ฟังก์ชันก่อกำเนิด

ในทางฟิสิกส์ ฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating function approach) คือการใช้อนุพันธ์ย่อยสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงพลศาสตร์ของระบบ ตัวอย่างทั่วไป เช่น ฟังก์ชันแบ่งส่วน (Partition function) ของกลศาสตร์สถิติ หรือฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันที่ทำหน้าที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 เซตของตัวแปรคาโนนิคัล (Canonical variable) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ (Canonical transformation) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการแปลงฟังก์ชันระหว่าง แม่แบบ:Math และ แม่แบบ:Math ซึ่งทั้งสองเซตจะต้องเป็นไปตามหลักการฮามิลตัน (Hamilton's principle) โดยสามารถเขียนสมการลากรานจ์ได้ คือ ${ℒ}_{qp}=𝐩\cdot \dot{𝐪}-H(𝐪,𝐩,t)$ และ ${ℒ}_{QP}=𝐏\cdot \dot{𝐐}-K(𝐐,𝐏,t)$ ตามลำดับ โดยที่การแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) จะต้องมีค่าคงตัว นั่นคือ :

$\begin{array}{cc}\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}[𝐩\cdot \dot{𝐪}-H(𝐪,𝐩,t)]dt& =0\\ \delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}[𝐏\cdot \dot{𝐐}-K(𝐐,𝐏,t)]dt& =0\end{array}$

ทั้งสองสมการจะได้ความสัมพันธ์ ดังนี้

$\lambda [𝐩\cdot \dot{𝐪}-H(𝐪,𝐩,t)]=𝐏\cdot \dot{𝐐}-K(𝐐,𝐏,t)+\frac{dG}{dt}$

โดยที่ แม่แบบ:Mvar จะเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด ขึ้นกับพิกัดและโมเมนตัมทั้งในระบบเก่า (แม่แบบ:Math หรือ แม่แบบ:Math) และระบบใหม่ ระบบเก่า (แม่แบบ:Math หรือ แม่แบบ:Math) และ แม่แบบ:Mvar จะเป็นตัวปรับขนาดของการแปลง (Scale transformation) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติจะให้ $\lambda =1$

สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ จะมีฟังก์ชันก่อกำเนิดทั้งหมด 4 รูปแบบ ดังนี้

รูปแบบที่ 1 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด

$G_1$ ขึ้นกับพิกัดของทั้งระบบเก่าและใหม่

$G\equiv G_1(𝐪,𝐐,t)$

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

$𝐩\cdot \dot{𝐪}-H(𝐪,𝐩,t)=𝐏\cdot \dot{𝐐}-K(𝐐,𝐏,t)+\frac{\partial G_1}{\partial t}+\frac{\partial G_1}{\partial 𝐪}\cdot \dot{𝐪}+\frac{\partial G_1}{\partial 𝐐}\cdot \dot{𝐐}$

เนื่องจากพิกัดระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

$\begin{array}{cc}𝐩& =\frac{\partial G_1}{\partial 𝐪}\\ 𝐏& =-\frac{\partial G_1}{\partial 𝐐}\\ K& =H+\frac{\partial G_1}{\partial t}\end{array}$

รูปแบบที่ 2 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด

$G_2$ ขึ้นกับพิกัดของระบบเก่ากับโมเมนตัมของระบบใหม่

$G\equiv -𝐐\cdot 𝐏+G_2(𝐪,𝐏,t)$

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

$𝐩\cdot \dot{𝐪}-H(𝐪,𝐩,t)=-𝐐\cdot \dot{𝐏}-K(𝐐,𝐏,t)+\frac{\partial G_2}{\partial t}+\frac{\partial G_2}{\partial 𝐪}\cdot \dot{𝐪}+\frac{\partial G_2}{\partial 𝐏}\cdot \dot{𝐏}$

เนื่องจากพิกัดของระบบเก่าและโมเมนตัมของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

$\begin{array}{cc}𝐩& =\frac{\partial G_2}{\partial 𝐪}\\ 𝐐& =\frac{\partial G_2}{\partial 𝐏}\\ K& =H+\frac{\partial G_2}{\partial t}\end{array}$

รูปแบบที่ 3 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด

$G_3$ ขึ้นกับโมเมนตัมของระบบเก่ากับพิกัดของระบบใหม่

$G\equiv 𝐪\cdot 𝐩+G_3(𝐩,𝐐,t)$

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

$-𝐪\cdot \dot{𝐩}-H(𝐪,𝐩,t)=𝐏\cdot \dot{𝐐}-K(𝐐,𝐏,t)+\frac{\partial G_3}{\partial t}+\frac{\partial G_3}{\partial 𝐩}\cdot \dot{𝐩}+\frac{\partial G_3}{\partial 𝐐}\cdot \dot{𝐐}$

เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและพิกัดของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

$\begin{array}{cc}𝐪& =-\frac{\partial G_3}{\partial 𝐩}\\ 𝐏& =-\frac{\partial G_3}{\partial 𝐐}\\ K& =H+\frac{\partial G_3}{\partial t}\end{array}$

รูปแบบที่ 4 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด

$G_4$ ขึ้นกับโมเมนตัมของทั้งระบบเก่าและใหม่

$G\equiv 𝐪\cdot 𝐩-𝐐\cdot 𝐏+G_4(𝐩,𝐏,t)$

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

$-𝐪\cdot \dot{𝐩}-H(𝐪,𝐩,t)=-𝐐\cdot \dot{𝐏}-K(𝐐,𝐏,t)+\frac{\partial G_4}{\partial t}+\frac{\partial G_4}{\partial 𝐩}\cdot \dot{𝐩}+\frac{\partial G_4}{\partial 𝐏}\cdot \dot{𝐏}$

เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

$\begin{array}{cc}𝐪& =-\frac{\partial G_4}{\partial 𝐩}\\ 𝐐& =\frac{\partial G_4}{\partial 𝐏}\\ K& =H+\frac{\partial G_4}{\partial t}\end{array}$