ทฤษฎีบทของกรีน

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded =

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}

ทฤษฎีบทของกรีน (แม่แบบ:Langx) เป็นทฤษฎีบทในแคลคูลัสเวกเตอร์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลตามเส้นรอบเส้นโค้งปิดอย่างง่าย แม่แบบ:Mvar กับอินทิกรัลสองชั้นเหนือบริเวณ แม่แบบ:Mvar ในระนาบที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง แม่แบบ:Mvar นั้น ทฤษฎีบทของกรีนเป็นกรณีพิเศษใน 2 มิติของทฤษฎีบทของสโตกส์

ทฤษฎีบท

ให้ $C$ เป็นเส้นโค้งปิดใด ๆ ที่มีทิศทางบวก (positively oriented) เป็นเส้นโค้งปรับเรียบเป็นช่วง ๆ (piecewise smooth) และเป็นเส้นโค้งอย่างง่าย (simple) ในระนาบ ${ℝ}^2$ และให้ $D$ เป็นบริเวณในระนาบที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิด $C$ นี้ ถ้า $L$ และ $M$ เป็นฟังก์ชันของ $(x,y)$ ซึ่งหาค่าได้บนบริเวณเปิดอันหนึ่งที่บรรจุบริเวณ $D$ และอนุพันธ์ย่อยของทั้งสองฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องแล้ว

${\oint }_C(Ldx+Mdy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dxdy$

โดยการอินทิเกรตตามเส้นโค้ง $C$ เป็นการอินทิเกรตในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

ในทางฟิสิกส์ ทฤษฎีบทของกรีนจะใช้ในการแก้ปัญหาอินทิกรัลของของไหลในสองมิติ ในเรขาคณิตและการทำรังวัดสามารถใช้ทฤษฎีบทของกรีนหาพื้นที่ของรูปร่างด้วยการอินทิเกรตไปตามเส้นขอบของรูปร่างนั้น

ประวัติ

ทฤษฎีบทนี้ได้ชื่อตามจอร์จ กรีน ซึ่งกล่าวถึงผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกับทฤษฎีบทในบทความนี้ในปี ค.ศ. 1828 ในบทความ An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (ความเรียงว่าด้วยบทประยุกต์การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์กับทฤษฎีของไฟฟ้าและแม่เหล็ก) ในปี ค.ศ. 1846 โอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี ตีพิมพ์บทความที่มีทฤษฎีบทของกรีนปรากฏเป็นประโยครองสุดท้าย ซึ่งเป็นครั้งแรกที่ทฤษฎีบทของกรีนในรูปแบบที่พบได้ทั่วไปถูกตีพิมพ์ครั้งแรก รีมันน์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทของกรีนในปริญญานิพนธ์ว่าด้วยทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงซ้อนตัวแปรเดียวของเขา