มุมกวาดจริง

แม่แบบ:ดาราพลศาสตร์ ในทางดาราศาสตร์และกลศาสตร์ท้องฟ้า มุมกวาดจริง (true anomaly) คือตัวแปรหนึ่งที่ใช้แสดงถึงตำแหน่งของวัตถุท้องฟ้า ณ ช่วงเวลาหนึ่ง ๆ ซึ่งมีการเคลื่อนที่ไปในวงโคจรตามกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์

มุมกวาดจริงถูกกำหนดให้เป็นมุมระหว่างเส้นที่ลากจากศูนย์กลางมวลไปยังจุดใกล้ที่สุดในวงโคจร (เรียกว่าเวกเตอร์รุงเงอ–เลนทซ์) กับเส้นที่ลากจากศูนย์กลางมวลมายังวัตถุ กล่าวคือ ในรูปด้านขวา เมื่อ p คือตำแหน่งของวัตถุ z คือจุดใกล้ที่สุด และ s คือโฟกัส (ตำแหน่งของศูนย์กลางมวล หรือ ดาวฤกษ์หลัก) แล้วมุม $\nu =\mathrm{\angle }zsp$ ก็คือมุมกวาดจริง ดังนั้น ระยะทาง r ระหว่างดาวฤกษ์หลักกับวัตถุท้องฟ้าสามารถเขียนในรูปของมุมกวาดจริง $\nu$ ได้เป็น

$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \nu }$

โดยที่ $a$ คือ กึ่งแกนเอก และ $e$ คือ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ความสัมพันธ์กับค่ามุมอื่น

ในการคำนวณบางอย่าง เป็นการสะดวกกว่าที่จะใช้มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง $E$ ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดจริงกับมุมกวาดเยื้องศูนย์กลางคือ

$\tan \frac{\nu }{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan \frac{E}{2}$

ถ้าแทน

$\beta =\frac{1}{e}(1-\sqrt{1-e^2})$

จะเขียนใหม่ได้ในรูปอนุกรมได้เป็น

$\begin{array}{cc}\nu & =E+\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{s}{\beta }^s\sin sE\\ & =E+2(\beta \sin E+\frac{{\beta }^2}{2}\sin 2E+\frac{{\beta }^3}{3}\sin 3E+\frac{{\beta }^4}{4}\sin 4E+\cdots )\end{array}$

จากการใช้สูตรคำนวณนี้ หากได้ค่ามุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง $E$ ของวัตถุท้องฟ้าแล้ว ก็จะสามารถคำนวณมุมกวาดจริง $\nu$ ได้

อีกทางหนึ่ง ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง $E$ และ มุมกวาดเฉลี่ย $M$ สามารถหาได้จากการแก้สมการเค็พเพลอร์ ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็นอนุกรมฟูรีเยสำหรับหาค่ามุมกวาดจริง $\nu$ จากมุมกวาดเฉลี่ย $M$ ได้เป็น

$\begin{array}{cc}\nu & =M+2e\sin M+\frac{5}{4}{e}^2\sin 2M+e^3(\frac{13}{12}\sin 3M-\frac{1}{4}\sin M)\\ & +e^4(\frac{103}{96}\sin 4M-\frac{11}{24}\sin 2M)\\ & +e^5(\frac{1097}{960}\sin 5M-\frac{43}{64}\sin 3M+\frac{5}{96}\sin M)\\ & +e^6(\frac{1223}{960}\sin 6M-\frac{451}{480}\sin 4M-\frac{11}{24}\sin 2M)+\cdots \end{array}$