เมเชอร์ (คณิตศาสตร์)

เมเชอร์ เป็นการระบุตัวเลขแก่เซต ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นการระบุขนาดของเซต

ในคณิตศาสตร์ เมเชอร์ (แม่แบบ:Langx) บนเซตใด ๆ เป็นวิธีการให้ตัวเลขแก่ซับเซตบางตัวของเซตนั้น ซึ่งนิยมตีความว่าตัวเลขนั้นแทนขนาดของเซต ในมุมมองดังกล่าว เมเชอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเชิงเรขาคณิตอันได้แก่ ความยาว พื้นที่ และปริมาตร ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก

จุดเริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์เพื่อนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์และขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน กามีย์ ฌอร์ด็อง เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก

นิยามพื้นฐานเกี่ยวกับเมเชอร์

สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ของเมเชอร์: เมเชอร์ของยูเนียนนับได้ จะเท่ากับผลรวมของเมเชอร์ของสับเซตในยูเนียนนั้น

คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้

1. ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
2. สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
3. เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง

จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น นำไปสู่นิยามทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

นิยามอย่างเป็นทางการ

ให้ $X$ เป็นเซต และ $\mathrm{\Sigma }$ เป็นซิกมาแอลจีบราบนเซต $X$ นั้น จะเรียกฟังก์ชัน $\mu$ ที่ส่งค่าจาก $\mathrm{\Sigma }$ ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงขยาย $[0,\mathrm{\infty }]$ ว่าเป็น เมเชอร์ (measure) ก็ต่อเมื่อ μ มีสมบัติต่อไปนี้

1. ความไม่เป็นลบ: ทุกค่า E ใน Σ จะต้องได้ว่า $\mu (E)\ge 0$
2. เซตว่างมีเมเชอร์เท่ากับศูนย์: $\mu (\varnothing )=0$
3. $\mu$ มีสภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity): ถ้ากำหนดให้ ${\left\{E_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆ ใน $\mathrm{\Sigma }$ แล้ว $$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_i)$$

เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า ปริภูมิเมเชอร์ (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน $\mathrm{\Sigma }$ จะถูกเรียกว่าเซตที่หาเมเชอร์ได้ (measurable sets) ในบางครั้งนิยมละการเขียนเมเชอร์ ระบุเพียงแค่ $(X,\mathrm{\Sigma })$ เท่านั้น

ปริภูมิความน่าจะเป็น

ปริภูมิความน่าจะเป็น (Probability space) เป็นปริภูมิเมเชอร์ที่เมเชอร์ของปริภูมิทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ $\mu (X)=1$ ในกรณีนี้จะเรียกเมเชอร์นั้นว่าเป็นเมเชอร์ความน่าจะเป็น (probability measure)

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ $(\mathrm{\Omega },𝔉,P)$ แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก $X$ มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ $\mu$ แทนค่าเฉลี่ยในทางสถิติและความน่าจะเป็น

ฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้

ให้ $(X,{\mathrm{\Sigma }}_X)$ และ $(Y,{\mathrm{\Sigma }}_Y)$ เป็นปริภูมิเมเชอร์ แล้วจะเรียกฟังก์ชัน $f:X\to Y$ ว่าเป็นฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้ (measurable function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพของเซตหาเมเชอร์ได้ใน $Y$ เป็นเซตหาเมเชอร์ได้ใน $X$ ด้วย หรือก็คือ $f^{-1}(A)\in {\mathrm{\Sigma }}_X$ สำหรับทุกเซต $A\in {\mathrm{\Sigma }}_Y$

สมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม

ให้ $\mu$ เป็นเมเชอร์

ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว

$\mu$ มีสมบัติเป็นฟังก์ชันทางเดียว: กำหนดให้ $E_1$ และ $E_2$ เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ และ $E_1\subseteq E_2$ แล้วจะได้ว่า $\mu (E_1)\le \mu (E_2)$

เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ $E_1,E_2,E_3,...$ เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน $\mathrm{\Sigma }$ จะได้ว่า

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_i)$

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ $E_1,E_2,E_3,...$ เป็นเซตใน Σ และ $E_n\subseteq E_{n+1},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, แล้วจะได้ว่า ${\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n$ อยู่ใน $\mathrm{\Sigma }$ ด้วย และ

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (E_i)$

เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ $E_1,E_2,E_3,...$ เป็นเซตใน $\mathrm{\Sigma }$ และ $E_{n+1}\subseteq E_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, แล้วจะได้ว่า ${\bigcap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n$ อยู่ใน $\mathrm{\Sigma }$ ด้วย และยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก $E_n$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด ($\mu (E_n)<\mathrm{\infty }$) เราจะได้ว่า

$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (E_i)$

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก $E_n$ ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ $E_n=[n,\mathrm{\infty })\subseteq ℝ$ สำหรับแต่ละ $n\in \mathbb{N}$ แล้วเราจะได้ว่าทุก ๆ $E_n$ มีเมเชอร์อนันต์ (ภายใต้เลอเบ็กเมเชอร์) แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์

ตัวอย่างของเมเชอร์

• เมเชอร์การนับ นิยามให้ $\mu (S)$ เท่ากับจำนวนสมาชิกใน $S$
• เลอเบ็กเมเชอร์ หรือ เมเชอร์ของเลอเบ็ก เป็นหนึ่งในเมเชอร์ที่สำคัญที่สุด ได้ขยายนิยามความยาวที่เราคุ้นเคย เช่น ความยาวของเซต [0,5] คือ 5 ไปยังเซตอื่น ๆ เช่น ความยาวของเซตตรรกยะในช่วง [0,1] สามารถวัดได้ ด้วยเลอเบ็กเมเชอร์.
• เมเชอร์ความน่าจะเป็น คือ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ของความน่าจะเป็น กล่าวง่าย ๆ เมเชอร์ความน่าจะเป็น ก็คือเมเชอร์หรือเมเชอร์ธรรมดาที่ได้นิยามไว้ในหัวข้อข้างต้น แต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหนึ่งข้อ คือ เมเชอร์ของเซต X (เซตที่ใหญ่ที่สุด) ต้องมีค่าเท่ากับหนึ่ง
• โบเรลเมเชอร์
• จอร์แดนเมเชอร์

สมบัติเพิ่มเติม

เมเชอร์ซิกมาจำกัด

ปริภูมิเมเชอร์ $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ จะเป็นปริภูมิเมเชอร์จำกัด (finite measure) ก็ต่อเมื่อ $\mu (X)$ เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ปริภูมิเมเชอร์จำกัด ถ้าไม่ใช่ปริภูมิเมเชอร์ศูนย์ จะเสมือนกับเป็นปริภูมิความน่าจะเป็น ทั้งนี้เพราะว่า $\mu$ เป็นพหุคูณของเมเชอร์ความน่าจะเป็น $\frac{1}{\mu (X)}\mu$

นักคณิตศาสตร์สนใจเงื่อนไขความจำกัดในอีกรูปแบบหนึ่ง ปริภูมิเมเชอร์ $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ จะเป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure space) ก็ต่อเมื่อสามารถแบ่ง $X$ ออกเป็นส่วนย่อยอนันต์นับได้ส่วนที่ไม่มีส่วนร่วมกัน และแต่ละส่วนมีเมเชอร์เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ในกรณีจะเรียก $\mu$ ว่าเป็น เมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure) ตัวอย่างปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด เช่น เซตจำนวนจริง $ℝ$ ภายใต้เมเชอร์เลอเบ็กมาตรฐาน เนื่องจากเราสามารถแบ่ง $ℝ$ ออกเป็นช่วงย่อย $[k,k+1)$ ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม $k$ ได้ และเมเชอร์ของแต่ละส่วนมีค่าเท่ากับ 1

ในทำนองกลับกัน เซต $ℝ$ ภายใต้เมเชอร์การนับไม่เป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด ทั้งนี้เพราะว่าเซตที่เมเชอร์น้อยกว่าอนันต์มีเพียงเซตจำกัดเท่านั้น และต้องใช้เซตจำกัดจำนวนอนันต์นับไม่ได้ตัวเพื่อคลุม $ℝ$

ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัดมีสมบัติที่เป็นประโยชน์ในการศึกษา เทียบได้กับสมบัติลินเดอเลิฟของปริภูมิเชิงทอพอโลยี

เมเชอร์บริบูรณ์

แม่แบบ:หลัก ในปริภูมิเมเชอร์ $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ เซต $N\subseteq X$ จะเป็นเซตนัลล์ (null set) ก็เมื่อ $\mu (N)=0$ สับเซตของเซตนัลล์ไม่จำเป็นต้องหาเมเชอร์ได้ แต่ถ้าสับเซต $M\subseteq N$ ของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้ แล้ว $\mu (M)=0$ โดยอัตโนมัติ จะเรียก $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ ว่าเป็นเมเชอร์บริบูรณ์ (complete measure) ก็ต่อเมื่อ ทุกสับเซตของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้

หากมีปริภูมิเมเชอร์ $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ ใด ๆ (อาจเป็นเมเชอร์บริบูรณ์อยู่แล้วได้) จะสามารถขยายเมเชอร์ดังกล่าวให้เป็นเมเชอร์บริบูรณ์ได้เสมอ

เซตหาเมเชอร์ไม่ได้

แม่แบบ:หลัก หากยอมรับในสัจพจน์ของการเลือก จะสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสับเซตของ ${ℝ}^n$ ที่ไม่สามารถหาเมเชอร์ได้ ตัวอย่างของเซตดังกล่าวเช่น เซตวีตาลี และเซตที่หาเมเชอร์ไม่ได้ที่ปรากฏในปฏิทรรศน์ของเฮาส์ดอร์ฟฟ์และปฏิทรรศน์ของบานาค-ทาร์สกี

ดูเพิ่ม

• เมเชอร์ภายนอก
• ปริพันธ์ของเลอเบ็ก
• เมเชอร์ของเลอเบ็ก
• เมเชอร์ผลคูณ

อ้างอิง

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
• Kopp and Capinski, Measure, Integration and Probability, 2nd Edition, Springer, 2000.
• D. H. Fremlin, Measure Theory, Torres Fremlin, 2000. Available online at http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm แม่แบบ:Webarchive
• F. Jones, Lebesgue Integration in Euclidean Spaces, Jones and Barlett Publisher, 1999.