จำนวนฟีโบนัชชี

การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี

จำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขจำนวนฟีโบนัชชี (แม่แบบ:Langx) คือจำนวนเต็มที่อยู่ในลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... แม่แบบ:OEIS

โดยนิยามความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ ลำดับของจำนวนดังกล่าวเรียกว่า ลำดับจำนวนฟีโบนัชชี (แม่แบบ:Langx)

หากเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ลำดับ F_n ของจำนวนฟีโบนัชชีนิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$

โดยกำหนดค่าเริ่มแรกให้

$F_0=0;F_1=1$

ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13

รูปปิด

เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น เราจึงสามารถหารูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า สูตรของบิเนต์ มีดังต่อไปนี้

$F\left(n\right)=\frac{{\phi }^n-(1-\phi {)}^n}{\sqrt{5}}$

โดย $\phi =(1+\sqrt{5})/2\approx 1.618$ เป็นตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าอัตราส่วนทอง

พิจารณาสมการพหุนาม $x^2=x+1$ เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย $x^{n-1}$ เราได้ว่า

$x^{n+1}=x^n+x^{n-1}$

ผลเฉลยของสมการ $x^2=x+1$ ได้แก่ $\phi$ และ $1-\phi$ ดังนั้น

${\phi }^{n+1}$	= ${\phi }^n+{\phi }^{n-1}$ และ
$(1-\phi {)}^{n+1}$	= $(1-\phi {)}^n+(1-\phi {)}^{n-1}$

พิจารณาฟังก์ชัน

$F_{a,b}(n)=a{\phi }^n+b(1-\phi {)}^n$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงใดๆ

เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี

$F_{a,b}(n+1)$	$=a{\phi }^{n+1}+b(1-\phi {)}^{n+1}$
	$=a({\phi }^n+{\phi }^{n-1})+b((1-\phi {)}^n+(1-\phi {)}^{n-1})$
	$=a{\phi }^n+b(1-\phi {)}^n+a{\phi }^{n-1}+b(1-\phi {)}^{n-1}$
	$=F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)$

เลือก $a=1/\sqrt{5}$ and $b=-1/\sqrt{5}$ เราได้ว่า

$F_{a,b}(0)=\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}}=0=F(0)$

และ

$F_{a,b}(1)=\frac{\phi }{\sqrt{5}}-\frac{(1-\phi )}{\sqrt{5}}=\frac{-1+2\phi }{\sqrt{5}}=\frac{-1+(1+\sqrt{5})}{\sqrt{5}}=1=F(1)$

เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นขั้นฐานของการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของข้อความ $F_{a,b}(n)=F(n)$ และใช้เอกลักษณ์ของ $F_{a,b}$ พิสูจน์ขั้นอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า

$F(n)=\frac{{\phi }^n-(1-\phi {)}^n}{\sqrt{5}}$ สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $n$ ทุกตัว

เนื่องจาก $|1-\phi {|}^n/\sqrt{5}<1/2$ สำหรับทุกๆ $n>0$ เราจึงได้ว่า $F_n$ จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ ${\phi }^n/\sqrt{5}$ ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function) ได้ว่า

$F(n)=\lfloor \frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\rfloor$

ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทอง

โยฮันเนส เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนัชชีที่ติดกันลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง กล่าวคือ

$\frac{F(n+1)}{F(n)}$ ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง $\phi$

การพิสูจน์:

สำหรับจำนวนจริง $a\ne 0,b\ne 0$ เราได้ว่า

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{F_{a,b}(n+1)}{F_{a,b}(n)}$	$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a{\phi }^{n+1}-b(1-\phi {)}^{n+1}}{a{\phi }^n-b(1-\phi {)}^n}$
	$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a\phi -b(1-\phi )(\frac{1-\phi }{\phi }{)}^n}{a-b(\frac{1-\phi }{\phi }{)}^n}$
	$=\phi$,

เนื่องจาก $\left|\frac{1-\phi }{\phi }\right|<1$ ดังนั้น $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1-\phi }{\phi }{)}^n=0$

เนื่องจากจำนวนฟีโบนัชชีคือ $F_{a,b}$ เมื่อ $a=1/\sqrt{5}$ และ $b=-1/\sqrt{5}$ ลิมิตของอัตราส่วนของเลขฟีโบนัชชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย

รูปเมทริกซ์(Matrix)

ระบบสมการความแตกต่างเชิงเส้นที่อธิบายลำดับฟีโบนัชชีได้คือ

$\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{F_{k+2}}{F_{k+1}})& =\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{F_{k+1}}{F_k})\\ {\overrightarrow{F}}_{k+1}& =A{\overrightarrow{F}}_k\end{array}$

และมีรูปปิดคือ

${\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right).$

ด้วยรูปปิดดังกล่าว การคำนวณค่าฟีโบนัชชีจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้จำนวนการดำเนินการเลขคณิต O(log n) หรือใช้เวลา O(M(n) log(n)) โดยที่ M(n) คือเวลาในการคูณเลข n หลัก 2 ตัว โดยใช้วิธียกกำลังโดยการยกกำลังสอง กล่าวคือ

$x^n=\{\begin{array}{cc}x(x^2{)}^{\frac{n-1}{2}},& \text{if }n\text{ is odd}\\ (x^2{)}^{\frac{n}{2}},& \text{if }n\text{ is even}.\end{array}$

เมื่อให้ x เป็นเมทริกซ์ จึงสามารถหาค่า F_n ได้ในเวลาที่กล่าวไว้แล้ว

ลำดับฟีโบนัชชีในธรรมชาติ

สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูป มุม A = มุม B = มุม C เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก

นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34 ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชี

การนำไปใช้

จำนวนฟีโบนัชชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน

ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ท

จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ

ตัวกำเนิดจำนวนสุ่มเทียมบางตัวใช้จำนวนฟีโบนัชชีเป็นเครื่องมือในการสร้างเลขสุ่ม

จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ได้แก่ เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา ของ เบลา บาท็อก, และเพลงแลเทอราทัส ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book

• Arakelian, Hrant (2014), Mathematics and History of the Golden Section. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)