จำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม (แม่แบบ:Langx, แม่แบบ:Langx, แม่แบบ:Langx) คือจำนวนที่สามารถเขียนได้โดยปราศจากองค์ประกอบทางเศษส่วนหรือทศนิยม ตัวอย่างเช่น 21, 4, −2048 เหล่านี้คือจำนวนเต็ม แต่ 9.75, 5แม่แบบ:เศษ, √2 เหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเต็ม เศษของจำนวนเต็มเป็นเศษย่อยของจำนวนจริง และประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ (1, 2, 3, ...) ศูนย์ (0) และตัวผกผันการบวกของจำนวนธรรมชาติ (−1, −2, −3, ...)^[1]

เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดมักแสดงด้วย Z ตัวหนา (หรือ $ℤ$ ตัวหนาบนกระดานดำ, แม่แบบ:Unicode U+2124) มาจากคำในภาษาเยอรมันว่า Zahlen แม่แบบ:IPA-de แปลว่าจำนวน^[2]

จำนวนเต็ม (พร้อมด้วยการดำเนินการการบวก) ก่อร่างเป็นกรุปเล็กที่สุดอันประกอบด้วยโมนอยด์เชิงการบวกของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็มก่อให้เกิดเซตอนันต์นับได้เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ สิ่งเหล่านี้ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตทำให้เข้าใจได้โดยสามัญว่า จำนวนเต็มซึ่งฝังตัวอยู่ในฟีลด์ของจำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนเต็มตรรกยะ เพื่อแยกแยะออกจากจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตที่ได้นิยามไว้กว้างกว่าจำนวนเต็มเป็นจำนวนนับ

สมบัติทางพีชคณิต

Z เป็นเซตปิดสำหรับการดำเนินการการบวกและการคูณ เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ ผลบวกและผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนเต็ม แต่ Z ยังเป็นเซตปิด เมื่อรวมจำนวนธรรมชาติลบและ 0 ด้วย แต่ Z ไม่เป็นเซตปิดสำหรับการหาร เนื่องจากผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน (เช่น 1 หารด้วย 2) ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม จำนวนเต็มไม่เปิดเซตปิดภายใต้การยกกำลัง ซึ่งต่างจากจำนวนธรรมชาติ (เพราะเมื่อยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเป็นบวกจะได้เศษส่วน)

ตารางด้านล่างแสดงสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณของจำนวนเต็ม $a, b$ และ $c$ ใด ๆ

กรณีการคูณ นิยมเขียน $a \times b$ ด้วย $a b$

สมบัติการบวกและการคูณจำนวนเต็ม
	การบวก	การคูณ
ปิด:	$a + b \in ℤ$	$a b \in ℤ$
การเปลี่ยนหมู่:	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(a b) c = a (b c)$
การสลับที่:	$a + b = b + a$	$a b = b a$
การมีสมาชิกเอกลักษณ์:	$a + 0 = a = 0 + a$	$a 1 = a = 1 a$
การมีตัวผกผัน:	$a + (- a) = 0 = - a + a$	ไม่มีตัวผกผันสำหรับการคูณ
การแจกแจง:	$a (b + c) = a b + a c$ และ $(a + b) c = a c + b c$
ไม่มีตัวหารของศูนย์: (*)		ถ้า $a b = 0$ แล้ว $a = 0$ หรือ $b = 0$

ตามศัพท์ของพีชคณิตนามธรรม คุณสมบัติห้าข้อแรกข้างบนสามารถบอกได้ว่าเซต Z กับการบวกเป็น กรุปสลับที่ หรือ อาบิเลียนกรุป

สมบัติการเรียงลำดับ

Z เป็น เซตเรียงลำดับที่ไม่มีขอบเขตบนหรือขอบเขตล่าง. การเรียงลำดับของ Z อยู่ในรูป

... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

จำนวนเต็มใด ๆ จะเป็นจำนวนบวก เมื่อมีค่ามากกว่าศูนย์ และเป็นจำนวนลบ เมื่อมีค่าน้อยกว่าศูนย์ สำหรับศูนย์ ไม่ได้จัดอยู่ในจำนวนบวกหรือจำนวนลบแต่อย่างใด

การเรียงลำดับจำนวนเต็มโดยใช้การดำเนินการทางพีชคณิต ดังนี้

ถ้า a < b และ c < d แล้ว a + c < b + d
ถ้า a < b และ 0 < c แล้ว ac < bc
ถ้า a < b และ c < 0 แล้ว ac > bc.