ระบบควบคุมพีไอดี

ระบบควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (แม่แบบ:Langx) เป็นระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ซึ่งค่าที่นำไปใช้ในการคำนวณเป็นค่าความผิดพลาดที่หามาจากความแตกต่างของตัวแปรในกระบวนการและค่าที่ต้องการ ตัวควบคุมจะพยายามลดค่าผิดพลาดให้เหลือน้อยที่สุดด้วยการปรับค่าสัญญาณขาเข้าของกระบวนการ ค่าตัวแปรของ PID ที่ใช้จะปรับเปลี่ยนตามธรรมชาติของระบบ

แผนภาพบล็อกของการควบคุมแบบพีไอดี

วิธีคำนวณของ PID ขึ้นอยู่กับสามตัวแปรคือค่าสัดส่วน, ปริพันธ์ และ อนุพันธ์ ค่า สัดส่วน กำหนดจากผลของความผิดพลาดในปัจจุบัน, ค่า ปริพันธ์ กำหนดจากผลบนพื้นฐานของผลรวมความผิดพลาดที่ซึ่งพึ่งผ่านพ้นไป, และค่า อนุพันธ์ กำหนดจากผลบนพื้นฐานของอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าความผิดพลาด น้ำหนักที่เกิดจากการรวมกันของทั้งสามนี้จะใช้ในการปรับกระบวนการ

โดยการปรับค่าคงที่ใน PID ตัวควบคุมสามารถปรับรูปแบบการควบคุมให้เหมาะกับที่กระบวนการต้องการได้ การตอบสนองของตัวควบคุมจะอยู่ในรูปของการไหวตัวของตัวควบคุมจนถึงค่าความผิดพลาด ค่าโอเวอร์ชูต (overshoots) และ ค่าแกว่งของระบบ (oscillation) วิธี PID ไม่รับประกันได้ว่าจะเป็นระบบควบคุมที่เหมาะสมที่สุดหรือสามารถทำให้กระบวนการมีความเสถียรแน่นอน

การประยุกต์ใช้งานบางครั้งอาจใช้เพียงหนึ่งถึงสองรูปแบบ ขึ้นอยู่กับกระบวนการเป็นสำคัญ พีไอดีบางครั้งจะถูกเรียกว่าการควบคุมแบบ PI, PD, P หรือ I ขึ้นอยู่กับว่าใช้รูปแบบใดบ้าง

ทฤษฎี

การควบคุมแบบ PID ได้ชื่อตามการรวมกันของเทอมของตัวแปรทั้งสามตามสมการ:

$\mathrm{M}\mathrm{V}\mathrm{(}\mathrm{t}\mathrm{)}=P_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}+I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}+D_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$

เมื่อ

$P_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$, $I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$, และ $D_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$ เป็นผลของสัญญาณขาออกจากระบบควบคุม PID จากแต่ละเทอมซึ่งนิยามตามรายละเอียดด้านล่าง

สัดส่วน

กราฟ PV ต่อเวลา, K_p กำหนดเป็น 3 ค่า (K_i และ K_d คงที่)

เทอมของสัดส่วน (บางครั้งเรียก อัตราขยาย) จะเปลี่ยนแปลงเป็นสัดส่วนของค่าความผิดพลาด การตอบสนองของสัดส่วนสามารถทำได้โดยการคูณค่าความผิดพลาดด้วยค่าคงที่ K_p, หรือที่เรียกว่าอัตราขยายสัดส่วน

เทอมของสัดส่วนจะเป็นไปตามสมการ:

$P_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=K_{p}e(t)$

เมื่อ

$P_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$: สัญญาณขาออกของเทอมสัดส่วน

$K_p$: อัตราขยายสัดส่วน, ตัวแปรปรับค่าได้

$e$: ค่าความผิดพลาด $=SP-PV$

$t$: เวลา

ผลอัตราขยายสัดส่วนที่สูงค่าความผิดพลาดก็จะเปลี่ยนแปลงมากเช่นกัน แต่ถ้าสูงเกินไประบบจะไม่เสถียรได้ ในทางตรงกันข้าม ผลอัตราขยายสัดส่วนที่ต่ำ ระบบควบคุมจะมีผลตอบสนองต่อกระบวนการน้อยตามไปด้วย

ปริพันธ์

กราฟ PV ต่อเวลา, K_i กำหนดเป็นสามค่า (K_p และ K_d คงที่)

ผลจากเทอมปริพันธ์ (บางครั้งเรียก reset) เป็นสัดส่วนของขนาดความผิดพลาดและระยะเวลาของความผิดพลาด ผลรวมของความผิดพลาดในทุกช่วงเวลา (ปริพันธ์ของความผิดพลาด) จะให้ออฟเซตสะสมที่ควรจะเป็นในก่อนหน้า ความผิดพลาดสะสมจะถูกคูณโดยอัตราขยายปริพันธ์ ขนาดของผลของเทอมปริพันธ์จะกำหนดโดยอัตราขยายปริพันธ์, $K_i$.

เทอมปริพันธ์จะเป็นไปตามสมการ:

$I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=K_i\underset{0}{\overset{t}{\int }}e(\tau )d\tau$

เมื่อ

$I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$: สัญญาณขาออกของเทอมปริพันธ์

$K_i$: อัตราขยายปริพันธ์, ตัวแปรปรับค่าได้

$e$: ความผิดพลาด $=SP-PV$

$t$: เวลา

$\tau$: ตัวแปรปริพันธ์หุ่น

เทอมปริพันธ์ (เมื่อรวมกับเทอมสัดส่วน) จะเร่งกระบวนการให้เข้าสู่จุดที่ต้องการและขจัดความผิดพลาดที่เหลืออยู่ที่เกิดจากการใช้เพียงเทอมสัดส่วน แต่อย่างไรก็ตาม เทอมปริพันธ์เป็นการตอบสนองต่อความผิดพลาดสะสมในอดีต จึงสามารถทำให้เกิดโอเวอร์ชูตได้ (ข้ามจุดที่ต้องการและเกิดการหันเหไปทางทิศทางอื่น)

อนุพันธ์

กราฟ PV ต่อเวลา, สำหรับ K_d 3 ค่า (K_p และ K_i คงที่)

อัตราการเปลี่ยนแปลงของความผิดพลาดจากกระบวนการนั้นคำนวณหาจากความชันของความผิดพลาดทุก ๆ เวลา (นั่นคือ เป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่งสัมพันธ์กับเวลา) และคูณด้วยอัตราขยายอนุพันธ์ $K_d$ ขนาดของผลของเทอมอนุพันธ์ (บางครั้งเรียก อัตรา) ขึ้นกับ อัตราขยายอนุพันธ์ $K_d$

เทอมอนุพันธ์เป็นไปตามสมการ:

$D_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=K_d\frac{d}{dt}e(t)$

เมื่อ

$D_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$: สัญญาณขาออกของเทอมอนุพันธ์

$K_d$: อัตราขยายอนุพันธ์, ตัวแปรปรับค่าได้

$e$: ความผิดพลาด $=SP-PV$

$t$: เวลา

เทอมอนุพันธ์จะชะลออัตราการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณขาออกของระบบควบคุมและด้วยผลนี้จะช่วยให้ระบบควบคุมเข้าสู่จุดที่ต้องการ ดังนั้นเทอมอนุพันธ์จะใช้ในการลดขนาดของโอเวอร์ชูตที่เกิดจาเทอมปริพันธ์และทำให้เสถียรภาพของการรวมกันของระบบควบคุมดีขึ้น แต่อย่างไรก็ตามอนุพันธ์ของสัญญาณรบกวนที่ถูกขยายในระบบควบคุมจะไวมากต่อการรบกวนในเทอมของความผิดพลาดและสามารถทำให้กระบวนการไม่เสถียรได้ถ้าสัญญาณรบกวนและอัตราขยายอนุพันธ์มีขนาดใหญ่เพียงพอ

ผลรวม

เทอมสัดส่วน, ปริพันธ์, และอนุพันธ์ จะนำมารวมกันเป็นสัญญาณขาออกของการควบคุมแบบ PID กำหนดให้ $u(t)$ เป็นสัญญาณขาออก สมการสุดท้ายของวิธี PID คือ:

$\mathrm{u}\mathrm{(}\mathrm{t}\mathrm{)}=\mathrm{M}\mathrm{V}\mathrm{(}\mathrm{t}\mathrm{)}=K_{p}e(t)+K_i\underset{0}{\overset{t}{\int }}e(\tau )d\tau +K_d\frac{d}{dt}e(t)$

รหัสเทียม

รหัสเทียม (แม่แบบ:Langx) ของ ขั้นตอนวิธีระบบควบคุมพีไอดี โดยอยู่บนสมมุติฐานว่าตัวประมวลผลประมวลผลแบบขนานอย่างสมบูรณ์แบบ เป็นดังต่อไปนี้

previous_error = setpoint - actual_position
integral = 0
start:
  error = setpoint - actual_position
  integral = integral + (error*dt)
  derivative = (error - previous_error)/dt
  output = (Kp*error) + (Ki*integral) + (Kd*derivative)
  previous_error = error
  wait(dt)
  goto start

การปรับจูน

การปรับจูนด้วยมือ

ถ้าระบบยังคงทำงาน ขั้นแรกให้ตั้งค่า $K_i$ และ $K_d$ เป็นศูนย์ เพิ่มค่า $K_p$ จนกระทั่งสัญญาณขาออกเกิดการแกว่ง (oscillate) แล้วตั้งค่า $K_p$ ให้เหลือครึ่งหนึ่งของค่าที่ทำให้เกิดการแกว่งสำหรับการตอบสนองชนิด "quarter amplitude decay" แล้วเพิ่ม $K_i$ จนกระทั่งออฟเซตถูกต้องในเวลาที่พอเพียงของกระบวนการ แต่ถ้า $K_i$ มากไปจะทำให้ไม่เสถียร สุดท้ายถ้าต้องการ ให้เพิ่มค่า $K_d$ จนกระทั่งลูปอยู่ในระดับที่ยอมรับได้ แต่ถ้า $K_d$ มากเกินไปจะเป็นเหตุให้การตอบสนองและโอเวอร์ชูตเกินยอมรับได้ ปกติการปรับจูน PID ถ้าเกิดโอเวอร์ชูตเล็กน้อยจะช่วยให้เข้าสู่จุดที่ต้องการเร็วขึ้น แต่ในบางระบบไม่สามารถยอมให้เกิดโอเวอร์ชูตได้ และถ้าค่า $K_p$ น้อยเกินไปก็จะทำให้เกิดการแกว่ง

ผลของการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของ PID (K_p,K_i,K_d) บนขั้นของการตอบสนองของระบบ

ผลของการเพิ่มค่าตัวแปรอย่างอิสระ

ตัวแปร	ช่วงเวลาขึ้น (Rise time)	โอเวอร์ชูต (Overshoot)	เวลาสู่สมดุล (Settling time)	ความผิดพลาดสถานะคงตัว (Steady-state error)	เสถียรภาพ
$K_p$	ลด	เพิ่ม	เปลี่ยนแปลงเล็กน้อย	ลด	ลด
$K_i$	ลด	เพิ่ม	เพิ่ม	ลดลงอย่างมีนัยสำคัญ	ลด
$K_d$	เปลี่ยนแปลงเล็กน้อย	ลดลง	ลดลง	ตามทฤษฏีไม่มีผล	ดีขึ้นถ้า $K_d$ มีค่าน้อย

วิธีการ

วิธีการนี้นำเสนอโดย John G. Ziegler และ Nathaniel B. Nichols ในคริสต์ทศวรรษที่ 1940 ขั้นแรกให้ตั้งค่า $K_i$ และ $K_d$ เป็นศูนย์ เพิ่มอัตราขยาย P สูงที่สุด, $K_u$, จนกระทั่งเริ่มเกิดการแกว่ง นำค่า $K_u$ และค่าช่วงการแกว่ง $P_u$ มาหาค่าตัวแปรที่เหลือดังตาราง:

Ziegler–Nichols method

Control Type	$K_p$	$K_i$	$K_d$
P	$0.50K_u$	-	-
PI	$0.45K_u$	$1.2K_p/P_u$	-
PID	$0.60K_u$	$2K_p/P_u$	$K_p{P}_u/8$

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีระบบควบคุม
• แม่แบบ:Interlanguage link
• แม่แบบ:Interlanguage link
• แม่แบบ:Interlanguage link
• แม่แบบ:Interlanguage link

อ่านเพิ่มเติม

• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite book
• แม่แบบ:Cite journal
• แม่แบบ:Cite web
• แม่แบบ:Cite web
• แม่แบบ:Cite book

แหล่งข้อมูลอื่น

โปรแกรมการสอนการควบคุมแบบพีไอดี

• PID Tutorial แม่แบบ:Webarchive
• P.I.D. Without a PhD แม่แบบ:Webarchive: a beginner's guide to PID loop theory with sample programming code
• What's All This P-I-D Stuff, Anyhow? แม่แบบ:Webarchive Article in Electronic Design
• Shows how to build a PID controller with basic electronic components แม่แบบ:Webarchive (pg. 22)
• Virtual PID Controller Laboratory
  • PID Design & Tuning แม่แบบ:Webarchive
• ตัวอย่างการประยุกต์ใช้งานตัวควบคุมพีไอดีกับปัญหา Inverted Pendulum โดยมหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน

หัวข้อพิเศษและการประยุกต์ใช้การควบคุมแบบพีไอดี

• Proven Methods and Best Practices for PID Control แม่แบบ:Webarchive
• PID Control Primer แม่แบบ:Webarchive Article in Embedded Systems Programming