ปริพันธ์ของฟรุลลานี

ในคณิตศาสตร์ ปริพันธ์ของฟรุลลานีเป็นปริพันธ์ไม่ตรงแบบที่ตั้งชื่อตามจูลีอาโน ฟรุลลานี นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ที่มีรูปแบบ

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x$

เมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามในทุกจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ที่มีลิมิตที่ $\mathrm{\infty }$ ซึ่งเราแสดงด้วย $f(\mathrm{\infty })$ และมีลิมิตที่ $0$ ซึ่งแสดงด้วย $f(0)$

คำตอบในรูปทั่วไปของปริพันธ์นี้ใช้ได้ถ้า $f$ ต่อเนื่องในช่วง $(0,\mathrm{\infty })$ มีลิมิตที่ $0,\mathrm{\infty }$ และ $a,b>0$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x=(f(\mathrm{\infty })-f(0))\ln \frac{a}{b}.$

พิสูจน์สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องหาอนุพันธ์ได้

การพิสูจน์สูตรอย่างง่าย (ภายใต้สมมติฐานที่เข้มกว่าที่ระบุไว้ข้างต้น คือ $f\in {𝒞}^1(0,\mathrm{\infty })$) สามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส เพื่อแสดงว่าปริพันธ์เป็นปริพันธ์ของ $f^{\prime }(xt)=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{f(xt)}{x}\right)$

$\begin{array}{cc}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}& ={\left[\frac{f(xt)}{x}\right]}_{t=b}^{t=a}\\ & =\underset{b}{\overset{a}{\int }}{f}^{\prime }(xt)dt\\ \end{array}$

แล้วใช้ทฤษฎีบทของโตเนลลีเพื่อสลับปริพันธ์ทั้งสอง

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{b}{\overset{a}{\int }}{f}^{\prime }(xt)dtdx\\ & =\underset{b}{\overset{a}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^{\prime }(xt)dxdt\\ & =\underset{b}{\overset{a}{\int }}{\left[\frac{f(xt)}{t}\right]}_{x=0}^{x\to \mathrm{\infty }}dt\\ & =\underset{b}{\overset{a}{\int }}\frac{f(\mathrm{\infty })-f(0)}{t}dt\\ & =(f(\mathrm{\infty })-f(0))(\ln (a)-\ln (b))\\ & =(f(\mathrm{\infty })-f(0))\ln \left(\frac{a}{b}\right)\\ \end{array}$

ให้ทราบว่าปริพันธ์ในบรรทัดที่สองด้านบนนำมาใช้แทน ช่วง $[b,a]$ ไม่ใช่ $[a,b]$

การประยุกต์ใช้

สูตรนี้สามารถนำมาใช้ในการหาค่าอินทิกรัลของลอการิทึมธรรมชาติ $\ln (x)$ โดยให้ $f(x)=e^{-x}$ และ $a=1$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x}-e^{-bx}}{x}\mathrm{d}x=(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{e^n}-e^0)\ln (\frac{1}{b})=\ln (b)$

สูตรนี้สามารถวางนัยทั่วไปได้หลายทาง

อ้างอิง

• G. Boros, Victor Hugo Moll, ปริพันธ์ที่ไม่อาจต้านทานได้ (2004), หน้า 98
• Juan Arias-de-Reyna เกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Frullani (PDF; 884 kB) กระบวนการ เอเอ็มเอส 109 (1990), 165-175.
• ProofWiki พิสูจน์อินทิกรัลของ Frullani