ยูเนียน

ยูเนียน (แม่แบบ:Langx) หรือ ส่วนรวม คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการรวมสมาชิกทั้งหมดของเซตต้นแบบเข้าด้วยกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ แม่แบบ:Unicode (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U)

นิยาม

สมมติให้วงกลมสองวงเป็นเซต A กับ B พื้นที่สีม่วงคือการยูเนียนของเซตทั้งสอง

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การยูเนียนจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A หรือ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

$A\cup B=\{x\in 𝐔|x\in A\vee x\in B\}$

หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน นั่นคือสมาชิกของเซต A จะไม่ปรากฏในเซต B และในทางกลับกันด้วย ผลที่ได้จากการยูเนียนจะเป็นการนำสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซตมาใส่รวมกันทันที ตัวอย่างเช่น

$\begin{array}{cc}A& =\{1,2,3,4\}\\ B& =\{5,6,7,8\}\\ A\cup B& =\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\\ \end{array}$

ในกรณีที่ทั้งสองเซตมีสมาชิกบางส่วนซ้ำกัน การรวมสมาชิกจะไม่ส่งผลต่อภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซต เนื่องจากสมาชิกตัวที่ซ้ำกันก็เสมือนมีอยู่เพียงตัวเดียวในเซต เช่นตัวอย่างนี้

$\begin{array}{cc}A& =\{1,2,3\}\\ B& =\{2,3,4\}\\ A\cup B& =\{1,2,3,4\}\\ \end{array}$

สมบัติ

ยูเนียนมีสมบัติต่างๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้

• ยูเนียนมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการยูเนียนเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
  • $A\cup B=B\cup A$
• ยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
  • $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C$
• สมาชิกเอกลักษณ์ของการยูเนียนคือเซตว่าง
  • $\varnothing \cup A=A\cup \varnothing =A$
• เซตใดๆ ที่ยูเนียนกับเอกภพสัมพัทธ์ จะได้เอกภพสัมพัทธ์
  • $𝐔\cup A=A\cup 𝐔=𝐔$
• ยูเนียนกับอินเตอร์เซกชัน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
  • $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)⟺(B\cap C)\cup A=(B\cup A)\cap (C\cup A)$
  • $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)⟺(B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup (C\cap A)$
• ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
  • $(A\cup B{)}^{\mathrm{C}}=A^{\mathrm{C}}\cap B^{\mathrm{C}}$
  • $(A\cap B{)}^{\mathrm{C}}=A^{\mathrm{C}}\cup B^{\mathrm{C}}$

รูปแบบ

ยูเนียนจำกัด

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถดำเนินการยูเนียนบนเซตหลายเซตได้พร้อมกัน เช่นการยูเนียนของเซต A, B, และ C จะประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของ A, สมาชิกทั้งหมดของ B, และสมาชิกทั้งหมดของ C โดยไม่มีสมาชิกอื่นที่นอกเหนือจากนี้ นั่นหมายความว่า x จะเป็นสมาชิกของเซต แม่แบบ:Nowrap ก็ต่อเมื่อ x เป็นสมาชิกของ A หรือ x เป็นสมาชิกของ B หรือ x เป็นสมาชิกของ C

เนื่องด้วยยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งไม่สำคัญว่าจะดำเนินการยูเนียนในลำดับใดก่อน ยูเนียนจำกัด จึงหมายถึงการดำเนินการยูเนียนเป็นจำนวนจำกัดของเซตกลุ่มหนึ่ง มิได้หมายความว่าเป็นการยูเนียนของเซตจำกัด

ยูเนียนไม่จำกัด

อีกแนวคิดหนึ่งคือการยูเนียนเกี่ยวข้องกับกลุ่มของเซต ถ้าให้ M คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) x จะเป็นสมาชิกของการยูเนียนของ M ก็ต่อเมื่อ มีเซต A ซึ่งเป็นสมาชิกของ M อย่างน้อยหนึ่งตัว และ x ก็เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย $\bigcup 𝐌$ หรือ $\bigcup _{A\in 𝐌}A$ ดังนี้

$x\in \bigcup 𝐌⟺\mathrm{\exists }A\in 𝐌,x\in A$

การยูเนียนของ M ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า M จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ $\bigcup _{i\in I}{A}_i$ หมายถึงการยูเนียนของกลุ่มเซต A_i ทั้งหมด โดยที่ i เป็นสมาชิกของเซตดัชนี I ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ ยูเนียนไม่จำกัด (หรือยูเนียนอนันต์) เซตดัชนี I จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้

$\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=A_1\cup A_2\cup A_3\cup \dots$

อินเตอร์เซกชันสามารถแจกแจงได้บนยูเนียนไม่จำกัด

$A\cap \bigcup _{i\in I}{B}_i=\bigcup _{i\in I}(A\cap B_i)$

และยูเนียนไม่จำกัดสามารถผสานเข้ากับอินเตอร์เซกชันไม่จำกัด จนเกิดเป็นกฎนี้ขึ้นมา

$\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}{A}_{i,j}\right)\subseteq \bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}{A}_{i,j}\right)$

อ้างอิง

• วัชรี กาญจน์กีรติ, พีชคณิตนามธรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

ดูเพิ่ม

• ผลต่างสมมาตร
• อินเตอร์เซกชัน
• ส่วนเติมเต็ม
• การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

แหล่งข้อมูลอื่น

• Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.