พีชคณิตซิกมา

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตซิกมา หรือ ซิกมาแอลจีบรา หรือ ซิกมาฟิลด์ (สัญกรณ์ที่นิยมใช้: σ-algebra) ที่นิยามบนเซต X คือ สับเซตของพาวเวอร์เซตของ X ที่มีเซตว่างเป็นสมาชิก และมีคุณสมบัติปิดภายใต้ คอมพลีเมนต์ และการยูเนียนแบบนับได้ พีชคณิตซิกมาเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่ใช้มากในคณิตวิเคราะห์และทฤษฎีความน่าจะเป็น

นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด $\mathrm{\Sigma }\subseteq 2^X$, เราจะกล่าวว่า $\mathrm{\Sigma }$ เป็นพีชคณิตซิกมาบน $X$ ก็ต่อเมื่อ $\mathrm{\Sigma }$ มีคุณสมบัติต่อไปนี้

1. $\varnothing \in \mathrm{\Sigma }$
2. ถ้า $E\in \mathrm{\Sigma }$ แล้ว, $E^c\in \mathrm{\Sigma }$ ด้วย
3. ถ้า $E_1,E_2,E_3,...\in \mathrm{\Sigma }$ แล้ว $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\in \mathrm{\Sigma }$ ด้วย

หมายเหตุ

1. การจะนิยามพีชคณิตซิกมา ต้องกำหนดเสมอว่านิยามบนเซตใด (เช่น $X$ ในตัวอย่างข้างบน) มิฉะนั้นจะไม่มีความหมายในทางคณิตศาสตร์
2. จากนิยามในข้อ 2 และ 3 เราจะได้ว่าพีชคณิตซิกมามีคุณสมบัติปิดภายใต้อินเตอร์เซกชันแบบนับได้ด้วย เนื่องจาก $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n=(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n^c{)}^c$
3. ในทฤษฎีเมเชอร์นั้น สมาชิกของ $\mathrm{\Sigma }$ ใด ๆ จะถูกเรียกว่า เซตหาเมเชอร์ได้ และยังเรียกสัญกรณ์ $(X,\mathrm{\Sigma })$ ว่า ปริภูมิหาเมเชอร์ได้ (โดย ฟังก์ชันเมเชอร์ จะต้องนิยามบนปริภูมินี้ เพื่อนิยามเมเชอร์ในรูปแบบต่าง ๆ ในปริภูมิที่สามารถวัดได้นี้: ดู ทฤษฎีเมเชอร์)
4. ในทางทฤษฎีความน่าจะเป็น มักจะนิยามปริภูมิที่สามารถหาเมเชอร์ได้ ด้วย $(\mathrm{\Omega },𝔉)$ เนื่องจาก $X$ มักจะใช้แทนตัวแปรสุ่ม และ $\mathrm{\Sigma }$ มักใช้แทนการหาอนุกรม นอกจากนี้ยังมักเรียกพีชคณิตซิกมา ว่า ซิกมาฟิลด์ มี่ที่มาจาก ฟิลด์ของเซต และสัญกรณ์ σ (ซิกมา) ที่มักใช้แทนความหมายของการยูเนียนแบบนับได้

ตัวอย่าง

1. กำหนด $X$ เป็นเซตใด ๆ เราจะได้ว่า $\{X,\varnothing \}$เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดบน $X$, และ $2^X$ เป็นพีชคณิตซิกมาที่ใหญ่ที่สุดบน $X$
2. กำหนด $\{{\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }\}$ ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาบน $X$ เราจะได้ว่า $\bigcap _{\alpha }{\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }$ เป็นพีชคณิตซิกมาบน $X$ ด้วย
3. (แสดงการประยุกต์ใช้ตัวอย่าง 2.) กำหนดให้ $\{{\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }\}$ ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาทั้งหมดที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก และนิยามบน $X$ ซึ่งเป็นปริภูมิทอพอโลยีใด ๆ เราจะเรียก $\bigcap _{\alpha }{\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }$ ว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล (Borel σ-algebra) ซึ่งเป็นหนึ่งในพีชคณิตซิกมาที่สำคัญและพบเจอบ่อยที่สุด สังเกตว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล นี้เป็นพีชคณิตซิกมาที่ เล็กที่สุด ที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก (เนื่องจากเกิดจากอินเตอร์เซกชันของพีชคณิตซิกมาทุกรูปแบบที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก) เรามักเรียก พีชคณิตซิกมาของโบเรล ว่า พีชคณิตซิกมาที่สร้างจากเซตเปิด
4. ในปริภูมิยุคลิด ${ℝ}^n$ อองรี เลอเบ็กได้กำหนดพีชคณิตซิกมาที่สำคัญมากเพื่อใช้ในเมเชอร์ ความยาว พื้นที่ ปริมาตร ฯลฯ ในทฤษฎีปริพันธ์ของเลอเบ็ก นั่นคือ พีชคณิตซิกมาของเลอเบ็ก โดยมี พีชคณิตซิกมาของโบเรล เป็นสับเซต สมาชิกในพีชคณิตซิกมาชนิดนี้เรียกว่า เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก โดยในทฤษฎีปริพันธ์บนปริภูมิยุคลิด พีชคณิตซิกมานี้สำคัญมาก ถึงขนาดที่ว่านักคณิตศาสตร์หลายท่านใช้คำว่า เซตที่สามารถวัดได้ แทน เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก เลยทีเดียว

ดูเพิ่ม

• ฟิลด์ของเซต
• ทฤษฎีเมเชอร์
• สัจพจน์ความน่าจะเป็น