ระยะทางแบบยุคลิด

ระยะทางแบบยุคลิด (แม่แบบ:Langx) คือระยะทางปกติระหว่างจุดสองจุดในแนวเส้นตรง ซึ่งอาจสามารถวัดได้ด้วยไม้บรรทัด มีที่มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เหตุที่เรียกว่า แบบยุคลิด เนื่องจากเป็นการวัดระยะทางในปริภูมิแบบยุคลิด (หรือแม้แต่ปริภูมิผลคูณภายใน) คือไม่มีความโค้งและไม่สามารถทำให้โค้งงอ และการใช้สูตรนี้วัดระยะทางทำให้กลายเป็นปริภูมิอิงระยะทาง ค่าประจำ (norm) ที่เกี่ยวข้องก็จะเรียกว่าเป็น ค่าประจำแบบยุคลิด (Euclidean norm) เช่นกัน (งานเขียนสมัยก่อนเรียกการวัดอย่างนี้ว่า ระยะทางแบบพีทาโกรัส)

นิยาม

ระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดสองจุด p และ q คือความยาวของส่วนของเส้นตรง แม่แบบ:บาร์ ถ้า แม่แบบ:Nowrap และ แม่แบบ:Nowrap ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เป็นจุดสองจุดบนปริภูมิยุคลิด n มิติ ระยะทางระหว่างจุด p กับ q คำนวณได้จาก

$\mathrm{d}(𝐩,𝐪)=\sqrt{(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2+\cdots +(p_n-q_n{)}^2}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(p_i-q_i{)}^2}$

ค่าประจำแบบยุคลิด คือระยะทางจากจุดหนึ่งจุด p ไปยังจุดกำเนิด แม่แบบ:Nowrap บนปริภูมิยุคลิด

$\Vert 𝐩\Vert =\sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2}=\sqrt{𝐩\cdot 𝐩}$

ซึ่งสมการตัวหลังเกี่ยวข้องกับผลคูณจุด เป็นขนาดของเวกเตอร์ p จากจุดกำเนิด ระยะทางแบบยุคลิดจึงอาจนิยามได้อีกแบบหนึ่งดังนี้

$\Vert 𝐩-𝐪\Vert =\sqrt{(𝐩-𝐪)\cdot (𝐩-𝐪)}=\sqrt{\Vert 𝐩{\Vert }^2+\Vert 𝐪{\Vert }^2-2𝐩\cdot 𝐪}$

กรณีพิเศษ

ในหนึ่งมิติ ระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นจำนวนจริงคือค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของสองค่านั้น ดังนั้นถ้าให้ p และ q เป็นจุดสองจุด (หรือจำนวนสองจำนวน) บนเส้นจำนวนจริงแล้ว ระยะทางระหว่าง p และ q จึงคำนวณได้จาก

$\mathrm{d}(𝐩,𝐪)=\sqrt{(p-q{)}^2}=|p-q|$

ในสองมิติแบบยุคลิด ถ้า p = (p₁, p₂) และ q = (q₁, q₂) แล้ว ระยะทางระหว่าง p และ q สามารถคำนวณได้ดังนี้ ซึ่งมีสูตรเหมือนกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

$\mathrm{d}(𝐩,𝐪)=\sqrt{(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2}$

จากนิยามแบบที่สองของระยะทางแบบยุคลิด ถ้าหาก p = (r₁, θ₁) และ q = (r₂, θ₂) ในระบบพิกัดเชิงขั้ว จะสามารถคำนวณระยะทางได้จากสูตรนี้

$\Vert 𝐩-𝐪\Vert =\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)}$

ในสามมิติแบบยุคลิด ระยะทางระหว่าง p และ q ก็คือ

$\mathrm{d}(𝐩,𝐪)=\sqrt{(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2+(p_3-q_3{)}^2}$

เมื่อมิติเพิ่มขึ้น พจน์ภายในก็เพิ่มขึ้นตามจำนวนมิติ เช่นนี้เรื่อยไป

ดูเพิ่ม

• ระยะทางแมนฮัตตัน
• ระยะทางเชบีเชฟ