เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)

แม่แบบ:ความหมายอื่น2 ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ (แม่แบบ:Langx) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้

เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์

มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในหลากหลายสาขาของวิทยาศาสตร์ ในสาขาฟิสิกส์มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในทุก ๆ แขนงของฟิสิกส์ที่มีอยู่ เช่น กลศาสตร์, ทัศนศาสตร์, แม่เหล็กไฟฟ้า, กลศาสตร์ควอนตัม หรือ ไฟฟ้ากระแสควอนตัม มีการใช้ทฤษฎีเมทริกซ์ในการศึกษาปรากฎการณ์ทางฟิสิกส์ เช่น การเคลื่อนที่ของวัตถุ ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการทำคอมพิวเตอร์กราฟฟิก โดยใช้สร้างโมเดล 3 มิติ เพื่อแสดงผลบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ที่เป็น 2 มิติ

ในทางสถิติศาสตร์ มีการใช้เมทริกซ์เฟ้นสุ่มในการอธิบายถึงชุด (set) ของความน่าจะเป็น อาทิ มีการประยุกต์ใช้ร่วมกับอัลกอริทึมแบบ PageRank ในการเรียงหน้าผลการค้นหาในเว็บไซต์เสิร์จเอนจินอย่าง Google ในการศึกษาแคลคูลัส มีการใช้แคลคูลัสเชิงเมทริกซ์ (Matrix calculus) ในการวิเคราะห์อนุพันธ์ (Derivative) และฟังก์ชันเลขชี้กำลังในมิติที่อยู่สูงขึ้นไป (Higher dimension) นอกจากนั้นยังมีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการอธิบายระบบความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจ

นิยาม

เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น

$\left[\begin{array}{ccc}1& 56& 3\\ 0& 15& 4\\ 5& -31& -4\end{array}\right]$

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

เราเรียกเมทริกซ์ที่มี $m$ แถว และ $n$ หลัก เรียกว่า เมทริกซ์ $m\times n$ เราเรียกจำนวน $m$ และ $n$ ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์

เราใช้สัญลักษณ์ $A=(a_{i,j}{)}_{m\times n}$ เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ $A$ ซึ่งมี $m$ แถว และ $n$ หลัก โดยที่ $a_{i,j}$ (หรือ $a_{ij}$) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว $i$ และ หลัก $j$ ของเมทริกซ์

$A=A_{m\times n}=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & \ddots & & ⋮\\ ⋮& & & \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

การกระทำระหว่างเมทริกซ์

การบวก

แม่แบบ:บทความหลัก ให้ $A=(a_{i,j}{)}_{m\times n}$ และ $B=(b_{i,j}{)}_{m\times n}$ เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก $A+B$ ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด $m\times n$ ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก $C=(c_{i,j}{)}_{m\times n}=A+B$ แล้ว $c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}$ ยกตัวอย่างเช่น

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 5\\ 7& 5& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+0& 3+0& 2+5\\ 1+7& 0+5& 0+0\\ 1+2& 2+1& 2+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 7\\ 8& 5& 0\\ 3& 3& 3\end{array}\right]$

การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง

การคูณด้วยสเกลาร์

กำหนดเมทริกซ์ $A=(a_{i,j}{)}_{m\times n}$ และจำนวน $c$ เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์ $cA$ ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด $m\times n$ ที่คำนวณโดยการนำ $c$ ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ $A$ กล่าวคือ หาก $B=(b_{i,j}{)}_{m\times n}=cA$ แล้ว $b_{i,j}=c{a}_{i,j}$ ยกตัวอย่างเช่น

$2\left[\begin{array}{ccc}1& 8& -3\\ 4& -2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2\times 1& 2\times 8& 2\times -3\\ 2\times 4& 2\times -2& 2\times 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 16& -6\\ 8& -4& 10\end{array}\right]$

จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด $m\times n$ ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ $mn$ ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง

การคูณ

ถ้า $A=(a_{i,j}{)}_{m\times n}$ และ $B=(b_{i,j}{)}_{n\times p}$ เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ $A$ เท่ากับจำนวนแถวของ $B$ แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ $AB$ ว่าเป็นเมทริกซ์ $C=(c_{i,j}{)}_{m\times p}$ โดยที่

$c_{i,j}=a_{i,1}{b}_{1,j}+a_{i,2}{b}_{2,j}+\cdots +a_{i,n}{b}_{n,j}=\sum _{k=1}^n{a}_{i,k}{b}_{k,j}$

กล่าวคือสมาชิกในแถว $i$ หลัก $j$ ของผลคูณ $AB$ คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก $i$ ของ $A$ และสมาชิกของคอลัมน์ $B$ ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง $n$ ผลคูณนั้นมาบวกกัน

การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นjเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ $a_i=(a_{i,1},a_{i,2},\dots ,a_{i,n})$ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว $i$ ของ $A$ และให้ $b_j=(b_{1,j},b_{2,j},\dots ,b_{n,j})$ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก $j$ ของ $B$ แล้ว เราจะได้ว่า $c_{i,j}=a_i\cdot b_j$ เมื่อ $a_i\cdot b_j$ คือผลคูณจุดของ $a_i$ และ $b_j$ เช่น

ให้ $A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right]$ และ $B=\left[\begin{array}{cc}{b}_{1,1}& b_{1,2}\\ b_{2,1}& b_{2,2}\\ b_{3,1}& b_{3,2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{b}_1& b_2\end{array}\right]$

แล้ว $A\times B=\left[\begin{array}{cc}{a}_1\cdot b_1& a_1\cdot b_2\\ a_2\cdot b_1& a_2\cdot b_2\end{array}\right]$

และ

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)& (1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\ (-1\times 3+3\times 2+1\times 1)& (-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right]$

การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้

• สมบัติการเปลี่ยนหมู่: $(AB)C=A(BC)$ สำหรับเมทริกซ์ $A$ ขนาด $k\times m$, $B$ ขนาด $m\times n$, และ $C$ ขนาด $n\times p$ ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
• สมบัติการแจกแจงทางขวา: $(A+B)C=AC+BC$ สำหรับเมทริกซ์ $A$ และ $B$ ขนาด $m\times n$ และ $C$ ขนาด $n\times p$ ใดๆ
• สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: $C(A+B)=CA+CB$ สำหรับเมทริกซ์ $A$ และ $B$ ขนาด $m\times n$ และ $C$ ขนาด $k\times m$ ใดๆ

คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ $A$ ขนาด $m\times n$ และ $B$ ขนาด $n\times p$ ใดๆ

• ถ้า $m\ne p$ แล้ว ผลคูณ $BA$ ไม่มีนิยาม
• แม้ $m=p$ แต่ถ้า $m\ne n$ แล้ว $AB$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $m\times m$ ส่วน $BA$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $n\times n$ ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
• แม้ $m=n=p$ แต่ส่วนมากแล้ว $AB$ มักจะมีค่าไม่เท่ากับ $BA$ ยกตัวอย่างเช่น

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 10& 12\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{cc}3& 8\\ 5& 12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$

เรากล่าวว่าเมทริกซ์ $A$ แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์ $B$ ถ้า $AB=-BA$ เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด

ข้อสังเกต i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column

การสลับเปลี่ยน

แม่แบบ:บทความหลัก เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m × n คือ A^T ขนาด n × m ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ A^tr, หรือ ^tA, หรือ A' ) ซึ่ง A^T[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

เมทริกซ์จัตุรัส

เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด n × n ยกเว้น n = 1

เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ

• เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย I_n ขนาด n คือเมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด มีคุณสมบัติ MI_n = M และ I_nN =  N สำหรับทุกๆเมทริกซ์ M ขนาด m × n และเมทริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:

${𝐈}_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

• เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นก็คือ ${𝐀}^{\mathrm{T}}=𝐀$ หรือ $a_{i,j}=a_{j,i}$ สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
• เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ ${𝐀}^{\mathrm{T}}=-𝐀$หรือ $a_{i,j}=-a_{j,i}$สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
• เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับสมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้ $a_{i,j}={\bar{a}}_{j,i}$ หรือเขียนแทนด้วยการสลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า ${𝐀}^{\ast }=𝐀$
• เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนานเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ $a_{i,j}=a_{i+1,j+1}$