โอเมกา (ค่าคงตัว)

แม่แบบ:ความหมายอื่น2 โอเมกา (Omega: Ω; ขึ้นต้นตัวใหญ่) เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่นิยามขึ้นจาก

$\mathrm{\Omega }\exp (\mathrm{\Omega })=1$

ค่านี้ได้มาจาก W (1) ซึ่ง W คือฟังก์ชันดับเบิลยูของแลมเบิร์ต (Lambert W function) ซึ่งชื่อของค่าคงตัวนี้มาจากอีกชื่อหนึ่งของฟังก์ชันคือ ฟังก์ชันโอเมกา

Ω มีค่าประมาณ 0.5671432904097838729999686622 แม่แบบ:OEIS มีสมบัติว่า

$e^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }$

หรือเทียบเท่ากับ

$\ln {\mathrm{\Omega }}^{-1}=\mathrm{\Omega }$

เราสามารถคำนวณ Ω ด้วยวิธีการวนซ้ำ โดยสมมติ Ω₀ ขึ้นมาค่าหนึ่ง แล้วใช้ลำดับนี้วนซ้ำ

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=e^{-{\mathrm{\Omega }}_n}$

ลำดับนี้จะลู่เข้าค่า Ω เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์

ความเป็นอตรรกยะและอดิศัย

Ω สามารถพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนอตรรกยะ จากข้อเท็จจริงว่า e เป็นจำนวนอดิศัย โดยการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง

ถ้าหาก Ω เป็นจำนวนตรรกยะ จะต้องมีจำนวนเต็ม p และ q ที่ทำให้สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนได้

$\frac{p}{q}=\mathrm{\Omega }$

ซึ่งทำให้

$1=\frac{p{e}^{\left(\frac{p}{q}\right)}}{q}$

$e={\left(\frac{q}{p}\right)}^{\left(\frac{q}{p}\right)}=\sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}$

ดังนั้น e ควรจะเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตดีกรี p แต่ในเมื่อ e เป็นจำนวนอดิศัย (ไม่เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต) จึงสรุปได้ว่า Ω เป็นจำนวนอตรรกยะ (ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ)

Ω ก็เป็นจำนวนอดิศัยตามผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทลินเดอมันน์-ไวเออร์ชตรัสส์ เพราะถ้าหาก Ω เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต แต่ exp (Ω) เป็นจำนวนอดิศัยเช่นเดียวกับ exp⁻¹ (Ω) ซึ่งขัดกับสมมติฐานในตอนต้นว่ามันเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต

ดูเพิ่ม

• ฟังก์ชันดับเบิลยูของแลมเบิร์ต

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:MathWorld