กฎของรุฟฟีนี

ในคณิตศาสตร์ กฎของรุฟฟีนีคือวิธีการคำนวณการหารแบบยุคลิดของพหุนามด้วยทวินามในรูป $x-r$ ได้รับการอธิบายไว้โดยปาโอโล รุฟฟีนี ใน ค.ศ. 1809 กฎนี้เป็นกรณีพิเศษของการหารสังเคราะห์เมื่อตัวหารเป็นตัวประกอบเชิงเส้น

ขั้นตอนวิธี

กฎนี้กำหนดวิธีการหารพหุนาม

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

ด้วยทวินาม

$Q(x)=x-r$

เพื่อจะได้พหุนามผลหาร

$R(x)=b_{n-1}{x}^{n-1}+b_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_0$

ขั้นตอนวิธีนี้เทียบได้กับการหารยาว $P(x)$ ด้วย $Q(x)$

การหาร $P(x)$ ด้วย $Q(x)$

1. เอาสัมประสิทธิ์ของ $P(x)$ แล้วเขียนลงตามลำดับ แล้วเขียน $r$ ขอบซ้ายล่างเหนือเส้น

$\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & & & & \\ & & & & & \end{array}$

1. ดึงสัมประสิทธิ์ซ้ายสุด ($a_n$) ลงมาใต้เส้น

$\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & & & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$

1. คูณจำนวนที่ถูกดึงใต้เส้นด้วย $r$ แล้วเขียนผลคูณบนเส้นภายในหลักถัดไปทางขวา

$\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}\cdot r& & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$

1. บวกกันภายในหลักที่ได้เขียนตัวเลขไป

$\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}\cdot r& & & \\ & a_n& b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}& & & \\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& & & \end{array}$

1. ทำขั้นตอนที่ 3 และ 4 ซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงขอบขวาสุด

$\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}\cdot r& \dots & b_1\cdot r& b_0\cdot r\\ & a_n& b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}& \dots & b_1\cdot r+a_1& a_0+b_0\cdot r\\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& \dots & =b_0& =s\end{array}$

ค่า $b$ ต่าง ๆ คือค่าของสัมประสิทธิ์พหุนามผลหาร ($R(x)$) ที่มีดีกรีน้อยกว่า $P(x)$ อยู่หนึ่ง ค่าสุดท้าย $s$ คือเศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามบอกไว้ว่าเศษเหลือจะมีค่าเท่ากับ $P(x)$ ที่ $r$ หรือ $P(r)$

ตัวอย่าง

นี่เป็นตัวอย่างการหารพหนามตามที่ได้อธิบายไว้

ให้

$P(x)=2x^3+3x^2-4$

$Q(x)=x+1$

$P(x)$ จะถูกหารด้วย $Q(x)$ โดยใช้กฎของรุฟฟีนี ปัญหาคือ $Q(x)$ ไม่ได้อยู่ในรูปทวินาม $x-r$ แต่อยู่ในรูป $x+r$ จึงต้องเปลี่ยนรูปโดยการ

$Q(x)=x+1=x-(-1)$

ตอนนี้สามารถใช้ขั้นตอนวิธีได้

1. เขียนสัมประสิทธิ์และ $r$ ลงไป สังเกตว่า $P(x)$ ไม่มีพจน์ $x$ จึงเขียน 0 ลงไปทดแทน

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & & & \\ & & & & \end{array}$

1. ดึงสัมประสิทธิ์ตัวแรกลง

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & & & \\ & 2& & & \end{array}$

1. คูณค่าที่ได้ด้วย $r$

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& & \\ & 2& & & \end{array}$

1. รวมค่าด้วยกัน

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& & \\ & 2& 1& & \end{array}$

1. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 และ 4 จนกว่าจะเสร็จ

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& -1& 1\\ & 2& 1& -1& -3\end{array}$

จาก $P(x)=Q(x)R(x)+s$ เมื่อ

$R(x)=2x^2+x-1$ และ $s=-3;\Rightarrow 2x^3+3x^2-4=(2x^2+x-1)(x+1)-3$

การประยุกต์ใช้ในการแยกตัวประกอบ

กฎของรุฟฟีนีใช้ได้เมื่อต้องการจะหาผลหารระหว่างพหุนาม $P(x)$ กับทวินามในรูป $x-r$ (ถ้าตองการหาแค่เศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามจะเป็นวิธีที่ง่ายกว่า)

ตัวอย่างทั่ว ๆ ไปเมื่อต้องการหาผลหาร คือการแยกตัวประกอบ $p(x)$ เมื่อทราบคำตอบ $r$

เศษเหลือของการหารแบบยุคลิดของ $p(x)$ด้วย $r$ คือ $0$ และถ้าผลหารคือ $q(x)$ การหารแบบยุคลิดจะเขียนได้ดังนี้

$p(x)=q(x)(x-r)$

เป็นการแยกตัวประกอบ (อาจจะบางส่วน) ของ $p(x)$ ซึ่งสามารถคำนวณโดยใช้กฎของรุฟฟีนี แล้วสามารถแยกตัวประกอบ $p(x)$ ต่อโดยการแยกตัวประกอบ $q(x)$

ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตบอกไว้ว่าทุกพหุนามที่มีดีกรีเป็นบวกจะมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระบวนการข้างบนยังแสดงได้ว่าทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตส่อให้เห็นว่าทุกพหุนามในรูป $p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +a_{1}x+a_0$ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น

$p(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots (x-r_n)$

เมื่อ $r_1,r_2,r_3,\dots ,r_n$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ประวัติ

ผู้คิดค้นวิธีนี้คือปาโอโล รุฟฟีนี เขาได้เข้าร่วมการแข่งขันที่บัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์แห่งชาติอิตาลีจัดขึ้น โดยปัญหาท้าทายคือหาวิธีในการหาคำตอบของพหุคูณทั่วไป ใน ค.ศ. 1804 คำตอบที่รุฟฟีนีที่ส่งไปได้อันดับที่หนึ่งจาก 5 ฉบับที่มีผู้ส่งไป และวิธีของเขาได้รับการตีพิมพ์ เขาได้ปรับแต่งงานของเขาและตีพิมพ์ใน ค.ศ. 1807 และอีกครั้งใน ค.ศ. 1813

ดูเพิ่ม

• วิธีของลิลล์ การหารโดยใช้ภาพ
• วิธีของฮอร์เนอร์

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:Mathworld
• แม่แบบ:Commons category-inline