ฟังก์ชันซีตาของรีมัน

ฟังก์ชันซีตาของรีมันสำหรับจำนวนจริง s > 1

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันซีตาของรีมัน (แม่แบบ:Langx) เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

ซึ่งตั้งตามชื่อของแบร์นฮาร์ท รีมัน นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ฟังก์ชันนี้มีความสำคัญในด้านทฤษฎีจำนวนเนื่องจากว่ามันสามารถบ่งบอกถึงการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะได้ และยังสามารถประยุกต์ใช้ในทางฟิสิกส์ ความน่าจะเป็น และสถิติได้

สูตรผลคูณของอ็อยเลอร์

ในปี ค.ศ. 1737 อ็อยเลอร์ค้นพบความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันซีตาของรีมันและจำนวนเฉพาะ ซึ่งพิสูจน์เอกลักษณ์ดังกล่าว

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _{p\text{ is prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}$

การพิสูจน์เอกลักษณ์นี้ ใช้เพียงสูตรสำหรับอนุกรมเรขาคณิต และ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิก เมื่อ s = 1 เป็นอนุกรมลู่ออก

สูตรผลคูณของออยเลอร์สามารถใช้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มใด ๆ หารด้วยจำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนเต็ม) p ลงตัว คือ แม่แบบ:Math ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ตัวเลขจำนวน s ตัวหารด้วยจำนวนเฉพาะนี้ลงตัวคือ แม่แบบ:Math และความน่าจะเป็นที่จะหารไม่ลงตัว คือ แม่แบบ:Math สำหรับจำนวนเฉพาะ ดังนั้นความน่าจะเป็นจะได้มาจากผลคูณของลำดับของจำนวนเฉพาะทั้งหมด นั่นคือ $\prod _{p\text{is prime}}(1-\frac{1}{p^s})={\left(\prod _{p\text{is prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}\right)}^{-1}=\frac{1}{\zeta (s)}$

ดูเพิ่ม

• สมมติฐานของรีมัน