กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์

ภาพแสดงกฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์ที่มีวงโคจรดาวเคราะห์ 2 วง (1) วงโคจรเป็นวงรีด้วยจุดโฟกัส f1 และ f2 สำหรับดาวเคราะห์ดวงแรกและ f1 และ f3 สำหรับดาวเคราะห์ดวงที่ 2 ดวงอาทิตย์อยู่ที่จุด f1 (2) ส่วนแรเงา 2 ส่วน A1 และ A2 มีผิวพื้นเท่ากันและเวลาที่ดาวเคราะห์ 1 ทับพื้นที่ A1 เท่ากับเวลาที่ทับพื้นที่ A2 (3) เวลารวมของวงโคจรสำหรับดาวเคราะห์ 1 และดาวเคราะห์ 2 มีสัดส่วนเท่ากับ $a{1}^{3/2}:a{2}^{3/2}$

กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์ (แม่แบบ:Langx) คือ กฎทางคณิตศาสตร์ 3 ข้อที่กล่าวถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ (พ.ศ. 2114–2173) เป็นผู้ค้นพบ

เค็พเพลอร์ ได้ศึกษาการสังเกตการณ์ของนักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเดนมาร์ก ชื่อทือโก ปราเออ โดยประมาณ พ.ศ. 2148 เค็พเพลอร์พบว่าการสังเกตตำแหน่งของดาวเคราะห์ของบราห์เป็นไปตามกฎง่าย ๆ ทางคณิตศาสตร์

กฎของเค็พเพลอร์ท้าทายดาราศาสตร์สายอริสโตเติลและสายทอเลมีและกฎทางฟิสิกส์ในขณะนั้น เค็พเพลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรีมากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ดี คำอธิบายเชิงฟิสิกส์เกี่ยวกับพฤติกรรมของดาวเคราะห์ก็ได้ปรากฏชัดเจนได้ในอีกเกือบศตวรรษต่อมา เมื่อไอแซก นิวตัน สามารถสรุปกฎของเค็พเพลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเองโดยใช้วิชาแคลคูลัสที่เขาคิดสร้างขึ้น รูปจำลองแบบอื่นที่นำมาใช้มักให้ผลผิดพลาด

กฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์

1. วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดศูนย์กลางจุดหนึ่ง วงรีเกิดจากการมีจุดศูนย์กลาง 2 ศูนย์ ดังภาพ ดังนั้นเค็พเพลอร์จึงคัดค้านความเชื่อในแนวของอริสโตเติล ปโตเลมีและโคเปอร์นิคัสที่ว่าวงโคจรเป็นวงกลม
2. ในขณะที่ดาวเคราะห์เคลื่อนไปในวงโคจร เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าดาวเคราะห์โคจรเร็วกว่าเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์และช้าลงเมื่ออยู่ห่างดวงอาทิตย์ ด้วยกฎข้อนี้ เค็พเพลอร์ได้ล้มทฤษฎีดาราศาสตร์อริสโตเติลที่ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
3. กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอก (ครึ่งหนึ่งของความยาววงรี) ของวงโคจร ซึ่งหมายความว่า ไม่เพียงแต่วงโคจรที่ใหญ่กว่าเท่านั้นที่มีระยะเวลานานกว่า แต่อัตราความเร็วของดาวเคราะห์ที่มีวงโคจรทีใหญ่กว่านั้นก็โคจรช้ากว่าวงโคจรที่เล็กกว่าอีกด้วย

กฎของเค็พเพลอร์ได้แสดงไว้ข้างล่าง และเป็นกฎที่มาจากกฎของนิวตันที่ใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วศูนย์สุริยะ $(r,\theta )$ อย่างไรก็ตาม กฎของเค็พเพลอร์ยังสามารถเขียนอย่างอื่นได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน

รายละเอียดทางคณิตศาสตร์

กฎข้อที่ 1

กฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 1

กฎข้อแรกกล่าวว่า “วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง“

คณิตศาสตร์ของวงรีเป็นดังนี้

สมการคือ

$r=\frac{p}{1+ϵ\cdot \cos \theta }$

โดยที่ p คือ กึ่งเลตัสเรกตัม (semi latus rectum) และ ε คือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และน้อยกว่าหนึ่ง

เมื่อ θ=0° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด

$r_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{p}{1+ϵ}$

เมื่อ θ=90°: r=p และเมื่อ θ=180° ดาวเคราห์จะอยู่ที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด:

$r_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{p}{1-ϵ}$

กึ่งแกนเอกของวงรี a คือ มัชฌิมเลขคณิตของ r_min และ r_max:

$a=\frac{p}{1-{ϵ}^2}$

กึ่งแกนโทของวงรี b คือ มัชฌิมเรขาคณิตของ r_min และ r_max:

$b=\frac{p}{\sqrt{1-{ϵ}^2}}$

นอกจากนี้ยังเป็นมัชฌิมเรขาคณิตระหว่างกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม

$\frac{a}{b}=\frac{b}{p}$

กฎข้อที่ 2

ภาพแสดงกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 2

กฎข้อที่ 2 “เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน”

กฎนี้รู้จักในอีกชื่อหนึ่งที่ว่ากฎพื้นที่เท่า ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม โปรดดูการการอนุพัทธ์ดังภาพ

การคำนวณมี 4 ขั้นดังนี้

1. คำนวณ มุมกวาดเฉลี่ย (mean anomaly) M จากสูตร

$M=\frac{2\pi t}{P}$

2. คำนวณ มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง eccentric anomaly E โดยการแก้ สมการของเค็พเพลอร์:

$M=E-ϵ\cdot \sin E$

3. คำนวณ มุมกวาดจริง (true anomaly) θ โดยใช้สมการ:

$\tan \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+ϵ}{1-ϵ}}\cdot \tan \frac{E}{2}$

4. คำนวณ ระยะห่างศูนย์สุริยะ (heliocentric distance) r จากกฎข้อแรก:

$r=\frac{p}{1+ϵ\cdot \cos \theta }$

กฎข้อที่ 3

กฎข้อที่ 3 “กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร” ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน

$P^2\propto a^3$

$P$ = คาบการโคจรของดาวเคราะห์

$a$ = แกนกึ่งเอกของวงโคจร

ดังนั้น P²a^–3 มีค่าเหมือนกันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะรวมทั้งโลก เมื่อหน่วยหนึ่งถูกเลือก เช่น P ที่วัดเป็นปีดาราคติ และ a ในหน่วยดาราศาสตร์ P²a^–3 มีค่า 1 สำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ ในหน่วยเอสไอ: $\frac{P^2}{a^3}=3.00\times 10^{-19}\frac{s^2}{m^3}\pm 0.7\mathrm{\%}$

ตำแหน่งในฟังก์ชันของเวลา

ปัญหาเค็พเพลอร์อนุมานการโคจรวงรีและจุด 4 จุด:

• s ดวงอาทิตย์ (ณ โฟกัสหนึ่งของวงรี);
• z จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
• c ศูนย์กลางของวงรี
• p ดาวเคราะห์

และ

$a=|cz|$ กึ่งแกนเอก ระยะจากศูนย์กลางถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด นั่นคือกึ่งแกนเอก

$\epsilon =\frac{|cs|}{a}$ ความเยื้องศูนย์กลาง

$b=a\sqrt{1-{\epsilon }^2}$ กึ่งแกนโท

$r=|sp|$ ระยะจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์

$\nu =\mathrm{\angle }zsp,$ ตำแหน่งดาวเคราะห์ตามที่เห็นจากดวงอาทิตย์ นั่นคือ มุมกวาดจริง

ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว (r,ν) ของดาวเคราะห์จากเวลานับตั้งแต่ดาวเคราะห์ผ่านจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด, t

$|zsx|=\frac{a}{b}\cdot |zsp|$ $|zcy|=|zsx|$ และ

$M=\mathrm{\angle }zcy$, y จากที่เห็นจากศูนย์กลาง นั่นคือมุมกวาดเฉลี่ย

$|zcy|=\frac{a^{2}M}{2}$:$|zsp|=\frac{b}{a}\cdot |zsx|=\frac{b}{a}\cdot |zcy|=\frac{b}{a}\cdot \frac{a^{2}M}{2}=\frac{abM}{2}$

$M=\frac{2\pi t}{T},$

โดย T คือคาบการโคจร

$|zcy|=|zsx|=|zcx|-|scx|$

$\frac{a^{2}M}{2}=\frac{a^{2}E}{2}-\frac{a\epsilon \cdot a\sin E}{2}$

Division by a²/2 gives Kepler's equation

$M=E-\epsilon \cdot \sin E$

$E\approx M+(\epsilon -\frac{1}{8}{\epsilon }^3)\sin M+\frac{1}{2}{\epsilon }^2\sin 2M+\frac{3}{8}{\epsilon }^3\sin 3M+\cdots$

$a\cdot \cos E=a\cdot \epsilon +r\cdot \cos \nu .$

$\frac{r}{a}=\frac{1-{\epsilon }^2}{1+\epsilon \cdot \cos \nu }$

to get

$\cos E=\epsilon +\frac{1-{\epsilon }^2}{1+\epsilon \cdot \cos \nu }\cdot \cos \nu =\frac{\epsilon \cdot (1+\epsilon \cdot \cos \nu )+(1-{\epsilon }^2)\cdot \cos \nu }{1+\epsilon \cdot \cos \nu }=\frac{\epsilon +\cos \nu }{1+\epsilon \cdot \cos \nu }$

${\tan }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$

จะได้

${\tan }^2\frac{E}{2}=\frac{1-\cos E}{1+\cos E}=\frac{1-\frac{\epsilon +\cos \nu }{1+\epsilon \cdot \cos \nu }}{1+\frac{\epsilon +\cos \nu }{1+\epsilon \cdot \cos \nu }}=\frac{(1+\epsilon \cdot \cos \nu )-(\epsilon +\cos \nu )}{(1+\epsilon \cdot \cos \nu )+(\epsilon +\cos \nu )}=\frac{1-\epsilon }{1+\epsilon }\cdot \frac{1-\cos \nu }{1+\cos \nu }=\frac{1-\epsilon }{1+\epsilon }\cdot {\tan }^2\frac{\nu }{2}$

คูณด้วย (1+ε)/(1−ε) และใส่รากที่สอง จะได้ผลลัพธ์

$\tan \frac{\nu }{2}=\sqrt{\frac{1+\epsilon }{1-\epsilon }}\cdot \tan \frac{E}{2}$

ในขั้นที่สามนี้เราจะได้ความเชื่อมโยงกันระหว่างเวลากับตำแหน่งในวงโคจร

ขั้นที่สี่คือการคำนวณระยะห่างศูนย์สุริยะ r จากมุมกวาดจริง ν ด้วยกฎข้อแรกของเค็พเพลอร์:

$r=a\cdot \frac{1-{\epsilon }^2}{1+\epsilon \cdot \cos \nu }$

การอนุพัทธ์ (Derivation) กฎของนิวตัน

การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 2

$m\cdot \ddot{𝐫}=\frac{M\cdot m}{r^2}\cdot (-\widehat{𝐫})\cdot G$

$\dot{\widehat{𝐫}}=\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }}$

where $\hat{\mathit{\theta }}$ is the tangential unit vector, and

$\dot{\hat{\mathit{\theta }}}=-\dot{\theta }\widehat{𝐫}.$

So the position vector

$𝐫=r\widehat{𝐫}$

is differentiated twice to give the velocity vector and the acceleration vector

$\dot{𝐫}=\dot{r}\widehat{𝐫}+r\dot{\widehat{𝐫}}=\dot{r}\widehat{𝐫}+r\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }},$

$\ddot{𝐫}=(\ddot{r}\widehat{𝐫}+\dot{r}\dot{\widehat{𝐫}})+(\dot{r}\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+r\ddot{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+r\dot{\theta }\dot{\hat{\mathit{\theta }}})=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\widehat{𝐫}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\mathit{\theta }}.$

Note that for constant distance, $r$, the planet is subject to the centripetal acceleration, $r{\dot{\theta }}^2$, and for constant angular speed, $\dot{\theta }$, the planet is subject to the coriolis acceleration, $2\dot{r}\dot{\theta }$.

Inserting the acceleration vector into Newton's laws, and dividing by m, gives the vector equation of motion

$(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\widehat{𝐫}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\mathit{\theta }}=-GM{r}^{-2}\widehat{𝐫}$

Equating component, we get the two ordinary differential equations of motion, one for the radial acceleration and one for the tangential acceleration:

$\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2=-GM{r}^{-2},$

$r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }=0.$

$r\dot{\theta }:$

$\frac{\ddot{\theta }}{\dot{\theta }}+2\frac{\dot{r}}{r}=0$

and integrate:

$\log \dot{\theta }+2\log r=\log \ell ,$

where $\log \ell$ is a constant of integration, and exponentiate:

$r^2\dot{\theta }=\ell .$

This says that the specific angular momentum $r^2\dot{\theta }$ is a constant of motion, even if both the distance $r$ and the angular speed $\dot{\theta }$ vary.

The area swept out from time t₁ to time t₂,

$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\frac{1}{2}\cdot base\cdot height\cdot dt=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\dot{\theta }\cdot dt=\frac{1}{2}\cdot \ell \cdot (t_2-t_1)$

depends only on the duration t₂−t₁. This is Kepler's second law.

การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 1

$p={\ell }^2{G}^{-1}{M}^{-1}$

$u=p{r}^{-1}$

and get

$-GM{r}^{-2}=-{\ell }^2{p}^{-3}{u}^2$

and

$\dot{\theta }=\ell r^{-2}=\ell p^{-2}{u}^2.$

$\dot{X}=\frac{dX}{d\theta }\cdot \dot{\theta }=\frac{dX}{d\theta }\cdot \ell p^{-2}{u}^2.$

Differentiate

$r=p{u}^{-1}$

twice:

$\dot{r}=\frac{d(p{u}^{-1})}{d\theta }\cdot \ell p^{-2}{u}^2=-p{u}^{-2}\frac{du}{d\theta }\cdot \ell p^{-2}{u}^2=-\ell p^{-1}\frac{du}{d\theta }$

$\ddot{r}=\frac{d\dot{r}}{d\theta }\cdot \ell p^{-2}{u}^2=\frac{d}{d\theta }(-\ell p^{-1}\frac{du}{d\theta })\cdot \ell p^{-2}{u}^2=-{\ell }^2{p}^{-3}{u}^2\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}$

Substitute into the radial equation of motion

$\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2=-GM{r}^{-2}$

and get

$(-{\ell }^2{p}^{-3}{u}^2\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2})-(p{u}^{-1})(\ell p^{-2}{u}^2{)}^2=-{\ell }^2{p}^{-3}{u}^2$

Divide by $-{\ell }^2{p}^{-3}{u}^2$

$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=1.$

$u=1.$

$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=0$

These solutions are

$u=ϵ\cdot \cos (\theta -A)$

where $ϵ$ and $A$ are arbitrary constants of integration. So the result is

$u=1+ϵ\cdot \cos (\theta -A)$

Choosing the axis of the coordinate system such that $A=0$, and inserting $u=p{r}^{-1}$, gives:

$p{r}^{-1}=1+ϵ\cdot \cos \theta .$

If $ϵ<1,$ this is Kepler's first law.

กฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 3

$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}\cdot r^3$

where:

• T = planet's sidereal period
• r = radius of the planet's circular orbit
• G = the gravitational constant
• M = mass of the sun

$T^2=\frac{4{\pi }^2}{G(M+m)}\cdot a^3$

โดย:

• T = object's sidereal period
• a = object's semimajor axis
• G = the gravitational constant = 6.67 × 10⁻¹¹ N • m²/kg²
• M = mass of one object
• m = mass of the other object

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot (1-ϵ)a\cdot V_{A}dt=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot (1+ϵ)a\cdot V_{B}dt$

$(1-ϵ)\cdot V_A=(1+ϵ)\cdot V_B$

$V_A=V_B\cdot \frac{1+ϵ}{1-ϵ}$

$\frac{m{V}_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-ϵ)a}=\frac{m{V}_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+ϵ)a}$

$\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2}=\frac{GM}{(1-ϵ)a}-\frac{GM}{(1+ϵ)a}$

$\frac{V_A^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot (\frac{1}{(1-ϵ)}-\frac{1}{(1+ϵ)})$

$\frac{{(V_B\cdot \frac{1+ϵ}{1-ϵ})}^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left(\frac{1+ϵ-1+ϵ}{(1-ϵ)(1+ϵ)}\right)$

$V_B^2\cdot {\left(\frac{1+ϵ}{1-ϵ}\right)}^2-V_B^2=\frac{2GM}{a}\cdot \left(\frac{2ϵ}{(1-ϵ)(1+ϵ)}\right)$

$V_B^2\cdot \left(\frac{(1+ϵ{)}^2-(1-ϵ{)}^2}{(1-ϵ{)}^2}\right)=\frac{4GMϵ}{a\cdot (1-ϵ)(1+ϵ)}$

$V_B^2\cdot \left(\frac{1+2ϵ+{ϵ}^2-1+2ϵ-{ϵ}^2}{(1-ϵ{)}^2}\right)=\frac{4GMϵ}{a\cdot (1-ϵ)(1+ϵ)}$

$V_B^2\cdot 4ϵ=\frac{4GMϵ\cdot (1-ϵ{)}^2}{a\cdot (1-ϵ)(1+ϵ)}$

$V_B=\sqrt{\frac{GM\cdot (1-ϵ)}{a\cdot (1+ϵ)}}.$

$\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot (1+ϵ)a\cdot V_{B}dt}{dt}=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot (1+ϵ)a\cdot V_B$

$=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot (1+ϵ)a\cdot \sqrt{\frac{GM\cdot (1-ϵ)}{a\cdot (1+ϵ)}}=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot \sqrt{GMa\cdot (1-ϵ)(1+ϵ)}$

$T\cdot \frac{dA}{dt}=\pi a\sqrt{(1-{ϵ}^2)}a$

$T\cdot \begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot \sqrt{GMa\cdot (1-ϵ)(1+ϵ)}=\pi \sqrt{(1-{ϵ}^2)}{a}^2$

$T=\frac{2\pi \sqrt{(1-{ϵ}^2)}{a}^2}{\sqrt{GMa\cdot (1-ϵ)(1+ϵ)}}=\frac{2\pi a^2}{\sqrt{GMa}}=\frac{2\pi }{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}$

$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3.$

$T^2=\frac{4{\pi }^2}{G(M+m)}{a}^3.$

ซ.ต.พ.

ดูเพิ่ม

• ปัญหาเค็พเพลอร์
• การเคลื่อนที่แบบวงกลม
• ความโน้มถ่วง
• ปัญหาวัตถุสองชิ้น
• การตกอย่างอิสระ

แหล่งข้อมูลอื่น

• Crowell, Benjamin, Conservation Laws, http://www.lightandmatter.com/area1book2.html แม่แบบ:Webarchive, an online book that gives a proof of the first law without the use of calculus. (see section 5.2, p.112)
• David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler's Second Law -JAVA Interactive Tutorial, http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html แม่แบบ:Webarchive, an interactive JAVA applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
• University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion [1]
• Equant compared to Kepler: interactive model [2] แม่แบบ:Webarchive
• Kepler's Third Law:interactive model[3] แม่แบบ:Webarchive