เมทริกซ์ทแยงมุม

ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์ทแยงมุม (แม่แบบ:Langx) คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกนอกเหนือจากเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกล่างขวา (เฉียงลง ↘) ส่วนสมาชิกบนเส้นทแยงมุมสามารถเป็นค่าใด ๆ ก็ได้รวมทั้งศูนย์

หากกำหนดให้เมทริกซ์ $D=(d_{i,j})$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×n เมทริกซ์ D จะเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมก็ต่อเมื่อ

$d_{i,j}=0;i\ne j$

สำหรับทุกค่าของ $i,j\in \{1,\dots ,n\}$

ตัวอย่างเมทริกซ์ทแยงมุม เช่น

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& -3\end{array}\right]$

เมทริกซ์ทแยงมุมอาจหมายถึงเมทริกซ์แบบอื่น ๆ ที่ไม่เป็นเมทริกซ์จัตุรัส (มิติ m×n) แต่เข้ากับเงื่อนไขที่ระบุไว้ด้านบน กล่าวคือสมาชิกที่นอกเหนือจาก d_{i, i} เป็นศูนย์ เช่น

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& -3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ หรือ $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 4& 0& 0& 0\\ 0& 0& -3& 0& 0\end{array}\right]$

อย่างไรก็ตาม บทความนี้จะกล่าวถึงเมทริกซ์ทแยงมุมที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ซึ่งเป็นความหมายทั่วไป

เมทริกซ์ทแยงมุมใด ๆ เป็นเมทริกซ์สมมาตร และเป็นเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมทั้งบนและล่าง

เมทริกซ์เอกลักษณ์ $I_n$ และเมทริกซ์ศูนย์ที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ล้วนเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม

การดำเนินการบนเมทริกซ์ทแยงมุม

การดำเนินการบนเมทริกซ์ได้แก่ การบวกและการคูณเมทริกซ์ เป็นสิ่งที่ง่ายบนเมทริกซ์ทแยงมุม หากเขียนสัญลักษณ์นี้แทนเมทริกซ์ทแยงมุม $\mathrm{diag}(a_1,...,a_n)$ ซึ่งสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักเป็น $a_1,...,a_n$ จากมุมบนซ้ายไปยังมุมล่างขวาตามลำดับ สำหรับการบวกเมทริกซ์ทแยงมุม จะได้ว่า

$\mathrm{diag}(a_1,...,a_n)+\mathrm{diag}(b_1,...,b_n)=\mathrm{diag}(a_1+b_1,...,a_n+b_n)$

และสำหรับการคูณจะได้ว่า

$\mathrm{diag}(a_1,...,a_n)\cdot \mathrm{diag}(b_1,...,b_n)=\mathrm{diag}(a_1{b}_1,...,a_n{b}_n)$

เมทริกซ์ทแยงมุม $\mathrm{diag}(a_1,...,a_n)$ จะสามารถมีตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวใน $a_1,...,a_n$ ต้องไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นเราจะได้ว่า

$\mathrm{diag}(a_1,...,a_n{)}^{-1}=\mathrm{diag}(a_1^{-1},...,a_n^{-1})$

อ้างอิง

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

ดูเพิ่ม

• เมทริกซ์ทแยงมุมรอง

แหล่งข้อมูลอื่น

• แม่แบบ:Planetmath reference