สมการของแมกซ์เวลล์

แม่แบบ:ลิงก์ไปภาษาอื่น สมการของแมกซ์เวลล์ (แม่แบบ:Langx) ประกอบด้วยสมการ 4 สมการ ตั้งชื่อตาม เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ โดย โอลิเวอร์ เฮวิไซด์ สมการทั้ง 4 นี้ใช้อธิบายถึงพฤติกรรมของ สนามไฟฟ้า และ สนามแม่เหล็ก รวมถึงปฏิกิริยาที่มีต่อสารต่าง ๆ

รายละเอียดโดยย่อ

รูปทั่วไป

รูป อนุพันธ์	รูป ปริพันธ์
กฎของเกาส์ (Gauss' law) :
$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho$	${\oint }_S𝐃\cdot d𝐀=\underset{V}{\int }\rho \cdot dV$
กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (ความไม่มีอยู่ ของแม่เหล็กขั้วเดียว) (magnetic monopole) :
$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$	${\oint }_S𝐁\cdot d𝐀=0$
กฎของฟาราเดย์ (Faraday's law of induction) :
$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$	${\oint }_C𝐄\cdot d𝐥=-\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐁\cdot d𝐀$
กฎของแอมแปร์ (Ampère's law + Maxwell's extension) :
$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐉+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$	${\oint }_C𝐇\cdot d𝐥=\underset{S}{\int }𝐉\cdot d𝐀+\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐃\cdot d𝐀$

กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (โดยความเป็นจริงเราไม่มีชื่อให้สำหรับกฎข้อนี้) : บอกได้ว่าในชีวิตประจำวันเราจะไม่พบแม่เหล็กซึ่งมีขั้วแยกจากกันโดยชัดเจน นั่นคือเราจะไม่พบแม่เหล็กที่มีขั้วเหนือเพียงขั้วเดียวหรือแม่เหล็กที่มีขั้วใต้เพียงขั้วเดียว

Faraday's Law : สามารถอธิบายจากสมการได้ว่า "สนามไฟฟ้าเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็กในหนึ่งหน่วยเวลาและจะเกิดในทิศหมุนวน (สังเกตจาก operator curl)" ซึ่งจากความรู้เบื้องต้นเราทราบมาว่าสนามไฟฟ้าเกิดจากประจุอิสระ แต่จาก Faraday's Law บอกได้ว่าสนามไฟฟ้าสามารถเกิดจากสนามแม่เหล็กได้เช่นกันแต่ต้องเป็นสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้น (ถ้าสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาก็จะไม่เกิดสนามไฟฟ้า)

Ampere's Law : สมการรูปนี้เป็นสมการที่ Generalized แล้วโดย Maxwell's อธิบายจากสมการได้คือ "สนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงในหนึ่งหน่วยเวลาโดยจะเกิดในทิศหมุนวนเช่นกัน" นั่นคือสนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าที่คงที่หรือเกิดได้จากสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยที่:

สัญลักษณ์	ความหมาย	หน่วยในระบบเอสไอ
$𝐄$	สนามไฟฟ้า	โวลต์ ต่อ เมตร
$𝐇$	ความเข้มสนามแม่เหล็ก	แอมแปร์ ต่อ เมตร
$𝐃$	ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟ้า	คูลอมบ์ ต่อ ตารางเมตร
$𝐁$	ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก เรียกอีกอย่างว่า การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก	เทสลา, เวบเบอร์ ต่อ ตารางเมตร
$\rho$	ความหนาแน่นของประจุไฟฟ้าอิสระ	คูลอมบ์ ต่อ ลูกบาศก์เมตร
$𝐉$	ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า	แอมแปร์ ต่อ ตารางเมตร
$d𝐀$	เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของพื้นผิว A ซึ่งมีขนาดน้อยมาก และมีทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิว S	ตารางเมตร
$dV$	ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของปริมาตร V ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นผิว S	ลูกบาศก์เมตร
$d𝐥$	เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของเส้นสัมผัสเส้นรอบขอบ C ที่ล้อมรอบพื้นผิว S	เมตร

และ

$\mathrm{\nabla }\cdot$ คือ ตัวดำเนินการ ไดเวอร์เจนซ์ (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

$\mathrm{\nabla }\times$ คือ ตัวดำเนินการ เคิร์ล (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร (constitutive relationships)

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร หรือ "constitutive relationships" ใช้ในการแสดงถึงพฤติกรรมความสัมพันธ์ของค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในเนื้อสารตัวกลาง ในระดับใหญ่ (macroscopic) ซึ่งเป็นการพิจารณาพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของสนาม ในสารตัวกลางที่มีปรมาตรที่ใหญ่กว่าขนาดของอะตอม และโมเลกุล โดยความสัมพันธ์นี้จะอยู่ในรูป

$𝐃=𝐃(𝐄,𝐇)$

$𝐁=𝐁(𝐄,𝐇)$

$𝐉=𝐉(𝐄,𝐇)$ (กฎของโอห์ม สำหรับสารตัวนำ)

ลักษณะคุณสมบัติอาจแบ่งตาม

เป็นเชิงเส้น/ไม่เป็นเชิงเส้น (linear/non-linear) : ในสารที่มีคุณสมบัติไม่เป็นเชิงเส้นนั้นความสัมพันธ์ด้านบนที่กล่าวมาจะไม่อยู่ในรูปเชิงเส้น ในกรณีที่เป็นสารที่มีคุณสมบัติเชิงเส้น ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถเขียนอยู่ในรูป

$𝐃=\epsilon 𝐄$

$𝐁=\mu 𝐇$

$𝐉=\sigma 𝐄$

โดยที่

• $\epsilon$ เรียกว่า ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า หรือ ค่าความสามารถเก็บประจุ (capacitivity)
• $\mu$ เรียกว่า ค่าสภาพให้ซึมผ่านได้ทางแม่เหล็ก หรือ ค่าความสามารถเหนี่ยวนำ (inductivity)
• $\sigma$ เรียกว่า ค่าสภาพนำไฟฟ้า

เป็นเนื้อเดียว/ไม่เป็นเนื้อเดียว (homogeneous/nonhomogeneous) : สารที่เป็นเนื้อเดียวค่าของคุณสมบัติเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในเนื้อสาร

ดิสเพอซีฟ/ไม่ดิสเพอซีฟ (dispersive/nondispersive) : สารที่ไม่เป็นดิสเพอซีฟ ค่าคุณสมบัติของเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามความถี่ ของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร

ไอโซโทรปิค/แอนไอโซโทรปิค (isotropic/anisotropic) : สารที่มีคุณสมบัติไอโซโทรปิค ค่าคุณสมบัติจะไม่ขึ้นกับทิศทางของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร ในสารที่มีคุณสมบัติแอนไอโซโทรปิคนั้น ค่าคุณสมบัติจะเขียนอยู่ในรูป เทนเซอร์อันดับ 2 ในสามมิติ (เมทริกซ์ ขนาด3×3)

Lagrangian

Action ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยไม่มี source นั้นเขียนได้ดังนี้

$S=-\frac{1}{4}\int d^{3}x{F}^{\mu u}{F}_{\mu u}$

โดยที่

$F^{\mu u}={\partial }^{\mu }{A}^u-{\partial }^u{A}^{\mu }$

Euler-Lagrange Equation ของ Action นี้คือ Guass's Law และ Faraday's Law

${\partial }_u{F}^{\mu u}=0$

สมการของ maxwell อีกสองสมการสามารถหาได้จาก Bianchi identity

แหล่งข้อมูลอื่น

• maxwells-equations.com — An intuitive tutorial of Maxwell's equations.
• The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 18: The Maxwell Equations
• Wikiversity Page on Maxwell's Equations