป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกับมันเมื่อเทียบกับแกน แม่แบบ:Mvar เราจะได้ $-O=O$ เพราะ $O$ อยู่บนระนาบ แม่แบบ:Mvar ฉะนั้น $-O$ เป็นจุดที่สมมาตรกับจุด $O$ เมื่อเทียบกับแกน แม่แบบ:Mvar

ถ้า แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar เป็นจุดบนเส้นโค้ง เรานิยาม แม่แบบ:Math ให้เป็นจุดที่กำหนดดังต่อไปนี้ ลากเส้นตรงเชื่อมระหว่าง แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar เส้นตรงนี้มักจะตัดเส้นโค้งเชิงวงรีที่จุดที่สาม กำหนดให้เป็นจุด แม่แบบ:Mvar แล้วจะนิยาม แม่แบบ:Math ให้เป็นจุด แม่แบบ:Math ที่อยู่ตรงข้ามกับ แม่แบบ:Mvar

นิยามข้างต้นใช้ได้ทั่วไปเว้นแต่กรณีเฉพาะบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับจุดที่อนันต์และการตัดซ้ำซ้อน ในกรณีที่มีจุดบางจุดเป็น แม่แบบ:Mvar เราจะนิยามให้ แม่แบบ:Math ส่งผลให้ แม่แบบ:Mvar เป็นเอกลักษณ์ของกรุป ถ้า แม่แบบ:Math เราจะมีจุดเพียงจุดเดียว ฉะนั้นจะนิยามเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองไม่ได้เพราะไม่ได้มีเพียงเส้นตรงเดียว เราจึงเลือกเส้นที่สัมผัสเส้นโค้งแทน โดยทั่วไปเส้นสัมผัสจะตัดเส้นโค้งนี้อีกครั้งซึ่งเราสามารถกำหนดให้เป็น แม่แบบ:Mvar และหา แม่แบบ:Math ได้ ในขณะที่หาก แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar เป็นจุดบนเส้นโค้งที่อยู่ตรงข้ามกัน เรานิยามให้ แม่แบบ:Math และสุดท้าย หาก แม่แบบ:Mvar เป็นจุดเปลี่ยนเว้า เรานิยาม แม่แบบ:Mvar ให้เป็นจุด แม่แบบ:Mvar เอง และ แม่แบบ:Math คือจุดที่ตรงข้ามตัวมันเอง ซึ่งก็คือจุด แม่แบบ:Mvar เอง

ให้ แม่แบบ:Mvar เป็นฟีลด์ที่เส้นโค้งนี้นิยามบนฟีลด์นั้น หรือก็คือสัมประสิทธิ์ของสมการนิยามเส้นโค้งอยู่ใน แม่แบบ:Mvar และเขียนแทนเส้นโค้งด้วย แม่แบบ:Mvar แล้วจุด แม่แบบ:Mvar-rational points ของ แม่แบบ:Mvar คือจุดบน แม่แบบ:Mvar ที่ทุกพิกัดอยู่ใน แม่แบบ:Mvar รวมถึงจุดที่อนันต์

เซตของจุด แม่แบบ:Mvar-rational point กำหนดโดย แม่แบบ:Math จะเป็นกรุปภายใต้การบวกจุดข้างต้น นอกจากนี้ หาก แม่แบบ:Mvar เป็นฟีลด์ย่อยของ แม่แบบ:Mvar แล้ว แม่แบบ:Math จะเป็นสับกรุปของ แม่แบบ:Math

มุมมองเชิงพีชคณิต

โครงสร้างกรุปข้างต้นสามารถกำหนดได้ด้วยพีชคณิตเช่นเดียวกับที่ใช้เรขาคณิตกำหนด ให้ แม่แบบ:Math เป็นเส้นโค้งเหนือฟีลด์ แม่แบบ:Mvar (ที่แคแรกเทอริสติกของฟีลด์ไม่ใช่ 2 หรือ 3) และกำหนดให้จุด แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math อยู่บนเส้นโค้ง สมมติเสียก่อนว่า แม่แบบ:Math (ให้เป็นกรณีที่ 1) ให้ แม่แบบ:Math เป็นสมการของเส้นตรงที่ตัดเส้นโค้งที่จุด แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar ดังนั้นจะมีความชันเท่ากับ

$s=\frac{y_P-y_Q}{x_P-x_Q}$

เส้นโค้งและเส้นตรงตัดกันที่จุด แม่แบบ:Mvar, แม่แบบ:Mvar, และ แม่แบบ:Mvar เมื่อแทนค่า แม่แบบ:Math ลงในสมการเส้นโค้งแล้วจะได้ว่า

${(sx+d)}^2=x^3+ax+b$

ซึ่งสมมูลกับสมการ

$x^3-s^2{x}^2-2sdx+ax+b-d^2=0$

และเนื่องจาก แม่แบบ:Mvar, แม่แบบ:Mvar, and แม่แบบ:Mvar เป็นจุดที่เส้นตรงและเส้นโค้งตัดกัน จึงเป็นผลเฉลยของสมการข้างต้น และเป็นรากของสมการ

$(x-x_P)(x-x_Q)(x-x_R)=x^3+(-x_P-x_Q-x_R)x^2+(x_P{x}_Q+x_P{x}_R+x_Q{x}_R)x-x_P{x}_Q{x}_R$

สมการทั้งสองมีรากเป็นตัวเดียวกัน ฉะนั้นจึงเป็นสมการเดียวกัน ด้วยการเทียบสัมประสิทธิ์หน้า แม่แบบ:Math จะได้ว่า

$-s^2=(-x_P-x_Q-x_R)$

แก้หาตัวแปร แม่แบบ:Mvar ได้ว่า

$x_R=s^2-x_P-x_Q$

แม่แบบ:Mvar หาได้จากสมการเส้นตรง

$y_R=y_P+s(x_R-x_P)$

จะเห็นได้ว่า แม่แบบ:Mvar เป็นสมาชิกใน แม่แบบ:Mvar เพราะ แม่แบบ:Mvar เป็นสมาชิกใน แม่แบบ:Mvar ด้วย

ถ้า แม่แบบ:Math แล้วจะมีความเป็นไปได้สองแบบ หนึ่งคือ แม่แบบ:Math (กรณีที่ 3) ซึ่งรวมกรณี แม่แบบ:Math (กรณีที่ 4) เข้าไปด้วย แล้วเรานิยามให้ผลบวก แม่แบบ:Math คือ 0 ดังนั้นอินเวอร์สของแต่ละจุดบนเส้นตรงหาได้จากสะท้อนจุดนั้นข้ามแกน แม่แบบ:Mvar

และถ้า แม่แบบ:Math แล้ว แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math (กรณีที่สอง 2) ความชัดจะหาได้จากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (x_P, y_P):

$\begin{array}{cc}s& =\frac{3{x_P}^2+a}{2y_P}\\ x_R& =s^2-2x_P\\ y_R& =y_P+s(x_R-x_P)\end{array}$

เส้นโค้งไม่อยู่ในรูปไวเออร์ชตราส

สำหรับเส้นโค้งกำลังสามที่ไม่อยู่ในรูปแบบของไอเออร์ชตราส เราสามารถนิยามโครงสร้างกรุปบนมันได้โดยกำหนดให้จุดเปลี่ยนเว้าจุดหนึ่งจากทั้งหมดเก้าจุดของเส้นโค้งเป็นเอกลักษณ์ แม่แบบ:Mvar ในระนาบเชิงภาพฉาย เส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดเส้นโค้งกำลังสามที่จุดสามจุด (เมื่อพิจารณาภาวะรากซ้ำเข้าไปด้วย) สำหรับแต่ละจุด แม่แบบ:Mvar นิยามให้ แม่แบบ:Math เป็นจุดที่สามที่เป็นจุดตัดของเส้นโค้งและเส้นตรงที่ผ่าน แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar แล้วสำหรับแต่ละ แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar ให้ แม่แบบ:Math นิยามเป็น แม่แบบ:Math เมื่อ แม่แบบ:Mvar คือจุดที่สามบนเส้นตรงที่ผ่านจุด แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนตรรกยะ

เส้นโค้งเชิงวงรี E นิยามเหนือฟีลด์ของจำนวนตรรกยะก็นิยามบนฟิลด์ของจำนวนจริงด้วย ดังนั้นวิธีการบวกจุดที่มีคู่อันดับเป็นจำนวนจริงที่นิยามผ่านเส้นสัมผัสสามารถทำได้บน E เช่นกัน สูตรที่เกี่ยวข้องแสดงให้เห็นว่าผลบวกระหว่างจุด P และ Q ที่มีพิกัดทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะจะมีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เนื่องจากสมการเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด P และ Q มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ฉะนั้นเซตของจุดตรรกยะบน E เป็นสับกรุปของเซตของจุดค่าจริงบน E และเป็นกรุปอาบีเลียน

จุดจำนวนเต็ม

เส้นโค้งเชิงวงรีอาจมีจุดที่เป็นจำนวนเต็มได้หลายจุด

ตัวอย่างเช่นสมการ แม่แบบ:Math มีผลเฉลยจำนวนเต็มทั้งหมด 8 จำนวนที่ y > 0:

(x, y) = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (แม่แบบ:ค่า, แม่แบบ:ค่า)

อีกตัวอย่างหนึ่ง คือสมการของลยุงเกริน (Ljunggren's equation) ทีมี่รูปแบบไวเออร์ชตราสคือ แม่แบบ:Math มีผลเฉลยเพียง 4 ผลเฉลยที่ y ≥ 0 :

(x, y) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338, แม่แบบ:ค่า)

โครงสร้างของจุดตรรกยะ

จุดตรรกยะทั้งหมดสามารถหาได้จากวิธีเส้นสัมผัสและจุดตัด ถ้ามีจุดตรรกยะเริ่มต้นมาให้จำกัดจุด หรืออาจกล่าวให้ชัดเจนยิ่งไปกว่านี้ได้โดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์ (Mordell–Weil theorem) ซึ่งระบุว่ากรุปของจุดตรรกยะ E(Q) เป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated group) ที่เป็นกรุปอาบีเลียน โดยทฤษฎีบทหลักมูลของกรุปก่อกำเนิดจำกัดอาบีเลียน เราจะได้ว่า E(Q) เป็นผลบวกตรงจำกัดตัวของ Z และกรุปวัฏจักรจำกัด

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์มีสองส่วน ส่วนแรกแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกจำนวนเต็ม m > 1 กรุปผลหาร E(Q)/mE(Q) เป็นกรุปจำกัด (นี่คือทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน (weak Mordell–Weil theorem)) และส่วนที่สองนิยามฟังก์ชันชื่อ height function h บนจุดตรรกยะของ E(Q) นิยามโดย h(P₀) = 0 และ แม่แบบ:Math ถ้า P (ที่ไม่ใช่จุดที่อนันต์ P₀) มีคู่อันดับตัวหน้าเป็นจำนวนตรรกยะในรูป x = p/q (เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์) ฟังก์ชัน h มีสมบัติว่า h(mP) ประพฤติตัวมีค่าใกล้เคียงรากที่สองของ m ยิ่งไปกว่านั้นมีจุดตรรกยะเพียงจำกัดจุดเท่านั้นที่มี height น้อยกว่าค่าคงตัวใด ๆ

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทจึงเหมือนวิธี infinite descent รูปแบบหนึ่ง และใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดบน E: ให้ P ∈ E(Q) เป็นจุดตรรกยะบนเส้นโค้ง และเขียน P ในรูปผลบวก 2P₁ + Q₁ เมื่อ Q₁ เป็นตัวแทนสักตัวหนึ่งของ P ใน E(Q)/2E(Q) แล้ว height ของ P₁ จะมีค่าประมาณ แม่แบบ:เศษ ของ height ของ P (หรือโดยทั่วไปกว่านั้น สามารถเปลี่ยน 2 ด้วย m > 1 ใด ๆ ก็ได้ และจะเปลี่ยน แม่แบบ:เศษ ให้เป็น แม่แบบ:เศษ) แล้วทำเช่นนี้กับ P₁ นั่นคือให้ P₁ = 2P₂ + Q₂ และ P₂ = 2P₃ + Q₃,ไปเรื่อย ๆ เราสามารถเขียนจุด P ให้เป็นผลรวมเชิงเส้นของจุด Q_i ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ height ของจุดดังกล่าวมีขอบเขตสักค่าหนึ่งที่เลือกไว้ก่อนหน้า ฉะนั้นโดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน และสมบัติของ height function จะได้ว่า P เขียนอยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของจุดจำกัดตัวและมีสัมประสิทธิ์ในผลรวมเชิงเส้นเป็นจำนวนเต็ม

อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทข้างต้นไม่ได้ให้วิธีหาตัวแทนใด ๆ ของ E(Q)/mE(Q).

แรงก์ของกรุป E(Q) หรือจำนวนซ้ำของ Z ที่ปรากฎใน E(Q) ซึ่งเท่ากับจำนวนจุดอิสระที่มีอันดับเป็นอนันต์ จะถูกเรียกว่าแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี E ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) เกี่ยวข้องกับการหาแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี โดยกล่าวว่าแรงก์จะมีค่ามากที่สุดเท่าใดก็ได้ ถึงแม้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่เรารู้จักจะมีแรงก์น้อย ๆ เท่านั้น เส้นโค้งเชิงวงรีที่มีแรงก์มากที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ

y² + xy + y = x³ − x² − แม่แบบ:Gapsx + แม่แบบ:Gaps

ซึ่งมีแรงก์เท่ากับ 20 และค้นพบโดย Noam Elkies และ Zev Klagsbrun ในปี 2020 เส้นโค้งที่มีแรงก์สูงกว่า 20 เราทราบว่ามีอยู่ตั้งแต่ปีค.ศ. 1994 โดยมีขอบเขตล่างตั้งแต่ 21 ถึง 28 แต่ไม่ทราบค่าแรงก์ที่แน่นอน และยังไม่มีบทพิสูจน์ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีไหนมีแรงก์สูงกว่ากัน

สำหรับกรุปที่เป็นทอร์ชันสับกรุป (torsion subgroup) ของ E(Q) เรามีทฤษฎีบทดังต่อไปนี้: ทอร์ชันสับกรุปของ E(Q) ที่เป็นไปได้อยู่ใน 15 กรุปดังต่อไปนี้ (ทฤษฎีบทนี้ชื่อทฤษฎีบททอร์ชันของมาซูร์ (Mazur's torsion theorem) โดย Barry Mazur): Z/NZ สำหรับ N = 1, 2, ..., 10, หรือ 12, หรือ Z/2Z × Z/2NZ โดย N = 1, 2, 3, 4. เรารู้ส้นโค้งเชิงวงรีที่มีทอร์ชันสับกรุปตามทฤษฎีบทข้างต้นในทุกกรณี และเส้นโค้งเชิงวงรีที่มี Mordell–Weil groups เหนือ Q และมีทอร์ชันกรุปเดียวกันสามารถเขียนอยู่ในรูปอิงตัวแปรเสริมระหว่างกันได้

ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์

แม่แบบ:Main ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, BSD) เป็นหนึ่งในปัญหารางวัลมิลเลนเนียมของสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ ข้อคาดการณ์นี้เกี่ยวข้องกับวัตถุทางพีชคณิตและคณิตวิเคราะห์ที่นิยามจากเส้นโค้งเชิงวงรี

จากด้านคณิตวิเคราะห์ เรามีส่วนสำคัญคือฟังก์ชันเชิงซ้อน L ที่เรียกว่าฟังก์ชันซีตาของฮัสเซอ-แวย์ (Hasse–Weil zeta function) ของเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ Q ฟังก์ชันนี้คล้ายคลึงกับฟังก์ชันซีตาของรีมัน (Riemann zeta function) และ แอล-ฟังก์ชันของดิริชเลต์ (Dirichlet L-function) ฟังก์ชันนี้นิยามเป็นผลคูณออยเลอร์ (Euler product) โดยมีตัวประกอบหนึ่งตัวสำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะ p

สำหรับแต่ละเส้นโค้ง E เหนือ Q กำหนดโดยสมการในรูป

$y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$

เมื่อ $a_i$ เป็นสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม หากเราลดทอนลงไปในมอดุโล p จะได้เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด F_p ยกเว้นที่จำนวนเฉพาะ p จำกัดตัว ที่เมื่อลดทอนไปแล้วเส้นโค้งจะมีภาวะเอกฐาน ทำให้ไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี ในกรณีนี้เราเรียกว่า E มี bad reduction ที่ p (E is of bad reduction at p)

เราอาจมองได้ว่าฟังก์ชันซีตาของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด F_p เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด ที่รวบรวมข้อมูลของจำนวนจุดของ E ที่มีค่าในฟีลด์ภาคขยายจำกัด F_pⁿ ของ F_p ซึ่งกำหนดโดย

$Z(E({𝐅}_p))=\exp (\sum \mathrm{\#}[E({𝐅}_{p^n})]\frac{T^n}{n})$

ผลรวมภายในฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลดูเหมือนฟังก์ชันลอการิทึม และสามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันซีตาข้างต้นนี้เป็นฟังก์ชันตรรกยะ:

$Z(E({𝐅}_p))=\frac{1-a_{p}T+p{T}^2}{(1-T)(1-pT)},$

เมื่อเทอม $a_p$ (เรียกเทอมนี้ว่า trace of Frobenius) นิยามให้เป็นผลต่างระหว่างค่า"ที่ควรจะเป็น"คือ $p+1$ และจำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี $E$ เหนือ ${𝔽}_p$ เขียนได้เป็น

$a_p=p+1-\mathrm{\#}E({𝔽}_p)$

จัดรูปจะได้

$\mathrm{\#}E({𝔽}_p)=1-a_p+p$

เราสามารถนิยามปริมาณและฟังก์ชันที่คล้ายกันนี้เหนือฟีลด์จำกัดที่มีแคแรกเทอริสติก $p$ โดยที่ $q=p^n$ ด้วยการแทนลงในทุกที่ที่ $p$ ปรากฎ

แอล-ฟังก์ชัน (L-function) ของ E เหนือ Q จะรวบรวมข้อมูลข้างต้นทั้งหมดเข้าด้วยกันสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ p โดยเรานิยามดังต่อไปนี้

$L(E(𝐐),s)=\prod _{p\mid ̸N}{(1-a_p{p}^{-s}+p^{1-2s})}^{-1}\cdot \prod _{p\mid N}{(1-a_p{p}^{-s})}^{-1}$

เมื่อ N คือ conductor ของ E ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เป็น bad reduction ของ E โดยในกรณีดังกล่าว a_p จะนิยามต่างออกไปจากข้างต้น (ดู Silverman (1986))

ผลคูณข้างต้นลู่เข้าเมื่อ Re(s) > 3/2 เท่านั้น ข้อความคาดการณ์ของฮัสเซอ (Hasse's conjecture) ยืนยันว่าแอล-ฟังก์ชันข้างต้นมีการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ไปยังระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด และสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันที่เชื่อมโยงระหว่าง L(E, s) และ L(E, 2 − s) สำหรับทุก s มีการพิสูจน์ได้ในปีค.ศ. 1999 ว่าข้อความคาดการณ์ข้างต้นเป็นผลจากบทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของชิมูระ-ทานิยามะ-แวย์ (Shimura–Taniyama–Weil conjecture) ซึ่งกล่าวว่าทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ Q เป็นเส้นโค้งมอดูลาร์ (modular curve) และส่งผลให้แอล-ฟังก์ชันของมันเป็นแอล-ฟังก์ชันของมอดูลาร์ฟอร์ม ซึ่งเรารู้จักการต่อเนื่องวิเคราะห์ของมอดูลาร์ฟอร์มแล้ว ฉะนั้นเราสามารถพูดถึงค่าของ L(E, s) สำหรับทุกจำนวนเชิงซ้อน s

เมื่อ s=1 (ผลคูณของส่วน conductor สามารถตัดออกได้เพราะเป็นค่าจำกัด) แอล-ฟังก์ชันจะเท่ากับ

$L(E(𝐐),1)=\prod _{p\mid ̸N}{(1-a_p{p}^{-1}+p^{-1})}^{-1}=\prod _{p\mid ̸N}\frac{p}{p-a_p+1}=\prod _{p\mid ̸N}\frac{p}{\mathrm{\#}E({𝔽}_p)}$

ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์เชื่อมโยงพีชคณิตของเส้นโค้งเชิงวงรีกับพฤติกรรมของแอล-ฟังก์ชันที่s = 1โดยกล่าวว่า vanishing order ของ แอล-ฟังก์ชันที่ s = 1 เท่ากับแรงก์ของ E และทำนายเทอมแรกของของอนุกรมโลรองต์ของ L(E, s) ที่จุดนั้นในเทอมของปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งเชิงวงรี

หากข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (BSD) เป็นจริง จะมีผลที่ตามมาจำนวนมาก โดยมีตัวอย่างสองข้อดังนี้

• จำนวนคอนกรูเอนต์ (Congruent number) คือจำนวนคี่ปลอดกำลังสอง n ที่เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านทั้งสามเป็นจำนวนตรรกยะ เราทราบว่า n จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อเส้นโค้งเชิงวงรี $y^2=x^3-n^{2}x$ มีจุดตรรกยะที่มีอันดับเป็นอนันต์ หาก BSD เป็นจริง นี่จะสมมูลกับแอล-ฟังก์ชันของเส้นโค้งเชิงวงรีนี้มีรากที่ s = 1 ทันเนล (Tunnell) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกันว่า หาก BSD เป็นจริง แล้ว n จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อจำนวนสามสิ่งอันดับของจำนวนเต็ม (x, y, z) ที่สอดคล้องกับ $2x^2+y^2+8z^2=n$ มีค่าเป็นสองเท่าของจำนวนของสามสิ่งอันดับที่สอดคล้องกับ $2x^2+y^2+32z^2=n$ ส่วนที่น่าสนใจคือเงื่อนไขนี้สามารถตรวจสอบได้โดยง่าย
• ในอีกทิศทางหนึ่ง วิธีการทางคณิตวิเคราะห์แบบหนึ่งสามารถประมาณค่าอันดับของศูนย์ที่กึ่งกลางของแถบค่าวิกฤติ (critical strip) ของแอล-ฟังก์ชันบางตัวได้ หาก BSD เป็นจริง การประมาณค่านี้เกี่ยวข้องกับแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรีจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากข้อความคาดการณ์ของรีมันวางนัยทั่วไป (generalized Riemann hypothesis) และ BSD เป็นจริง แล้วโดยเฉลี่ยแล้ว แรงก์ของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ $y^2=x^3+ax+b$ จะไม่เกิน 2

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด

เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี y² = x³ − x เหนือฟีลด์จำกัด F₆₁

ให้ K = F_q เป็นฟีลด์จำกัดที่มีสมาชิก q ตัว และ E เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีนิยามเหนือ K ถึงแม้ว่าจำนวนจุดตรรกยะของเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ K โดยทั่วไปแล้วจะคำนวณออกมาได้ยาก แต่ทฤษฎีบทของฮัสเซอว่าด้วยเส้นโค้งเชิงวงรี (Hasse's theorem on elliptic curves) ให้อสมการด้านล่าง

$|\mathrm{\#}E(K)-(q+1)|\le 2\sqrt{q}$

อีกนัยหนึ่งคือ จำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีโตเป็นสัดส่วนโดยตรงกับจำนวนสมาชิกในฟีลด์ ผลลัพธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีขั้นสูงที่ทั่วไปกว่า เช่น local zeta function และ étale cohomology

เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี y² = x³ − x เหนือฟีลด์จำกัด F₈₉

เซตของจุด E(F_q) จะเป็นกรุปอาบีเลียนจำกัด และเป็นกรุปวัฏจักรหรือผลคูณของกรุปวัฏจักรสองกรุปขึ้นกับภาวะคู่คี่ของ q ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ

$y^2=x^3-x$

เหนือ F₇₁ มีจุดทั้งหมด 72 จุด (71 จุดสัมพรรค รวมถึง (0,0) และหนึ่งจุด ณ อนันต์) ในฟีลด์นี้ ซึ่งมีโครงสร้างกรุปที่กำหนดโดย Z/2Z × Z/36Z. จำนวนจุดบนเส้นโค้งจำเพาะสามารถคำนวณได้ด้วยขั้นตอนวิธีของสคูฟ

เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี y² = x³ − x เหนือฟิลด์จำกัด F₇₁

การศึกษาเส้นโค้งเหนือฟีลด์ภาคขยายของ F_q ทำได้โดยการสร้างฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ (local zeta function) ของ E เหนือ F_q, นิยามโดยอนุกรมก่อกำเนิด

$Z(E(K),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\#}[E(K_n)]\frac{T^n}{n}\right)$

เมื่อฟิลด์ K_n เป็นฟีลด์ภาคขยาย (มีฟีลด์เดียวหากนับความสมสัณฐาน) ของ K = F_q ที่มีดีกรีเท่ากับ n (ซึ่งก็คือ F_qⁿ).

ฟังก์ชันซีตานี้จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปร T ซึ่งสามารถพิสูน์ได้ดังนี้: จำนวนเต็ม $a_n$ ที่ทำให้

$\mathrm{\#}E(K_n)=1-a_n+q^n$

จะมีจำนวนเชิงซ้อน $\alpha$ ที่เกี่ยวข้องที่ทำให้

$1-a_n+q^n=1-{\alpha }^n-{\overline{\alpha }}^n+q^n$

เมื่อ $\overline{\alpha }$ เป็นสังยุคเชิงซ้อนของ $\alpha$ เราเลือก $\alpha$ เพื่อให้ขนาดของมันเท่ากับ $\sqrt{q}$ ดังนั้น $\alpha =q^{\frac{1}{2}}{e}^{i\theta },\overline{\alpha }=q^{\frac{1}{2}}{e}^{-i\theta }$ และ $\cos n\theta =\frac{a_n}{2\sqrt{q}}$ ฉะนั้นเราจะได้ว่า ${\alpha }^n{\overline{\alpha }}^n=q^n$ และ ${\alpha }^n+{\overline{\alpha }}^n=a_n$ หรืออีกนัยหนึ่งเราจะได้ว่า $(1-{\alpha }^n)(1-{\overline{\alpha }}^n)=1-a_n+q^n$.

แล้ว $\alpha$ สามารถใช้แทนค่าลงไปฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่เพราะค่าของมันเมื่อเราเปลี่ยเลขชี้กำลังจะมีค่าประมาณใกล้เคียงกับพฤติกรรมของ $a_n$

$\begin{array}{cc}{Z}_E(T)& =\exp \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-{\alpha }^n-{\overline{\alpha }}^n+q^n)\frac{T^n}{n}\right)\\ & =\exp (\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{T^n}{n}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }^n\frac{T^n}{n}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\overline{\alpha }}^n\frac{T^n}{n}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n\frac{T^n}{n})\\ & =\exp (-\ln (1-T)+\ln (1-\alpha T)+\ln (1-\overline{\alpha }T)-\ln (1-qT))\\ & =\exp (\ln \frac{(1-\alpha T)(1-\overline{\alpha }T)}{(1-T)(1-qT)})\\ & =\frac{(1-\alpha T)(1-\overline{\alpha }T)}{(1-T)(1-qT)}\\ \end{array}$

เนื่องจาก $(1-\alpha T)(1-\overline{\alpha }T)=1-aT+q{T}^2$ ทำให้ได้ว่า

$Z(E(K),T)=\frac{1-aT+q{T}^2}{(1-qT)(1-T)}$

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของ E : y² + y = x³ เหนือฟีลด์ F₂ กำหนดโดย

$\frac{1+2T^2}{(1-T)(1-2T)}$

ซึ่งได้มากจาก:

$|E({𝐅}_{2^r})|=\{\begin{array}{cc}{2}^r+1& r\text{ odd}\\ 2^r+1-2(-2{)}^{\frac{r}{2}}& r\text{ even}\end{array}$

สมการเชิงฟังก์ชันคือ

$Z(E(K),\frac{1}{qT})=\frac{1-a\frac{1}{qT}+q{\left(\frac{1}{qT}\right)}^2}{(1-q\frac{1}{qT})(1-\frac{1}{qT})}=\frac{q^2{T}^2-aqT+q}{(qT-q)(qT-1)}=Z(E(K),T)$

เนื่องจากสนใจเฉพาะพฤติกรรมของ $a_n$ เราสามารถใช้ฟังก์ชันซีตาลดทอน

$\begin{array}{cc}Z(a,T)& =\exp (\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}-a_n\frac{T^n}{n})\\ & =\exp (\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}-{\alpha }^n\frac{T^n}{n}-{\overline{\alpha }}^n\frac{T^n}{n})\\ \end{array}$

และจะได้ว่า

$Z_a(T)=\exp (\ln (1-\alpha T)+\ln (1-\overline{\alpha }T))$

ทำได้ให้แอล-ฟังก์ชันเฉพาะที่ (local L-function)

$L(E(K),T)=1-aT+q{T}^2$

ข้อความคาดการณ์ของซาโต-เทต (Sato–Tate conjecture) ระบุว่าเทอมความคาดเคลื่อน $2\sqrt{q}$ ในทฤษฎีบทของฮัสเซอขึ้นกับจำนวนเฉพาะ q ที่ต่างกันหากเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ Q อยู่ในรูปมอดุโล q ลดรูป ข้อความคาดการณ์ข้างต้นถูกพิสูจน์ (สำหรับเกือบทุกกรณีข้างต้น) ในปี 2006 โดย Taylor, Harris และ Shepherd-Barron

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีบทประยุกต์ใช้ในวิทยาการเข้ารหัสลับ และการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มค่ามาก ๆ ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรีจะอาศัยความเป็นกรุปของจุดบน E ฉะนั้นขั้นตอนวิธีที่ใช้ได้กับกรุปทั่วไป เช่นกรุปของสมาชิกที่หาอินเวอร์สได้ใน F*_q จะสามารถประยุกต์ใช้กับกรุปของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ ตัวอย่างเช่น ขั้นตอนวิธีลอการิทึมวิยุต

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์ทั่วไป

เส้นโค้งเชิงวงรีสามารถนิยามเหนือฟีลด์ K ใด ๆ ได้ โดยนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตเหนือ K เชิงภาพฉายไม่เอกฐานที่มีจีนัส 1 และมีจุดเฉพาะที่นิยามเหนือ K

ถ้าแคแรคเทอริสติกของ K ไม่ใช่ 2 หรือ 3 แล้วหลังจากการเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้น ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ K สามารถเขียนได้ในรูป

$y^2=x^3-px-q$

ในที่นี้ p และ q เป็นสมาชิกของ K ที่ทำให้พหุนาม x³ − px − q ทางฝั่งขวามือไม่มีรากซ้ำ ถ้าแคแรกเทอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องมีพจน์ที่กำจัดไม่ได้มากขึ้น ในแคแรคเทอริสติก 3 สมการของเส้นโค้งที่ทั่วไปที่สุดคือ

$y^2=4x^3+b_2{x}^2+2b_{4}x+b_6$

สำหรับค่าคงที่ b₂, b₄, b₆ ที่ทำให้พหุนามมางขวามือของสมการมีรากที่แตกต่างกันทั้งหมด (สัญกรณ์ที่ใช้นี้มีที่มาทางประวัติศาสตร์) ในแคแรกเทอริสติก 2 จะต้องมีเทอมมากกว่านั้นอีก โดยมีสมการทั่วไปคือ

$y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$

เมื่อวาไรอิตี้ที่สมการนี้นิยามไม่เอกฐาน

โดยทั่วไป เรากำหนดให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเซตของจุด (x,y) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการข้างต้น โดยที่ x และ y เป็นสมาชิกในส่วนปิดคลุมเชิงพีชคณิตของ K จุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีทั้งหมดที่พิกัดทั้งสองอยู่ใน K เรียกว่า K-rational points

ผลลัพธ์จำนวนมากในหัวข้อก่อนหน้าเป็นจริงเมื่อฟีลด์ที่นิยามเส้นโค้งเชิงวงรี E เป็นฟีลด์จำนวน (number field) K นั่นคือเป็นฟีลด์ภาคขยายจำกัดของ Q โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ากรุป E(K) ของจุด K-rational points บนเส้นโค้งเชิงวงรี E ที่นิยามเหนือ K จะเป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated) ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่วางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมอร์เดล-แวย์ ทฤษฎีบทหนึ่งของ Loïc Merel แสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละจำนวนเต็ม d จะมีกรุปเพียงจำนวนจำกัดตัวที่สามารถเป็นทอร์ชันกรุปของ E(K) สำหรับเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์จำนวน K ดีกรี d ได้ ทฤษฎีบทนี้ส่งผลชัดแจ้งในแง่ที่ว่า หาก d > 1 ถ้าจุดทอร์ชันมีอันดับเท่ากับ p โดยที่ p เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว

$p<d^{3d^2}$

สำหรับจุดอินทริกรัล ทฤษฎีบทของซีเกิลสามารถขยายออกได้ว่า หากเส้นโค้งเชิงวงรี E ที่นิยามเหนือฟีลด์จำนวน K โดยที่ x และ y เป็นพิกัดแบบไวเออร์ชตราส แล้วจะมีจุดเพียงจำกัดจำนวนใน E(K) ที่พิกัด x ของมันอยู่ในริงของจำนวนเต็ม O_K

สมบัติของฟังก์ชันฮัสเซอ-แวย์และข้อคาดการณ์เบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์สามารถวางนัยทั่วไปให้ครอบคลุมกรณีข้างต้นนี้ได้

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน

An elliptic curve over the complex numbers is obtained as a quotient of the complex plane by a lattice แม่แบบ:Math, here spanned by two fundamental periods แม่แบบ:Math and แม่แบบ:Math. The four-torsion is also shown, corresponding to the lattice แม่แบบ:Math containing แม่แบบ:Math.

เราสามารถมองเส้นโค้งเชิงวงรีว่าเป็นการฝังทอรัสลงในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยอาศัยสมบัติพิเศษของฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์ชตราส โดยฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของของมันสอดคล้องกับสมการ

${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z{)}^2=4\mathrm{\wp }(z{)}^3-g_2\mathrm{\wp }(z)-g_3$

ในที่นี้ แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math เป็นค่าคงที่ และ แม่แบบ:Math เป็นฟังก์ชันเชิงวงรีไวเออร์ชตราส (Weierstrass elliptic function) สังเกตว่าความสัมพันธ์ข้างต้นสอดคล้องกับสมการเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันไวเออร์ตราสมีคาบแบบคู่ (doubly periodic) นั่นคือเป็นฟังก์ชันคาบเทียบกับแลตทิซ แม่แบบ:Math ฉะนั้นฟังก์ชันไวเออร์ชตราสจึงนิยามได้บนทอรัส แม่แบบ:Math โดยธรรมชาติ ทอรัสนี้สามารถฝังเข้าไปในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยการส่ง

$z\mapsto [1:\mathrm{\wp }(z):\frac{1}{2}{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)]$

การส่งนี้เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของกรุปบนทอรัส (ภายใต้โครงสร้างกรุปตามธรรมชาติ) และกรุปลอว์ที่เกิดจากการสร้างเส้นคอร์ดและเส้นสัมผัสบนเส้นโค้งกำลังสามอันเป็นภาพของการส่งนี้ นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของพื้นผิวรีมันน์จากทอรัสไปยังเส้นโค้งกำลังสามนั้นด้วย เพราะฉะนั้นในทางทอพอโลยีแล้ว เส้นโค้งเชิงวงรีจึงเป็นทอรัส หากแลตทิซ แม่แบบ:Math สัมพันธ์ภายใต้การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน แม่แบบ:Mvar ที่ไม่เป็นศูนย์กับแลตทิซ แม่แบบ:Math แล้วเส้นโค้งที่ได้จะสมสัณฐานกัน ชั้นสมมูลของเส้นโค้งเชิงวงรีกำหนดได้ด้วยตัวยืนยงเรียกว่า [[J-invariant|แม่แบบ:Mvar-invariant]]

ชั้นสมมูลดังกล่าวสามารถมองได้ด้วยมุมมองที่ง่ายกว่าเช่นกัน ค่าคงตัว แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math ซึ่งเรียกว่าตัวยืนยงมอดุลาร์ (modular invariants) ถูกกำหนดให้มีค่าได้เพียงค่าเดียวโดยแลตทิซ หรือก็คือโครงสร้างของทอรัส อย่างไรก็ตามทุกพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะแยกตัวประกอบเชิงเส้นเหนือจำนวนเชิงซ้อน (เพราะฟีลด์จำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของฟีลด์จำนวนจริง) ฉะนั้นเราสามารถเขียนเส้นโค้งเชิงวงรีได้เป็น

$y^2=x(x-1)(x-\lambda )$

เราจะได้ว่า

$\begin{array}{cc}{g_2}^{\prime }& =\frac{\sqrt[3]{4}}{3}({\lambda }^2-\lambda +1)\\ {g_3}^{\prime }& =\frac{1}{27}(\lambda +1)(2{\lambda }^2-5\lambda +2)\end{array}$

และ

$j(\tau )=1728\frac{{{g_2}^{\prime }}^3}{{{g_2}^{\prime }}^3-27{{g_3}^{\prime }}^2}=256\frac{{({\lambda }^2-\lambda +1)}^3}{{\lambda }^2{(\lambda -1)}^2}$

โดยที่ $j(\tau )$ เป็น [[J-invariant|แม่แบบ:Mvar-invariant]] และ $\lambda (\tau )$ เรียกว่าฟังก์ชันแลมบ์ดามอดุลาร์ (modular lambda function) ตัวอย่างเช่น ให้ $\tau =2i$ แล้ว $\lambda (2i)=(-1+\sqrt{2}{)}^4$ ซึ่งส่งผลให้ $g{\text{'}}_2$, $g{\text{'}}_3$ และ ${g^{\prime }}_2^3-27{g^{\prime }}_3^2$ ในสมการข้างต้นเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดหาก $\tau$ เกี่ยวข้องกับฟีลด์ควอดราติกเชิงซ้อน (imaginary quadratic field) ในกรณีนี้เราได้จำนวนเต็ม แม่แบบ:Math ด้วยซ้ำ

ในทางกลับกัน ค่าดิสคริมิแนนท์มอดุลาร์ (modular discriminant)

$\mathrm{\Delta }(\tau )=g_2(\tau {)}^3-27g_3(\tau {)}^2=(2\pi {)}^{12}{\eta }^{24}(\tau )$

มักจะเป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าของฟังก์ชันอีตาดิริชเลต์ (Dedekind eta function) แม่แบบ:Math คือ

$\eta (2i)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{\frac{11}{8}}{\pi }^{\frac{3}{4}}}$

สังเกตว่าทฤษฎีบทยูนิฟอร์มไมเซชัน (uniformization theorem) บ่งว่าทุกพื้นผิวรีมันน์ที่กระชับ (compact Riemann surface) ที่มีจีนัส 1 จะสามารถเขียนแทนได้ด้วยทอรัส นี่ทำให้เราสามารถเข้าใจจุดทอร์ชันบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ง่ายขึ้น: ถ้าแลตทิซ แม่แบบ:Math ถูกสแปนโดยคาบพื้นฐาน แม่แบบ:Math and แม่แบบ:Math แล้วจุด แม่แบบ:Mvar-ทอร์ชัน (แม่แบบ:Mvar-torsion points) จะเป็นชั้นสมมูลของจุดในรูป

$\frac{a}{n}{\omega }_1+\frac{b}{n}{\omega }_2$

สำหรับจำนวนเต็ม แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar ในช่วง แม่แบบ:Math

ถ้า

$E:y^2=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$

เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเฉพาะ และ

$a_0=\sqrt{e_1-e_3},b_0=\sqrt{e_1-e_2},c_0=\sqrt{e_2-e_3},$

แล้วคู่ของคาบพื้นฐานของ แม่แบบ:Mvar สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วจาก

${\omega }_1=\frac{\pi }{\mathrm{M}(a_0,b_0)},{\omega }_2=\frac{\pi }{\mathrm{M}(c_0,i{b}_0)}$

เมื่อ แม่แบบ:Math คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต (Arithmetic-geometric mean) ของ แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar ในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต เครื่องหมายของ แม่แบบ:Mvar ที่เกิดจากความกำกวมในการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะถูกเลือกให้ แม่แบบ:Math เมื่อ แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตในขั้นที่ แม่แบบ:Mvar ของ แม่แบบ:Mvar และ แม่แบบ:Mvar ตามลำดับ โดยเมื่อ แม่แบบ:Math แล้วเรากำหนดเพิ่มเติมอีกว่า แม่แบบ:Math

เหนือจำนวนเชิงซ้อน ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีมีจุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) เก้าจุด เส้นตรงทุกเส้นที่ผ่านจุดเปลี่ยนเว้าสองจุดจะผ่านจุดเปลี่ยนเว้าอีกจุดเสมอ จุด 9 จุดและเส้นตรง 12 เส้นที่เกิดขึ้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของ Hesse configuration

ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรี

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีการประยุกต์ใช้ในการเข้ารหัสและการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม ไอเดียสำคัญที่สามารถพบได้ในการประยุกต์ใช้เหล่านี้ คือเปลี่ยนขั้นตอนวิธีเดิมที่ใช้กรุปจำกัดบางตัว ให้ใช้กรุปของจำนวนตรรกยะบนเส้นโค้งเชิงวงรี

• ระบบเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic curve cryptography)
• การแลกเปลี่ยนกุญแจ Diffie–Hellman โดยใช้เส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic-curve Diffie–Hellman key exchange)
• Supersingular isogeny key exchange
• ขั้นตอนวิธี elliptic curve digital signature
• ขั้นตอนวิธี EdDSA digital signature
• ระบบสุ่มตัวเลข Dual EC DRBG
• การแยกตัวประกอบโดยเส้นโค้งเชิงวงรีของเลนสตรา (Lenstra elliptic-curve factorization)
• การตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะโดยเส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic curve primality proving)

ตัวแทนแบบอื่น ๆ ของเส้นโค้งเชิงวงรี

• รูปแบบเฮสเซียนของเส้นโค้งเชิงวงรี (Hessian curve)
• เส้นโค้งเอ็ดเวิร์ดส์ (Edwards curve)
• Twisted curve
• Twisted Hessian curve
• Twisted Edwards curve
• Doubling-oriented Doche–Icart–Kohel curve
• Tripling-oriented Doche–Icart–Kohel curve
• เส้นโค้งจาโคเบียน
• เส้นโค้งมอนต์โกเมอรี

ดูเพิ่ม

• ระบบพลวัติเชิงจำนวน
• พีชคณิตเชิงวงรี
• พื้นผิวเชิงวงรี
• การเปรียบเทียบระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์
• Isogeny
• j-line
• Level structure (algebraic geometry)
• ทฤษฎีบทมอดุลาริตี
• Moduli stack of elliptic curves
• Nagell–Lutz theorem
• สูตรรีมันน์-ฮูร์วิตซ์
• บทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาของไวลส์

บรรณานุกรม

แม่แบบ:เริ่มอ้างอิง เซอร์เก ลาง เคยเขียนในบทนำของหนังสือที่ได้อ้างอิงด้านล่างนี้ว่า "เป็นไปได้ที่จะเขียนเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีโดยไม่จบสิ้น (นี่ไม่ใช่คำขู่)" ("It is possible to write endlessly on elliptic curves. (This is not a threat.)") รายการด้านล่างนี้จึงเป็นเพียงรายการแนะนำไปยังวรรณกรรมเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีที่มีอยู่ดาษดื่น ทั้งในทางทฤษฎี ทางขั้นตอนวิธี และในทางวิทยาการเข้ารหัสลับของเส้นโค้งเชิงวงรี

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite journal, winner of the MAA writing prize the George Pólya Award
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Hardy and Wright Chapter XXV
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite journal
• แม่แบบ:Cite book

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:คอมมอนส์-หมวดหมู่-บรรทัด
• LMFDB: Database of Elliptic Curves over Q
• แม่แบบ:SpringerEOM
• แม่แบบ:Mathworld
• The Arithmetic of elliptic curves จาก PlanetMath
• Interactive elliptic curve over R and over Zp – web application that requires HTML5 capable browser