ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

ในพีชคณิต ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม (แม่แบบ:Langx) หรือทฤษฎีบทเล็กของเบซู (ตั้งชื่อตามเอเตียน เบซู (Étienne Bézout)) เป็นการประยุกต์ใช้การหารพหุนามแบบยุคลิด (Euclidean division of polynomial) ซึ่งทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าเศษเหลือจากการหารพหุนาม $f(x)$ ด้วยพหุนามเชิงเส้น $x-r$ เท่ากับ $f(r)$ และ $x-r$ เป็นตัวหารของ $f(x)$ ก็ต่อเมื่อ $f(r)=0$ เป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem)

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

ให้ $f(x)=x^3-12x^2-42$ การหารพหุนาม $f(x)$ ด้วย $(x-3)$ ให้ผลหาร $x^2-9x-27$ และเหลือเศษ $-123$ เพราะฉะนั้น $f(3)=-123$

ตัวอย่าง 2

แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามเป็นจริงกับพหุนามดีกรี 2 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ ใด ๆ ด้วยการจัดรูปพีชคณิต:

$\begin{array}{cc}\frac{f(x)}{x-r}& =\frac{a{x}^2+bx+c}{x-r}\\ & =\frac{a{x}^2-arx+arx+bx+c}{x-r}\\ & =\frac{ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}\\ & =ax+\frac{(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}\\ & =ax+b+ar+\frac{c+r(b+ar)}{x-r}\\ & =ax+b+ar+\frac{a{r}^2+br+c}{x-r}\end{array}$

คูณทั้งสองฝั่งด้วย (x − r) ได้

$f(x)=a{x}^2+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+a{r}^2+br+c$

ในเมื่อ $R=a{r}^2+br+c$ เป็นเศษเหลือ เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่า $f(r)=R$

การพิสูจน์

ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามตามมาจากขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดสำหรับพหุนามที่บอกว่าเมื่อกำหนดพหุนามสองตัวแม่แบบ:Math (ตัวตั้งหาร) และ แม่แบบ:Math (ตัวหาร) จะมีพหุนามผลหาร แม่แบบ:Math และพหุนามเศษเหลือ แม่แบบ:Math เพียงชุดเดียวที่สอดคล้องกับสมการ

$f(x)=Q(x)g(x)+R(x)$ และ $R(x)=0$ หรือ $\mathrm{deg}(R)<\mathrm{deg}(g)$

ถ้าตัวหาร $g(x)=x-r$ เมื่อ r เป็นค่าคงตัว ก็อาจเป็นได้ทั้ง แม่แบบ:Math หรือมีดีกรี 0 ซึ่งในทั้งสองกรณี แม่แบบ:Math เป็นค่าคงตัวที่ขึ้นอยู่กับ แม่แบบ:Math คือ

$f(x)=Q(x)(x-r)+R$

เมื่อกำหนดให้ $x=r$ ในสูตรนี้แล้วก็จะได้:

$f(r)=R$

มีการพิสูจน์ที่ต่างกันเล็กน้อยซึ่งอาจดูพื้นฐานกว่าสำหรับบางคน เริ่มต้นจากการสังเกตว่า $f(x)-f(r)$ เป็นผลรวมเชิงเส้นของพจน์ในรูป $x^k-r^k$ ซึ่งแต่ละพจน์สามารถหารได้ด้วย $x-r$ เพราะ $x^k-r^k=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +x{r}^{k-2}+r^{k-1})$

การประยุกต์

ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามสามารถใช้เพื่อหา $f(r)$ ด้วยการคำนวนหาเศษเหลือ $R$ แต่การหารยาวพหุนาม (polynomial long division) ก็ยากกว่าการหาค่าฟังก์ชันไปเลย และการหารสังเคราะห์ (synthetic division) คำนวณได้ง่ายกว่า ดังนั้นเราอาจสามารกหาค่าของฟังก์ชันได้ด้วยการใช้การหารสังเคราะห์และทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

ทฤษฎีบทตัวประกอบเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลืออีกเรื่องหนึ่ง: ถ้าเศษเหลือเท่ากับศูนย์ ตัวหารสมการเชิงเส้นนั้นเป็นตัวประกอบของพหุนาม สามารถหาตัวประกอบของพหุนามได้ด้วยการใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบซ้ำหลายครั้ง