อินเตอร์เซกชัน

อินเตอร์เซกชัน (แม่แบบ:Langx) หรือ ส่วนร่วม คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการหาสมาชิกทั้งหมดที่เหมือนกันในเซตต้นแบบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\cap$ (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U กลับหัว)

นิยาม

สมมติให้วงกลมสองวงเป็นเซต A กับ B พื้นที่สีม่วงคือการอินเตอร์เซกชันของเซตทั้งสอง

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การอินเตอร์เซกชันจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A และ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

$A\cap B=\{x\in 𝐔|x\in A\wedge x\in B\}$

ตัวอย่างเช่น กรณีที่มีสมาชิกบางส่วนเหมือนกัน ดังนั้นผลของการอินเตอร์เซกชันจึงเป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันเหล่านั้น

$\begin{array}{cc}A& =\{1,2,3\}\\ B& =\{2,3,4\}\\ A\cap B& =\{2,3\}\\ \end{array}$

หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน คือไม่มีสมาชิกตัวใดเหมือนกันเลย ผลของการอินเตอร์เซกชันจะได้เซตว่าง เราจะกล่าวว่าทั้งสองเซตนั้น ไม่มีส่วนร่วม (disjoint) ต่อกัน

$\begin{array}{cc}A& =\{1,2,3,4\}\\ B& =\{5,6,7,8\}\\ A\cap B& =\varnothing \\ \end{array}$

สมบัติ

อินเตอร์เซกชันมีสมบัติต่าง ๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้

• อินเตอร์เซกชันมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการอินเตอร์เซกชันเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
  • $A\cap B=B\cap A$
• อินเตอร์เซกชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
  • $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C$
• สมาชิกเอกลักษณ์ของการอินเตอร์เซกชัน คือ เอกภพสัมพัทธ์ (หรือเซตของเซตทั้งหมด)
  • $𝐔\cap A=A\cap 𝐔=A$
• เซตใด ๆ ที่อินเตอร์เซกชันกับเซตว่าง จะได้เซตว่าง
  • $\varnothing \cap A=A\cap \varnothing =\varnothing$
• อินเตอร์เซกชันกับยูเนียน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
  • $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)⟺(B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup (C\cap A)$
  • $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)⟺(B\cap C)\cup A=(B\cup A)\cap (C\cup A)$
• อินเตอร์เซกชัน ยูเนียน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
  • $(A\cap B{)}^{\mathrm{C}}=A^{\mathrm{C}}\cup B^{\mathrm{C}}$
  • $(A\cup B{)}^{\mathrm{C}}=A^{\mathrm{C}}\cap B^{\mathrm{C}}$

รูปแบบ

อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดทั่วไป

หากเราพิจารณาแนวคิดว่าอินเตอร์เซกชันกระทำบนกลุ่มของเซต ถ้าให้ M คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) และไม่เป็นเซตว่าง x จะเป็นสมาชิกของการอินเตอร์เซกชันของ M ก็ต่อเมื่อ ทุก ๆ เซต A ซึ่งเป็นสมาชิกของ M และ x ก็เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย $\bigcap 𝐌$ หรือ $\bigcap _{A\in 𝐌}A$ ดังนี้

$x\in \bigcap 𝐌⟺\mathrm{\forall }A\in 𝐌,x\in A$

การอินเตอร์เซกชันของ M ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า M จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ $\bigcap _{i\in I}{A}_i$ หมายถึงการอินเตอร์เซกชันของกลุ่มเซต A_i ทั้งหมด โดยที่ i เป็นสมาชิกของเซตดัชนี I ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ อินเตอร์เซกชันไม่จำกัด (หรืออินเตอร์เซกชันอนันต์) เซตดัชนี I จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้

$\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=A_1\cap A_2\cap A_3\cap \dots$

อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดซึ่งกลุ่มของเซตนั้นว่าง

ในหัวข้อก่อนหน้านี้ได้ยกเว้นไว้ในกรณีที่ M เป็นเซตว่าง ซึ่งจะได้อธิบายเหตุผลต่อไป ถ้าให้อินเตอร์เซกชันของกลุ่มของเซต M ได้ถูกนิยามไว้แล้วดังนี้

$\bigcap 𝐌=\{x:x\in A\text{ for all }A\in 𝐌\}$

ในกรณีที่ M เป็นเซตว่าง นั่นหมายความว่าไม่มีเซต A ใด ๆ อยู่ใน M เลย จึงทำให้เกิดคำถามขึ้นว่า "จะมี x ค่าไหนที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุบ้าง" คำตอบจึงดูเหมือนว่าเป็น "ทุกค่าของ x ใด ๆ ก็ได้" เพราะว่าเมื่อ M เป็นเซตว่าง เงื่อนไขข้างต้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของความจริงว่างเปล่า (vacuous truth) ซึ่งจะเป็นจริงเสมอ ดังนั้นการอินเตอร์เซกชันเช่นนี้จึงควรมีคำตอบเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งไม่มีในทฤษฎีเซตมาตรฐาน (ZFC)

การแก้ปัญหานี้คือการยอมรับว่าเซตทุกเซตเป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วปรับแต่งการนิยามเพื่อให้สามารถใช้กับ M ที่เป็นเซตว่าง

$\bigcap 𝐌=\{x\in 𝐔:x\in A\text{ for all }A\in 𝐌\}$

แล้วคำตอบของการอินเตอร์เซกชันจึงจะเป็นเอกภพสัมพัทธ์ U

อ้างอิง

• วัชรี กาญจน์กีรติ, พีชคณิตนามธรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

ดูเพิ่ม

• ผลต่างสมมาตร
• ยูเนียน
• ส่วนเติมเต็ม
• การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ