ไซคลอยด์

ไซคลอยด์เกิดจากการกลิ้งล้อกลม

ไซคลอยด์ (แม่แบบ:Langx) คือเส้นโค้งชนิดหนึ่ง นิยามจากรอยเคลื่อนที่ของจุดจุดหนึ่งบนเส้นรอบรูปวงกลม (ล้อกลม) ซึ่งรูปวงกลมนั้นกลิ้งไปตามเส้นตรง ทำให้เกิดเส้นโค้งนูนเป็นลอนเป็นราย

ไซคลอยด์เป็นตัวอย่างหนึ่งของรูเลตต์ (roulette) ซึ่งเกิดจากกลิ้งล้อกลมบนเส้นโค้งอื่น และเป็นกรณีหนึ่งของโทรคอยด์ (trochoid) ซึ่งจุดไม่จำเป็นต้องอยู่บนเส้นรอบรูปวงกลม

สมการ

ไซคลอยด์ที่สร้างขึ้นจากรูปวงกลมรัศมี r = 2 หน่วย

ไซคลอยด์ที่ลากผ่านจุดกำเนิด ซึ่งสร้างขึ้นโดยรูปวงกลมรัศมี r ที่กลิ้งบนแกน x มีสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้

$x=r(t-\sin t)$

$y=r(1-\cos t)$

เมื่อ t เป็นจำนวนจริง คือมุมในหน่วยเรเดียนที่รูปวงกลมกลิ้งไป (บางครั้งอาจใช้ θ แทน t)

เส้นโค้งชนิดนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกตำแหน่งยกเว้น บัพแหลม (cusp) คือจุดที่สัมผัสกับแกน x ซึ่งอนุพันธ์จะกลายเป็น ∞ หรือ −∞ เมื่อเข้าใกล้จุดบัพแหลม ซึ่งตรงตามสมการเชิงอนุพันธ์สามัญดังนี้

${\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=\frac{2r-y}{y}$

พื้นที่ใต้กราฟ

เนื่องจากไซคลอยด์หนึ่งรอบ ที่สร้างโดยรูปวงกลมรัศมี r จากสมการอิงตัวแปรเสริมด้านบน จะได้ค่าของตัวแปรเสริม t ที่มีค่าอยู่ในช่วง [0, 2π]

และเนื่องจาก

$\frac{dx}{dt}=r(1-\cos t)$

เราสามารถคำนวณหาพื้นที่ใต้กราฟของไซคลอยด์หนึ่งรอบโดยการหาปริพันธ์ดังนี้

$\begin{array}{cc}A& =\underset{t=0}{\overset{t=2\pi }{\int }}ydx=\underset{t=0}{\overset{t=2\pi }{\int }}{r}^2(1-\cos t{)}^{2}dt\\ & ={r^2(\frac{3}{2}t-2\sin t+\frac{1}{2}\cos t\sin t)|}_{t=0}^{t=2\pi }\\ & =3\pi r^2\end{array}$

นั่นคือเท่ากับสามเท่าของพื้นที่ของรูปวงกลม

ความยาวเส้นโค้ง

ความยาวของเส้นโค้งไซคลอยด์หนึ่งรอบ สามารถหาได้จากความยาวของส่วนย่อยๆ บนเส้นโค้ง ซึ่ง t มีค่าในช่วง [0, 2π]

$\begin{array}{cc}S& =\underset{t=0}{\overset{t=2\pi }{\int }}{({\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2)}^{1/2}dt\\ & =\underset{t=0}{\overset{t=2\pi }{\int }}2r\sin \left(\frac{t}{2}\right)dt\\ & =8r\end{array}$

นั่นคือเท่ากับแปดเท่าของรัศมีของรูปวงกลม

ดูเพิ่ม

• เอพิไซคลอยด์ (epicycloid)
• ไฮโพไซคลอยด์ (hypocycloid)
• โทรคอยด์ (trochoid)
• เอพิโทรคอยด์ (epitrochoid)
• ไฮโพโทรคอยด์ (hypotrochoid)

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:MathWorld
• Cycloids ที่ cut-the-knot