สมบัติการเปลี่ยนหมู่

ในคณิตศาสตร์ สมบัติการเปลี่ยนหมู่ (แม่แบบ:Langx) เป็นสมบัติหนึ่งที่สามารถมีได้ของการดำเนินการทวิภาค ซึ่งนิพจน์ที่มีตัวดำเนินการเดียวกันตั้งแต่สองตัวขึ้นไป การดำเนินการสามารถกระทำได้โดยไม่สำคัญว่าลำดับของตัวถูกดำเนินการจะเป็นอย่างไร นั่นหมายความว่า การใส่วงเล็บเพื่อบังคับลำดับการคำนวณในนิพจน์ จะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย ตัวอย่างเช่น

(5 + 2) + 1 = 5 + (2 + 1) = 8

นิพจน์ข้างซ้ายจะบวก 5 กับ 2 ก่อนแล้วค่อยบวก 1 ส่วนนิพจน์ข้างขวาจะบวก 2 กับ 1 ก่อนแล้วค่อยบวก 5 ไม่ว่าลำดับของวงเล็บจะเป็นอย่างไร ผลบวกของนิพจน์ก็เท่ากับ 8 ไม่เปลี่ยนแปลง และเนื่องจากสมบัตินี้เป็นจริงในการบวกของจำนวนจริงใด ๆ เรากล่าวว่า การบวกของจำนวนจริงเป็นการดำเนินการที่ เปลี่ยนหมู่ได้ (associative)

ไม่ควรสับสนระหว่างสมบัติการเปลี่ยนหมู่กับสมบัติการสลับที่ สมบัติการสลับที่เป็นการเปลี่ยนลำดับของตัวถูกดำเนินการในนิพจน์ ในขณะที่สมบัติการเปลี่ยนหมู่ไม่ได้สลับตัวถูกดำเนินการเหล่านั้น เพียงแค่เปลี่ยนลำดับการคำนวณ เช่นตัวอย่างต่อไปนี้

(5 + 2) + 1 = (2 + 5) + 1

ไม่ใช่ตัวอย่างของสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เพราะว่า 2 กับ 5 สลับที่กัน

การดำเนินการเปลี่ยนหมู่ได้มีมากมายในคณิตศาสตร์ และด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าโครงสร้างเชิงพีชคณิตส่วนใหญ่จำเป็นต้องมีการดำเนินการทวิภาคที่เปลี่ยนหมู่ได้เป็นส่วนประกอบ อย่างไรก็ตามการดำเนินการหลายอย่างที่สำคัญก็ เปลี่ยนหมู่ไม่ได้ หรือ ไม่เปลี่ยนหมู่ (non-associative) เช่นผลคูณไขว้ของเวกเตอร์วิคเตอร์ โรเนลเเมสซี

นิยาม

กำหนดการดำเนินการทวิภาค แม่แบบ:Unicode บนเซต S เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น เปลี่ยนหมู่ได้ ถ้าหาก

$\mathrm{\forall }x,y,z\in S:(x*y)*z=x*(y*z)$

และเนื่องจากลำดับของการดำเนินการไม่มีความสำคัญ เราจึงอาจไม่จำเป็นต้องใส่วงเล็บ ดังนี้

$x*y*z$

อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญที่จะต้องจดจำคือ การเปลี่ยนลำดับของการดำเนินการจะต้องไม่ทำให้ตัวถูกดำเนินการเปลี่ยนตำแหน่งไปภายในนิพจน์

กำหนดฟังก์ชันทวิภาค f : A×A → B เราจะกล่าวว่าฟังก์ชันนั้น เปลี่ยนหมู่ได้ ถ้าหาก

$\mathrm{\forall }x,y,z\in A:f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$

ตัวอย่าง

ตัวอย่างบางส่วนของการดำเนินการเปลี่ยนหมู่มีดังนี้

• ในเลขคณิต การบวกและการคูณสามารถเปลี่ยนหมู่ได้

$\begin{array}{c}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\\ (xy)z=x(yz)=xyz\end{array}\}\mathrm{\forall }x,y,z\in ℝ$

• การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อนและควอเทอร์เนียนก็สามารถเปลี่ยนหมู่ได้ สำหรับการบวกของออกโทเนียนนั้นเปลี่ยนหมู่ได้ แต่การคูณของออกโทเนียนไม่เปลี่ยนหมู่
• ฟังก์ชันตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อยก็เปลี่ยนหมู่ได้

$\begin{array}{c}\gcd (\gcd (x,y),z)=\gcd (x,\gcd (y,z))=\gcd (x,y,z)\\ \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(x,y),z)=\mathrm{lcm}(x,\mathrm{lcm}(y,z))=\mathrm{lcm}(x,y,z)\end{array}\}\mathrm{\forall }x,y,z\in \mathbb{Z}$

• เนื่องจากการแปลงเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่สามารถนำเสนอได้ด้วยการคูณเมทริกซ์ ซึ่งเป็นการนำเสนอของการประกอบฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ทันทีว่าการคูณเมทริกซ์สามารถเปลี่ยนหมู่ได้
• อินเตอร์เซกชันและยูเนียนของเซต สามารถเปลี่ยนหมู่ได้ดังนี้

$\begin{array}{c}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\\ (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\end{array}\}\text{for all sets }A,B,C$

• ถ้า M เป็นเซตเซตหนึ่ง และ S แทนเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก M ไปยัง M แล้วการดำเนินการของฟังก์ชันประกอบบน S เปลี่ยนหมู่ได้

$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\mathrm{\forall }f,g,h\in S$

• ในกรณีทั่วไป กำหนดให้เซต M, N, P, Q และการจับคู่ h : M → N, g: N → P, f: P → Q, แล้ว

$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h$

ดังนั้น การจับคู่จึงเป็นการดำเนินการเปลี่ยนหมู่ได้เสมอ

การดำเนินการไม่เปลี่ยนหมู่

กำหนดการดำเนินการทวิภาค แม่แบบ:Unicode บนเซต S เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น เปลี่ยนหมู่ไม่ได้ ถ้าหาก

$\mathrm{\exists }x,y,z\in S:(x*y)*z\ne x*(y*z)$

การดำเนินการเช่นนั้น ลำดับของการคำนวณจึงมีความสำคัญ เช่นการลบ การหาร และการยกกำลัง

$(5-3)-2\ne 5-(3-2)$

$(4÷2)÷2\ne 4÷(2÷2)$

$2^{(1^2)}\ne (2^1{)}^2$

เครื่องหมายวงเล็บจึงถูกใช้เพื่อแสดงลำดับของการดำเนินการ เมื่อมีการดำเนินการเหล่านี้มากกว่าหนึ่งครั้งในนิพจน์ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ได้ยอมรับลำดับความสำคัญของการดำเนินการที่ไม่เปลี่ยนหมู่หลายชนิด เป็นหลักการในการเขียนเพื่อหลีกเลี่ยงการใช้วงเล็บ แบ่งออกได้เป็นสองประเภท ได้แก่การดำเนินการที่จัดกลุ่มทางซ้าย

$\begin{array}{c}x*y*z=(x*y)*z\\ w*x*y*z=((w*x)*y)*z\\ \text{etc.}\end{array}\}\mathrm{\forall }w,x,y,z\in S$

และการดำเนินการที่จัดกลุ่มทางขวา

$\begin{array}{c}x*y*z=x*(y*z)\\ w*x*y*z=w*(x*(y*z))\\ \text{etc.}\end{array}\}\mathrm{\forall }w,x,y,z\in S$

ดูเพิ่ม

• สมบัติการสลับที่
• สมบัติการแจกแจง