รากที่สองของสอง

รากที่ 2 ของ 2 หรือที่รู้จักในชื่อ ค่าคงตัวของพีทาโกรัส เขียนแทนด้วย $\sqrt{2}$ เป็นจำนวนจริงบวก ที่เมื่อคูณกับตัวเองแล้วจะมีค่าเท่ากับ 2 มีค่าประมาณ 1.414213562373095

ในทางเรขาคณิต รากที่สองของสองคือความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย ความยาวนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งรากที่สองของสองนี้ถือเป็นจำนวนอตรรกยะจำนวนแรกที่เป็นที่รู้จัก

ประวัติ

จากหลักฐานบันทึกบนก้อนโคลนของชาวบาบิโลนเผยให้เห็นค่าประมาณของ $\sqrt{2}$ ในรูปผลบวกของเลขพหุคูณของ $\frac{1}{60}$ จำนวน 4 พจน์ ซึ่งมีค่าใกล้เคียงถึงทศนิยมตำแหน่งที่หก

$1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=1.41421\overline{296}.$

บันทึกในหนังสือ Sulbasutras ของชาวอินเดียโบราณ (800-200 ปีก่อนคริสตกาล) ได้กล่าวถึงค่าประมาณของรากที่สองไว้คือ เป็นการเพิ่มความยาว (ของด้าน) ด้วยหนึ่งในสามเท่าของค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสี่เท่าของหนึ่งในสามเท่าค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสามสิบสี่เท่าของค่าหนึ่งในสี่เท่าค่านั้น:-

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{3\cdot 4\cdot 34}=\frac{577}{408}\approx 1.414215686.$

การค้นพบจำนวนอตรรกยะนี้ ถือเป็นผลงานที่สำคัญของฮิปปาซุส (ศิษย์ในสำนักของพีทาโกรัส) ซึ่งเป็นผู้ที่พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของรากที่สองของสอง เป็นที่เชื่อกันตามคำกล่าวว่าพีทาโกรัสเชื่อในความสมบูรณ์แบบของจำนวนและทำให้ไม่ยอมรับในการค้นพบจำนวนอตรรกยะ ถึงแม้ว่าพีทาโกรัสจะไม่สามารถพิสูจน์ความไม่มีอยู่ของจำนวนอตรรกยะได้ แต่เขาก็ได้สั่งลงโทษประหารฮิปปาซุสโดยการกดน้ำ ตำนานอื่นเล่าว่าเขาถูกฆ่ากดน้ำโดยศิษย์คนอื่นของพีทาโกรัส หรืออาจถูกขับออกจากสำนัก

วิธีการทำ

นักคณิตศาสตร์ได้ค้นหาวิธีการคำนวณรากที่สองของสองในรูปแบบต่าง ๆ กันเพื่อเขียนค่าประมาณใกล้เคียงของรากที่สองของสองออกมาในรูปของอัตราส่วนของจำนวนเต็มหรือเลขทศนิยม หนึ่งในวิธีการที่ถือว่าเป็นเบื้องต้นที่สุดคือขั้นตอนวิธีของบาบิโลเนียเพื่อคำนวณรากที่สองของสอง ซึ่งถือเป็นพื้นฐานการคำนวณของคอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลข ขั้นตอนวิธีเพื่อหารากที่สอง (อาจใช้เพื่อหารากที่สองของจำนวนใด ๆ ไม่เฉพาะของสอง) ดังกล่าวสามารถทำได้ดังนี้

• เลือก a₀ >0 ค่า a₀ ที่เลือกนี้จะมีผลกระทบต่อความเร็วในการลู่เข้าสู่ค่าของ √2 ในระดับความแม่นยำหนึ่งเท่านั้น
• ใช้ฟังก์ชันเรียกตัวเองเพื่อคำนวณ a₁, a₂, a₃, ..., a_n
  

$a_{n+1}=\frac{a_n+\frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}$

• ตัวอย่างการคำนวณโดยเลือก a₀=1 ได้ผลดังนี้

a0			=	1
a1	=	3/2	=	1.5
a2	=	17/12	=	1.416...
a3	=	577/408	=	1.414215...
a4	=	665857/470832	=	1.4142135623746...

ในปี ค.ศ. 1997 ทีมของยาซูมาสะ คานาดะได้คำนวณค่าของ √2 แม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 137,438,953,444

เดือนกุมภาพันธ์ปี ค.ศ. 2006 ความท้าทายในการคำนวณค่าของ √2 ได้ถูกทำให้หมดไปด้วยการใช้คอมพิวเตอร์บ้าน ชิเกรุ คอนโดได้คำนวณค่าประมาณใกล้เคียงของ √2 ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 200,000,000,000 ในเวลา 13 วัน 14 ชั่วโมง โดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลขนาด 3.6 GHz และหน่วยความจำ 16 Gb

อย่างไรก็ดี เป็นที่ยอมรับกันทั่วไปว่าในจำนวนค่าคงตัวอตรรกยะทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่ถือเป็นความท้าทายต่อนักคณิตศาสตร์ที่จะเขียนในรูปของทศนิยมไม่รู้จบ ค่า π ดูจะเป็นจำนวนที่ถูกประมาณได้แม่นยำละเอียดสูงสุด

การพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะ

√2 สามารถพิสูจน์ว่าเป็นอตรรกยะได้ผ่านการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง:

1. สมมุติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่า √2 สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่มีเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม และเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ สมมุติว่าเศษส่วนนี้คือ a/b ดังนั้น a และ b จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบร่วม
2. จาก √2 = a/b จะได้ √2 b = a ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ 2b² = a²
3. จาก 2b² = a² แสดงว่า a² เป็นจำนวนคู่
4. ดังนั้น a เป็นจำนวนคู่ (เพราะถ้า a เป็นจำนวนคี่ a² จะเป็นคี่) นั่นคือ a = 2k สำหรับบางจำนวนเต็ม k
5. แทน a = 2k ในข้อ 3 จะได้ 2b² = (2k)² = 4k² ดังนั้น b² = 2k² และ b² เป็นจำนวนคู่
6. ดังนั้น b ก็เป็นจำนวนคู่ ซึ่งขัดแย้งกับข้อสมมุติในตอนแรก เพราะ a และ b มี 2 เป็นตัวประกอบร่วม

ดังนั้นข้อสมมุติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ นำไปสู่ข้อขัดแย้ง √2 จึงต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ

ขนาดกระดาษ

√2 ถูกใช้เป็นค่าสัดส่วนของการผลิตกระดาษตามมาตรฐาน ISO 216 (A4, A3, A0, ฯลฯ)สัดส่วนนี้ถูกตั้งขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่าทุกครั้งที่ทำการตัดครึ่งตามขวางกระดาษที่มีสัดส่วนเท่ากับ √2 กระดาษที่ถูกตัดจะยังคงมีสัดส่วนยาว:กว้างคงที่ คือ เป็น √2 เท่าเดิม

ความสับสนในภาษาไทย

คำว่า ราก ในทางคณิตศาสตร์นั้น มีความหมายในเชิงผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ การกล่าวถึง รากที่สองของสอง จึงมีความหมายเดียวกับผลลัพธ์ของสมการ x²=2 นั่นคือ +√2 และ -√2

เครื่องหมาย กรณฑ์ ในทางคณิตศาสตร์ ใช้เพื่อเรียกเครื่องหมาย square root หรือ √ การกล่าวถึง กรณฑ์ที่สองของสอง จึงเป็นการหมายถึง รากที่สองที่เป็นบวกของสอง นั่นคือ +√2 เท่านั้น

อย่างไรก็ดีในปัจจุบัน การเรียก รากที่สองของสอง แต่ไม่ได้หมายความว่าเป็นรากที่สองอย่างเดียว แต่เป็นรากที่ 8 ด้วย ถูกเข้าใจกันโดยทั่วไปว่าหมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกของสองแต่เพียงอย่างเดียว เพื่อป้องกันความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนจึงจำเป็นต้องอาศัยบริบทในการพิจารณา