การทดสอบด้วยพจน์ที่ n

{{#invoke:sidebar|collapsible | class = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.25em; | pretitle = บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ | title = แคลคูลัส | image = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$ | listtitlestyle = text-align:center; | liststyle = border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa; | expanded =

| abovestyle = padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal; | above = ทฤษฎีบทมูลฐาน แม่แบบ:Startflatlist

• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ความต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทของโรลล์

| list2name = อนุพันธ์ | list2titlestyle = display:block;margin-top:0.65em; | list2title = แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ | list2 =

แม่แบบ:Sidebar

| list3name = ปริพันธ์ | list3title = แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ | list3 =

แม่แบบ:Sidebar

| list4name = อนุกรม | list4title = อนุกรม | list4 =

แม่แบบ:Sidebar

| list5name = เวกเตอร์ | list5title = แคลคูลัสเวกเตอร์ | list5 =

แม่แบบ:Sidebar

| list6name = หลายตัวแปร | list6title = แคลคูลัสหลายตัวแปร | list6 =

แม่แบบ:Sidebar

| list7name = พิเศษ | list7title = พิเศษ | list7 = แม่แบบ:Startflatlist

• แคลคูลัสเชิงเศษส่วน
• มาลียาแว็ง
• แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม
• แคลคูลัสของการแปรผัน

}}

 

ในทางคณิตศาสตร์ การทดสอบด้วยพจน์ที่ n เพื่อหาการลู่ออก (อังกฤษ: nth-term test for divergence) เป็นการทดสอบแบบง่าย ๆ เพื่อตรวจภาวะการลู่ออกของอนุกรมอนันต์

ถ้า

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\ne 0$

หรือลิมิตหาค่าไม่ได้ แล้ว

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

ลู่ออก

ผู้เขียนหลายรายไม่ได้ตั้งชื่อการทดสอบนี้ไว้หรือใช้ชื่อที่สั้นกว่า

เมื่อทดสอบว่าอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก โดยทั่วไปการทดสอบนี้จะได้รับการใช้ก่อนเนื่องจากใช้งานง่าย

ในกรณีของการวิเคราะห์ p-แอดิก การทดสอบพจน์เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการลู่เข้า เนื่องมาจากอสมการสามเหลี่ยมอัลตราเมตริกที่มีสมบัติไม่อาร์คิมิดีส

การใช้งาน

การทดสอบด้วยพจน์ที่ n แตกต่างจากการทดสอบการลู่เข้าอื่น ๆ ที่แรงกว่า เพราะการทดสอบโดยพจน์ไม่สามารถใช้พิสูจน์ได้ว่าอนุกรมนั้น ๆ ลู่เข้า โดยเฉพาะอย่างยิ่งบทกลับของการทดสอบด้วยพจน์ที่ n นั้นไม่จริง กล่าวคือ

ถ้า

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$

แล้ว

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

อาจลู่เข้าหรือไม่ก็ได้ อีกนัยหนึ่งคือถ้า

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$

การทดสอบสรุปไม่ได้

อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของอนุกรมลู่ออกซึ่งพจน์ของอนุกรมลู่เข้า 0 เมื่อ

$n\to \mathrm{\infty }$

และสำหรับคลาสของอนุกรมพี

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$

จะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบดังนี้

• หาก p ≤ 0 การทดสอบพจน์ที่ n บ่งบอกว่าอนุกรมลู่ออก
• หาก 0 < p ≤ 1 การทดสอบพจน์ที่ n ไม่ให้ข้อสรุป แต่อนุกรมนี้ลู่ออกจากการทดสอบปริพันธ์เพื่อหาการลู่เข้า
• หาก 1 < p การทดสอบพจน์ที่ n ไม่ให้ข้อสรุป แต่อนุกรมนี้ลู่เข้าจากการทดสอบปริพันธ์เพื่อหาการลู่เข้า

บทพิสูจน์

โดยทั่วไปแล้วจะพิสูจน์การทดสอบด้วยพจน์ที่ n ผ่านการพิสูจน์ประพจน์แย้งสลับที่

ถ้า

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

ลู่เข้าแล้ว

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$

การจัดรูปลิมิต

ให้ s_n เป็นผลบวกย่อยของอนุกรม ดังนั้นสมมติฐานที่ว่าอนุกรมลู่เข้าหมายความว่า

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=L$

สำหรับจำนวนจริง L บางตัว ดังนั้น

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(s_n-s_{n-1})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_{n-1}=L-L=0$

หลักเกณฑ์ของโคชี

หากสมมติให้อนุกรมลู่เข้า แสดงว่าอนุกรมนี้ผ่านการทดสอบการลู่เข้าของโคชี ฉะนั้นสำหรับทุก $\epsilon >0$ จะมีจำนวนนับ N ที่ทำให้

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\epsilon$

เป็นจริงสำหรับทุก n > N และ p ≥ 1 ทั้งหมด เมื่อให้ p = 1 จะได้ว่า

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$

ขอบเขตการใช้งานของอนุกรม

การทดสอบพจน์ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดนั้นใช้ได้กับอนุกรมอนันต์ของจำนวนจริง บทพิสูจน์สองข้อข้างต้นที่ใช้หลักเกณฑ์ของโคชีหรือความเป็นเชิงเส้นของลิมิต ยังใช้ได้กับปริภูมินอร์มอื่น ๆ ได้ด้วย

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book