ปริพันธ์รีมัน

ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าการวิเคราะห์เชิงจริง ปริพันธ์รีมัน ซึ่งแบร์นฮาร์ท รีมัน คิดขึ้น เป็นนิยามที่รัดกุมนิยามแรกของปริพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงหนึ่ง ๆ นิยามนี้ได้รับการเสนอต่อคณาจารย์ที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงินในปี พ.ศ. 2397 แต่ไม่ได้รับการตีพิมพ์ในวารสารจนกระทั่งปี พ.ศ. 2411 สำหรับฟังก์ชันและการใช้งานจริง ปริพันธ์รีมันสามารถประเมินได้จากทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสหรือประมาณโดยการรวมเชิงตัวเลข

ปริพันธ์เป็นพื้นที่ของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

การประมาณค่าด้วยปริพันธ์

การประมาณค่าของผลรวม สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมกับปริพันธ์ต่อไปนี้ สำหรับฟังก์ชันเพิ่ม f

$\underset{s=a-1}{\overset{b}{\int }}f(s)ds\le \sum _{i=a}^{b}f(i)\le \underset{s=a}{\overset{b+1}{\int }}f(s)ds$

และฟังก์ชันลด f

$\underset{s=a}{\overset{b+1}{\int }}f(s)ds\le \sum _{i=a}^{b}f(i)\le \underset{s=a-1}{\overset{b}{\int }}f(s)ds$

ส่วนการประมาณค่าแบบทั่วไป ดูได้ที่สูตรอ็อยเลอร์–มาคลอริน (Euler–Maclaurin formula)

สำหรับฟังก์ชัน f ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ค่าของปริพันธ์สามารถประมาณค่าได้ด้วยผลบวกรีมัน (Riemann sum) ตัวอย่างเช่น สูตรต่อไปนี้คือผลบวกรีมันข้างซ้ายที่แบ่งช่วงเป็น n ส่วนเท่ากัน

$\frac{b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}f(a+i\frac{b-a}{n})\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

ซึ่งการประมาณค่านี้จะแม่นยำมากขึ้น เมื่อ n มีค่ามากขึ้น (ถูกแบ่งเป็นส่วนมากขึ้น) จนเข้าใกล้อนันต์

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}f(a+i\frac{b-a}{n})=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

นิยาม

ผลรวมรีมัน

ให้ f เป็นฟังก์ชันของจำนวนจริงที่กำหนดในช่วง $[a,b]$ โดยที่ $a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_i<\dots <x_n=b$

• $\sum _{i=0}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i)$

ดังนั้น แต่ละพจน์จึงแทนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูง แม่แบบ:Math และความกว้าง แม่แบบ:Math ผลรวมรีมันน์คือพื้นที่ ของสี่เหลี่ยมทั้งหมด