0.999...

จำนวนทศนิยมที่มีเลข 9 ไปแบบอนันต์

ในทางคณิตศาสตร์ ทศนิยมซ้ำ 0.999... ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป $0.\overline{9},0.\dot{9}$ หรือ $0.(9)$ มีค่าเท่ากับจำนวนจริง 1 หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งคือ "0.999..." เป็นการนำเสนอจำนวนเดียวกันกับสัญลักษณ์ "1"

หรือจะกล่าวอีกแบบก็คือ ทุกๆจำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ (ที่ไม่ใช่ 0) จะสามารถเขียนได้สองรูปแบบ (เช่น 8.32 = 8.31999...)

การพิสูจน์

$\begin{array}{cc}0.999\dots & =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots \\ & =-9+(\frac{9}{1}+\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots )\\ & =-9+9\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{10}\right)}^k\\ & =-9+9\left(\frac{10}{9}\right)\\ & =1\\ \end{array}$

ซ.ต.พ.

การพิสูจน์เชิงพีชคณิต

การดำเนินการทางพีชคณิต

หลายคนอาจคิดว่า การพิสูจน์ข้างต้นมีข้อผิดพลาดที่สูตรของอนุกรมลู่เข้า นี่เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายกว่า

$\begin{array}{cc}x& =0.999\dots \\ 10x-x& =9.999\dots -0.999\dots \\ 9x& =9\\ x& =1\\ \end{array}$

หรือง่ายกว่านี้ :

$\begin{array}{cc}0.333\dots & =\frac{1}{3}\\ 3\times 0.333\dots & =3\times \frac{1}{3}=\frac{3\times 1}{3}\\ 0.999\dots & =1\end{array}$

$\begin{array}{cc}0.111\dots & =\frac{1}{9}\\ 9\times 0.111\dots & =9\times \frac{1}{9}=\frac{9\times 1}{9}\\ 0.999\dots & =1\end{array}$

หรือ

$\begin{array}{cc}N& =0.999...-(1)\\ 10N& =9.999...-(2)\\ (2)-(1);10N-N& =9.999...-0.999...\\ 9N& =9\\ N& =\frac{9}{9}=1\\ \end{array}$

ช่วงของจำนวนจริง

การพิสูจน์นี้ใช้คุณสมบัติของจำนวนจริง ถ้าหาก 0.999... และ 1 เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันแล้ว มันจะมีจำนวนจริงในช่วง (0.999... , 1) อยู่เป็นจำนวนอนันต์ แต่ในความเป็นจริง มันไม่มีจำนวนนั้น แสดงว่าสมมติฐานที่ว่า 0.999... กับ 1 แตกต่างกันนั้นผิด ที่จริงแล้วมันมีค่าเท่ากัน

เศษส่วน

เมื่อหารเลขโดดด้วย 9 มันจะได้ทศนิยมซ้ำของจำนวนนั้น

$\begin{array}{cc}1/9& =0.111\dots \\ 2/9& =0.222\dots \\ 3/9& =0.333\dots \\ ⋮& ⋮\\ 9/9& =0.999\dots =1\\ \end{array}$

แต่ว่า การหารด้วยตัวเอง จะมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น 0.999... = 1

ดูเพิ่ม

• ทศนิยมซ้ำ
• อนุกรมเรขาคณิต
• อนุกรมลู่เข้า
• อนุกรมอนันต์
• ลิมิต