สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี

ในคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในรูปแบบ

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$

เรียกว่า สมการแบร์นูลลี (แม่แบบ:Langx) เมื่อ $n\ne 1$, $0$ ซึ่งสมการนี้ตั้งชื่อตาม ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) ผู้ซึ่งนำเสนอสมการรูปแบบนี้ไว้ในปี ค.ศ. 1695 แม่แบบ:Harv สมการแบร์นูลลี นั้นมีความน่าสนใจเพราะสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่ (nonlinear differential equations) มีผลตอบแม่นตรง (exact solution)

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

พิจารณา

$y^{\prime }+2y\sin x=y^{-2}\sin x$

หารตลอดทั้งสมการ

$\frac{y^{\prime }}{y^{-2}}+\frac{2\sin x}{y^{-3}}=\sin x$

ให้ $w=\frac{1}{y^{-3}}$ เมื่อทำการหาอนุพันธ์จะได้ว่า

$w^{\prime }=-w6\sin x+3\sin x$

ทำการหาปริพันธ์

$w=e^{6\cos x}(\frac{1}{2}{e}^{-6\cos x}+C)=\frac{1}{2}+C{e}^{6\cos x}$

เนื่องจาก $w=y^3$ ดังนั้น $y$ มีค่าเท่ากับ

$y={}^3\sqrt{\frac{1}{2}+C{e}^{6\cos x}}$

ตัวอย่างที่ 2

พิจารณาสมการแบร์นูลลี

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=-x^2{y}^2$

โดยชัดเจน $y=0$ เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ เมื่อหารด้วย $y^2$ จะได้

$y^{\prime }{y}^{-2}-\frac{2}{x}{y}^{-1}=-x^2$

เมื่อเปลี่ยนตัวแปรได้รูปแบบสมการใหม่

$w=\frac{1}{y}$

$w^{\prime }=\frac{-y^{\prime }}{y^2}.$

$w^{\prime }+\frac{2}{x}w=x^2$

ซึ่งสามารถหาแก้สมการได้โดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์

$M(x)=e^{2\int \frac{1}{x}dx}=e^{2\ln x}=x^2.$

คูณด้วย $M(x)$,

$w^{\prime }{x}^2+2xw=x^4,$

โดยที่ ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ของ $w{x}^2$ ดำเนินการหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้สมการ

$\int (w{x}^2{)}^{\prime }dx=\int x^{4}dx$

$w{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

$\frac{1}{y}{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

ผลลัพธ์ $y$ คือ

$y=\frac{5x^2}{x^5+C}$

และ $y=0$.

การโปรแกรมใน Math Lab

เราสามารถทำการตรวจสอบกับในโปรแกรมแมตแล็บ (MATLAB) โดยใช้ symbolic toolbox โดยการใช้รหัสดังข้างล่างนี้

ให้ผลตอบทั้งสอง:

อ้างอิง

• แม่แบบ:Cite journal. Cited in แม่แบบ:Harvtxt.
• แม่แบบ:Cite book.

ดูเพิ่ม

• แม่แบบ:Planetmath reference
• แม่แบบ:Planetmath reference
• แม่แบบ:Planetmath reference