เซตวีตาลี

แม่แบบ:Short description ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะทฤษฎีเมเชอร์ เซตวีตาลี (แม่แบบ:Langx) เป็นตัวอย่างของเซตของจำนวนจริงที่ไม่สามารถหาเมเชอร์แบบเลอเบกได้ เซตดังกล่าวถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกโดย จูเซปเป วีตาลี ในปี ค.ศ. 1905 ทฤษฎีบทวีตาลีเป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่ามีเซตดังกล่าวอยู่จริง เซตวีตาลีมีมากมายเป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้ และการมีอยู่ของเซตดังกล่าวต้องอาศัยสัจพจน์ของการเลือก ในปี ค.ศ. 1970 โรเบิร์ต โซโลเวย์ได้สร้างโมเดลของทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลที่ไม่มีสัจพจน์การเลือก และทุกสับเซตของเซตของจำนวนจริงหาเมเชอร์แบบเลอเบกได้ โดยอาศัยการมีอยู่ของ inaccessible cardinal เรียกว่า โมเดลของโซโลเวย์

การสร้างและสมบัติการหาเมเชอร์ไม่ได้

การเรียงลำดับของจำนวนตรรกยะ

เซตวิตาลีคือเซตย่อยของช่วงปิด $[0,1]$ ซึ่งมีสมบัติว่า สำหรับจำนวนจริง $r$ ใด ๆ จะมีจำนวนจริง $v\in V$ เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ $v-r$ เป็นจำนวนตรรกยะ เซตของจำนวนตรรกยะ $\mathbb{Q}$ เป็นสับกรุปปรกติของเซตของจำนวนจริง $ℝ$ ภายใต้การบวก ดังนั้นจึงหากรุปผลหาร $ℝ/\mathbb{Q}$ ได้ ซึ่งกรุปผลหารดังกล่าวมีสมาชิกเป็นโคเซตของจำนวนตรรกยะในรูป $\mathbb{Q}+r$ สำหรับบาง $r\in ℝ$

สมาชิกในกรุป $ℝ/\mathbb{Q}$ เป็นเซตที่แบ่งกั้น $ℝ$ และแต่ละสมาชิกหนาแน่นใน $ℝ$ ดังนั้นอินเตอร์เซคชั่นของสมาชิกใน $ℝ/\mathbb{Q}$ และเซต $[0,1]$ไม่เป็นเซตว่าง โดนอาศัยสัจพจน์ของการเลือก เราสามารถหาสมาชิกมาหนึ่งตัวจากแต่ละอินเตอร์เซคชั่นนั้นมารวมกันได้เป็นเซตเซตหนึ่ง เซตใด ๆ ที่สร้างมาและมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า เซตวีตาลี

เซตวีตาลีทุกเซตมีขนาดอนันต์นับไม่ได้ และ $v-u$ เป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับทุก $u,v\in V$ที่ซึ่ง $u\ne v$

การหาเมเชอร์ไม่ได้

เซตวีตาลี $V$ ใด ๆ หาเมเชอร์ไม่ได้ แม่แบบ:พิสูจน์คณิตศาสตร์

ดูเพิ่ม

• เซตหาเมเชอร์ไม่ได้
• ปฏิทรรศน์บานาค-ทาร์สกี

บรรณานุกรม

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite journal