ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (แม่แบบ:Langx) ถูกเสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1905 โดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ในบทความของเขาที่มีชื่อว่า "พลศาสตร์ไฟฟ้าของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ (On the Electrodynamics of Moving Bodies)" สามศตวรรษก่อนหน้านั้น หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอกล่าวไว้ว่า การเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ทั้งหมดเป็นการสัมพัทธ์ และไม่มีสถานะของการหยุดนิ่งสัมบูรณ์และนิยามได้ คนที่อยู่บนดาดฟ้าเรือคิดว่าตนอยู่นิ่ง แต่คนที่สังเกตบนชายฝั่งกลับบอกว่า ชายบนเรือกำลังเคลื่อนที่ ทฤษฎีของไอน์สไตน์รวมหลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอเข้ากับสมมติฐานที่ว่า ผู้สังเกตทุกคนจะวัดอัตราเร็วของแสงได้เท่ากันเสมอ ไม่ว่าสภาวะการเคลื่อนที่เชิงเส้นด้วยความเร็วคงที่ของพวกเขาจะเป็นอย่างไร

ทฤษฎีนี้มีข้อสรุปอันน่าประหลาดใจหลายอย่างซึ่งขัดกับสามัญสำนึก แต่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการทดลอง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษล้มล้างแนวคิดของปริภูมิสัมบูรณ์และเวลาสัมบูรณ์ของนิวตันโดยการยืนยันว่า ระยะทางและเวลาขึ้นอยู่กับผู้สังเกต และรับรู้เวลากับปริภูมิต่างกันขึ้นอยู่กับผู้สังเกต มันนำมาซึ่งหลักการสมมูลของสสารและพลังงาน ซึ่งสามารถแสดงเป็นสมการชื่อดัง E=mc² เมื่อ c คืออัตราเร็วของแสง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสอดคล้องกับกลศาสตร์นิวตันในสำนึกทั่วไปและในการทดลองเมื่อความเร็วของสิ่งต่าง ๆ น้อยมากเมื่อเทียบกับอัตราเร็วแสง

ทฤษฎีนี้เรียกว่า "พิเศษ" เนื่องจากมันประยุกต์หลักสัมพัทธภาพกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยเท่านั้น ไอน์สไตน์พัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยประยุกต์หลักสัมพัทธภาพให้ใช้ทั่วไป กล่าวคือ ใช้ได้กับทุกกรอบอ้างอิง และทฤษฎีดังกล่าวยังรวมผลของความโน้มถ่วง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไม่ได้รวมผลของความโน้มถ่วง แต่มันสามารถจัดการกับความเร่งได้

ถึงแม้ว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพจะทำให้เกิดการสัมพัทธ์กันของปริมาณบางอย่าง เช่น เวลาซึ่งเรามักคิดว่าเป็นปริมาณสัมบูรณ์เนื่องจากประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน ถึงกระนั้นมันก็มีปริมาณบางอย่างที่เป็นปริมาณสัมบูรณ์ทั้ง ๆ ที่เราคิดว่ามันน่าจะเป็นปริมาณสัมพัทธ์ กล่าวให้ชัดคือว่า อัตราเร็วของแสงจะเท่ากันสำหรับทุกผู้สังเกต แม้ว่าพวกเขาจะเคลื่อนที่สัมพัทธ์กันก็ตาม ทฤษฎีสัมพัทธภาพแสดงให้เห็นว่า c ไม่ใช่แค่ความเร็วของปรากฏการณ์ที่เรียกว่า แสง เท่านั้น แต่ยังเป็นค่าพื้นฐานที่เชื่อมปริภูมิกับเวลาเข้าด้วยกัน กล่าวโดยเจาะจงคือว่า ทฤษฎีสัมพัทธภาพยืนยันว่าไม่มีวัตถุใดเคลื่อนที่เร็วเท่ากับแสงได้

สมมติฐาน

บทความหลัก: สมมติฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (Einstein Postulate)

1. สมมติฐานข้อแรก - หลักสัมพัทธภาพอย่างพิเศษ - กฎทางฟิสิกส์ย่อมเหมือนกันในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อย กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่มีกรอบอ้างอิงพิเศษใด ๆ
2. สมมติฐานข้อที่สอง - ความไม่แปรเปลี่ยนของ c - อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศเป็นค่าคงที่สากล (c) ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดแสงนั้น

พลังของทฤษฎีไอน์สไตน์เกิดขึ้นจากวิธีที่เขาได้มาซึ่งผลลัพธ์อันน่าตื่นตระหนกและดูจะไม่น่าถูกต้องจากข้อสมมุติง่าย ๆ สองอย่างซึ่งค้นพบจากการสังเกต ผู้สังเกตพยายามวัดอัตราเร็วของแสงที่แผ่ออกมา พบว่าได้คำตอบเท่าเดิมไม่ว่าผู้สังเกตหรือองค์ประกอบของระบบวัดจะเคลื่อนที่อย่างไร

ความบกพร่องของกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์

หลักสัมพัทธภาพ ซึ่งกล่าวว่าไม่มีกรอบอ้างอิงที่อยู่กับที่ นั้นสืบเนื่องมาจากกาลิเลโอ และถูกรวมเข้ากับฟิสิกส์ของนิวตัน อย่างไรก็ตาม ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 การมีอยู่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าทำให้นักฟิสิกส์เสนอแนวคิดว่า เอกภพเต็มไปด้วยสารที่รู้จักในนาม "อีเทอร์" ซึ่งทำตัวเป็นตัวกลางยามที่การสั่นของคลื่นเคลื่อนไป อีเทอร์ถูกตั้งขึ้นเพื่อการมีกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์ต้านกับหลักที่ว่าอัตราเร็วของกรอบอ้างอิงใด ๆ สามารถวัดได้ กล่าวอีกอย่างคือ อีเทอร์เป็นสิ่งเดียวที่ถูกตรึงหรือไม่เคลื่อนที่ในเอกภพ อีเทอร์ถูกสมมุติให้มีคุณสมบัติอันอัศจรรย์: มันยืดหยุ่นพอที่จะรองรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และคลื่นนั้นต้องสามารถมีการกระทำกับสสาร ในขณะที่ตัวอีเทอร์เองต้องไม่มีความต้านทานในการเคลื่อนที่สำหรับวัตถุที่ทะลุผ่านมันไป ผลการทดลองต่าง ๆ รวมทั้งการทดลองของไมเคิลสันและเมอร์เลย์ ชี้ให้เห็นว่าโลก 'อยู่กับที่' -- ซึ่งเป็นอะไรที่ยากจะอธิบายได้ เพราะโลกอยู่ในวงโคจรรอบดวงอาทิตย์ ผลลัพธ์อันสละสลวยของไอน์สไตน์ล้มล้างแนวคิดเรื่องอีเทอร์และการอยู่นิ่งสัมบูรณ์ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถูกเขียนขึ้นไม่ใช่แค่ถือว่ากรอบอ้างอิงเฉพาะใด ๆ นั้นพิเศษ แต่ว่าในสัมพัทธภาพ กรอบหนึ่ง ๆ ต้องสังเกตพบกฎทางฟิสิกส์แบบเดียวกันโดยไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วของผู้สังเกต กล่าวให้ชัดคือ อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศต้องวัดได้ c เสมอ แม้ว่าจะวัดโดยระบบต่าง ๆ ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่าง ๆ (แต่คงที่)

ผลสรุป

ไอน์สไตน์ได้กล่าวไว้ว่าผลที่ตามมาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสามารถหาได้จากการพิจารณาการแปลงแบบลอเรนซ์ การแปลงเหล่านี้ รวมทั้งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ นำไปสู่การทำนายลักษณะกายภาพที่ต่างไปจากกลศาสตร์นิวตันเมื่อความเร็วสัมพัทธ์มีค่าเทียบเคียงอัตราเร็วแสง อัตราเร็วแสงนั้นมากกว่าทุกสิ่งที่มนุษย์เคยประสบ จนทำให้ผลบางอย่างซึ่งทำนายจากหลักการสัมพัทธ์นั้นจะขัดกับสัญชาตญาณตั้งแต่แรก:

• การยืดออกของเวลา - เวลาที่ล่วงไประหว่างเหตุการณ์สองอย่างนั้นไม่แปรเปลี่ยนจากผู้สังเกตหนึ่งไปยังผู้สังเกตหนึ่ง แต่มันขึ้นอยู่กับความเร็วสัมพัทธ์ของกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต (ตัวอย่างเช่น ปัญหา twin paradox ซึ่งพูดถึงฝาแฝดซึ่งคนหนึ่งบินไปกับยานอวกาศซึ่งเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วใกล้แสง แล้วกลับมาพบว่าแฝดของเขาที่อยู่บนโลกมีอายุมากกว่า)
• สัมพัทธภาพของความพร้อมกัน - เหตุการณ์สองอย่างเกิดขึ้นในที่ที่ต่างกันสองแห่งอย่างพร้อมกันสำหรับผู้สังเกตหนึ่ง อาจไม่พร้อมกันสำหรับผู้สังเกตคนอื่น (ความบกพร่องของความพร้อมกันสัมบูรณ์)
• การหดสั้นเชิงลอเรนซ์ - มิติ (เช่น ความยาว) ของวัตถุเมื่อวัดโดยผู้สังเกตคนหนึ่งอาจเล็กลงกว่าผลการวัดของผู้สังเกตอีกคนหนึ่ง (ตัวอย่างเช่น ladder paradox เกี่ยวข้องกับบันไดยาวซึ่งเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วใกล้แสงและเข้าเก็บในห้องซึ่งเล็กกว่า)
• การรวมความเร็ว - ความเร็ว (และอัตราเร็ว) ไม่ได้ 'รวม' กันง่าย ๆ ยกตัวอย่างเช่นถ้าจรวดลำหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว ⅔ ของอัตราเร็วแสงสัมพัทธ์กับผู้สังเกตคนหนึ่ง แล้วจรวดก็ปล่อยมิสไซล์ที่มีอัตราเร็วเท่ากับ ⅔ ของอัตราเร็วแสงสัมพัทธ์กับจรวด มิสไซล์ไม่ได้มีอัตราเร็วมากกว่าอัตราเร็วแสงสัมพัทธ์กับผู้สังเกต (ในตัวอย่างนี้ ผู้สังเกตจะเห็นมิสไซล์วิ่งไปด้วยอัตราเร็ว 12/13 ของอัตราเร็วแสง)
• ความเฉื่อยกับโมเมนตัม - เมื่อความเร็วของวัตถุเข้าใกล้อัตราเร็วแสง วัตถุจะเร่งได้ยากขึ้นและยากขึ้นเรื่อย ๆ
• การสมมูลของมวลและพลังงาน, E=mc² - มวลและพลังงานสามารถแปลงกลับกันไปมา และมีบทบาทเทียบเท่ากัน (ตัวอย่างเช่น แรงโน้มถ่วงของแอปเปิลที่กำลังหล่น ส่วนหนึ่งเกิดจากพลังงานจลน์ของอนุภาคย่อยซึ่งประกอบเป็นแอปเปิลขึ้นมา)

กรอบอ้างอิง ระบบพิกัด และการแปลงแบบลอเรนซ์

ภาพการเปลี่ยนมุมมองของกาลอวกาศตามเส้น world line เมื่อผู้สังเกตเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเพิ่มขึ้นอย่างกะทันหัน

ในภาพเคลื่อนไหว แกนในแนวดิ่งหมายถึง เวลา ส่วนแกนแนวนอนหมายถึง ระยะทาง เส้นประคือวิถีของกาลอวกาศ ("world line") ของผู้สังเกต ภาพส่วนล่างของไดอะแกรมแสดงเหตุการณ์ที่ผู้สังเกตมองเห็น ภาพส่วนบนแสดง light cone หรือสิ่งที่ผู้สังเกตจะมองเห็น จุดเล็ก ๆ ในรูปคือเหตุการณ์แบบสุ่มที่อาจเกิดขึ้นได้ในกาลอวกาศ

เส้นลาดของ world line (ที่เบี่ยงเบนไปจากแนวดิ่ง) แสดงถึงความเร็วสัมพัทธ์กับผู้สังเกต พึงพิจารณามุมมองของกาลอวกาศที่เปลี่ยนแปลงไปเมื่อผู้สังเกตเร่งความเร็วขึ้น

ทฤษฎีสัมพัทธภาพขึ้นอยู่กับ "กรอบอ้างอิง" กรอบอ้างอิงคือจุดในปริภูมิที่อยู่นิ่ง หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ จากตำแหน่งซึ่งสามารถวัดได้ตามแกน 3 แกน นอกจากนี้ กรอบอ้างอิงยังมีนาฬิกาซึ่งกำลังเคลื่อนที่ไปกับกรอบอ้างอิงซึ่งใช้ในการวัดเวลาของเหตุการณ์

เหตุการณ์ คือสิ่งที่เกิดขึ้นโดยสามารถระบุเป็นเวลาและตำแหน่งเดี่ยว ๆ ในปริภูมิสัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิง: นั่นคือ "จุด" ในปริภูมิ-เวลา เนื่องจากอัตราเร็วแสงมีค่าคงที่ในแต่ละกรอบอ้างอิงและทุก ๆ กรอบ พัลส์ของแสงจึงสามารถใช้วัดระยะทางได้อย่างแม่นยำและกลับมาเมื่อครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้นไปยังนาฬิกา ถึงแม้ว่าแสงจะใช้เวลากลับมาหานาฬิกาหลังจากที่เหตุการณ์ได้เกิดขึ้นแล้วก็ตาม

ยกตัวอย่างเช่น การระเบิดของประทัดสามารถเป็น "เหตุการณ์" ได้ เราสามารถระบุเหตุการณ์ได้อย่างสมบูรณ์ด้วยใช้พิกัด ปริภูมิ-เวลา 4 มิติ: เวลาที่เหตุการณ์เกิดขึ้น และตำแหน่ง 3 มิติจากตำแหน่งอ้างอิง เรียกกรอบอ้างอิงนี้ว่า S

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เรามักต้องการคำนวณตำแหน่งของจุดจากตำแหน่งอ้างอิงอีกอันหนึ่ง

สมมุติเรามีกรอบอ้างอิงที่สอง คือ S' ซึ่งมีแกนพิกัดและนาฬิกาวางตัวทับกันกับระบบของ S ที่เวลาเป็นศูนย์ แต่กรอบอ้างอิงที่สองกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ $v$ เทียบกับกรอบอ้างอิง S ไปตามแกน $x$

เนื่องจากไม่มีกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ แนวคิดเรื่อง 'การเคลื่อนที่' จึงไม่ได้มีอยู่อย่างชัดเจน จากที่ทุกสิ่งย่อมเคลื่อนที่เทียบกับกรอบอ้างอิงอื่นเสมอ แทนที่โดย กรอบสองกรอบใด ๆ ที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่ากัน ในทิศทางเดียวกันจะเรียกว่า การเคลื่อนที่ร่วม ดังนั้น S และ S' จึงไม่ได้เป็นการเคลื่อนที่ร่วมกัน

กำหนดให้ เหตุการณ์ เกิดขึ้นในพิกัดปริภูมิ-เวลา $(t,x,y,z)$ ในระบบ S และในพิกัด $(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ ในระบบ S' จากนั้นการแปลงแบบลอเรนซ์ระบุว่าพิกัดทั้งสองสัมพันธ์กันดังนี้:

$t^{\prime }=\gamma (t-\frac{vx}{c^2})$

$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$

$y^{\prime }=y$

$z^{\prime }=z$

เมื่อ $\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ เรียกว่า Lorentz factor และ $c$ คือ อัตราเร็วแสง ในสุญญากาศ

พิกัด $y$ และ $z$ ไม่ได้รับผล แต่แกน $x$ และ $t$ นั้นผสานกันในสูตรการแปลง โดยการแปลงนี้สามารถเข้าใจได้ด้วย การหมุนแบบไฮเพอร์โบลิก

ปริมาณซึ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงแบบลอเรนซ์รู้จักกันในนาม Lorentz scalar

ความพร้อมกัน

จากสมการที่หนึ่งของการแปลงแบบลอเรนซ์ในเทอมผลต่างของพิกัด จะได้

$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }t-\frac{v\mathrm{\Delta }x}{c^2})$

เห็นได้ชัดว่าเหตุการณ์สองอย่างที่พร้อมกันในกรอบอ้างอิง S (คือ $\mathrm{\Delta }t=0$) นั้นไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นพร้อมกันในอีกกรอบอ้างอิงหนึ่งซึ่งในที่นี้ก็คือ กรอบอ้างอิง S' (คือ $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=0$) เหตุการณ์ทั้งสองนั้นจะเกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิง S'ด้วยก็ต่อเมื่อเหตุการณ์เหล่านั้นเกิดขึ้น ณ ตำแหน่งเดียวกันในกรอบอ้างอิง S (คือ $\mathrm{\Delta }x=0$)

การยืดออกของเวลา และการหดสั้นของความยาว

แม่แบบ:ดูเพิ่ม จากการเขียนการแปลงแบบลอเรนซ์และอินเวอร์สในเทอมผลต่างของพิกัด เราจะได้

$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }t-\frac{v\mathrm{\Delta }x}{c^2})$

$\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }x-v\mathrm{\Delta }t)$

และ

$\mathrm{\Delta }t=\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+\frac{v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{c^2})$

$\mathrm{\Delta }x=\gamma (\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }+v\mathrm{\Delta }{t}^{\prime })$

สมมุติว่าเรามีนาฬิกาซึ่งอยู่นิ่งในกรอบอ้างอิง S เสียงติ๊กสองติ๊กของนาฬิกาวัดโดยที่ $\mathrm{\Delta }x=0$ ถ้าเราต้องการรู้ความสัมพัทธ์ระหว่างเวลากับเสียงติ๊ก ซึ่งวัดโดยระบบอ้างอิงทั้งสอง เราสามารถใช้สมการแรกและพบว่า

$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\gamma \mathrm{\Delta }t$

นี่แสดงให้เห็นว่า ช่วงเวลา $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ ระหว่างเสียงนาฬิกาสองติ๊กที่วัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' นั้นโตกว่าช่วงเวลา$\mathrm{\Delta }t$ ระหว่างเสียงนาฬิกาสองติ๊กที่วัดในกรอบอ้างอิงในกรอบที่หยุดนิ่งเทียบกับนาฬิกานั้น ปรากฏการณ์ดังกล่าวเรียกว่า การยืดออกของเวลา (ข้อสังเกต: การวัดเวลาระหว่างสองเหตุการณ์ใด ๆ จะต้องวัดที่ตำแหน่งในปริภูมิเดิมเสมอเทียบกับกรอบอ้างอิงนั้น ๆ คือ $\mathrm{\Delta }x=0$ ในกรอบอ้างอิง S หรือ $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=0$ ในกรอบอ้างอิง S' :ผู้แปล)

เช่นเดียวกัน สมมุติเรามีไม้วัดวางนิ่งอยู่ในกรอบอ้างอิง S ในระบบนี้ ความยาวของไม้สามารถเขียนเป็น $\mathrm{\Delta }x$ ถ้าเราต้องการหาความยาวของไม้นี้โดยวัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' เราต้องมั่นใจว่าวัดระยะ $x^{\prime }$ ที่ตำแหน่งปลายไม้อย่างพร้อมกันในกรอบอ้างอิง S' หรือพูดอีกอย่างก็คือ การวัดต้องให้ $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=0$ซึ่งเราสามารถรวมหลักการนี้เข้ากับสมการที่สี่เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างความยาว $\mathrm{\Delta }x$ กับ $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }$ ได้เป็น:

$\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\gamma }$

นี่แสดงว่าความยาว $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }$ ของไม้ซึ่งวัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' สั้นกว่าความยาว $\mathrm{\Delta }x$ ในกรอบที่อยู่นิ่งเทียบกับตัวไม้เอง ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การหดสั้นของความยาว หรือ การหดสั้นแบบลอเรนซ์ (ข้อสังเกต: การวัดความยาวระหว่างสองตำแหน่งในปริภูมิจะต้องวัดที่เวลาเดียวกันเสมอเทียบกับกรอบอ้างอิงนั้น ๆ คือ $\mathrm{\Delta }t=0$ ในกรอบอ้างอิง S หรือ $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=0$ ในกรอบอ้างอิง S' :ผู้แปล)

ผลการยืดหดเหล่านี้ไม่ใช่เพียงภาพปรากฏเท่านั้น แต่มันสัมพันธ์อย่างชัดเจนกับวิธีในการวัดช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ 'ร่วมตำแหน่ง' และระยะทางระหว่างเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างพร้อมกัน

Causality และการห้ามวัตถุเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง

Diagram 2. light cone

ในแผนภาพที่ 2 ช่วง AB เรียกว่า 'time-like' กล่าวคือ มีกรอบอ้างอิงซึ่งมีเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เกิดขึ้นในตำแหน่งเดียวกันในปริภูมิ แต่แยกกันเนื่องจากการเกิดขึ้นในเวลาที่ต่างกันเท่านั้น ถ้า A เกิดก่อน B ในกรอบอ้างอิงนั้น A ย่อมเกิดขึ้นก่อน B ในทุก ๆ กรอบอ้างอิง จึงเป็นไปได้ในเชิงสมมติฐานว่า สสาร (หรือข้อมูล) จะสามารถเคลื่อนที่จาก A ไป B และมีความสัมพันธ์อย่างมีเหตุผล (โดย A เป็นเหตุ และ B เป็นผล)

ช่วง AC ในแผนภาพเรียกว่า 'space-like'; กล่าวคือ มีกรอบอ้างอิงซึ่งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ C เกิดขึ้นพร้อมกัน เว้นแต่ว่าอยู่คนละตำแหน่งในปริภูมิ อย่างไรก็ตามยังมีบางกรอบซึ่ง A เกิดก่อน C (ดังรูป) และบางกรอบซึ่ง C เกิดก่อน A ถ้าความสัมพันธ์แบบเหตุและผลนั้นเป็นไปได้ระหว่างเหตุการณ์ A และ C พาราดอกซ์ทางตรรกะ (logical paradoxes) จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ถ้า A เป็นเหตุ และ C เป็นผล ก็จะมีบางกรอบอ้างอิงที่ทำให้ผลมาก่อนเหตุ วิธีหนึ่งที่จะมองคือว่า ถ้ามีเทคโนโลยีที่ยอมให้มีการเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง มันก็จะทำตัวเป็นไทม์แมชชีน (time machine) ดังนั้นผลสรุปอย่างหนึ่งของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษคือว่า (โดยถือว่า causality เป็นหลักการทางตรรกะอย่างหนึ่ง) ไม่มีข้อมูลหรือวัตถุใดสามารถเคลื่อนที่ได้เร็วกว่าแสง อย่างไรก็ตาม สถานการณ์ทางตรรกะไม่ชัดเจนนักในกรณีของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ดังนั้นจึงเป็นคำถามปลายเปิดว่ามี fundamental principle ซึ่งรักษาหลัก causality (และรักษาหลักการเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปหรือไม่

การรวมความเร็ว

ถ้าผู้สังเกตในกรอบอ้างอิง $S$ เห็นวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามแนวแกน $x$ ด้วยความเร็ว $w$ ผู้สังเกตในกรอบ $S^{\prime }$ จะเห็นว่าวัตถุดังกล่าวมีความเร็ว $w^{\prime }$ โดยที่

$w^{\prime }=\frac{w-v}{1-wv/c^2}$

สมการนี้สามารถหาได้จากการแปลงปริภูมิและเวลาข้างต้น ระลึกไว้ว่าถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วแสงในกรอบอ้างอิง $S$ (นั่นคือ $w=c$) วัตถุนั้นก็จะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วแสงในกรอบอ้างอิง $S^{\prime }$ เช่นกัน ถ้าทั้ง $w$ และ $v$ เล็กมากเมื่อเทียบกับอัตราเร็วแสง เราก็จะสามารถใช้การแปลงความเร็วแบบกาลิเลียนในแบบสัญชาตญาณของเรา คือ $w^{\prime }=w-v$

มวล โมเมนตัม และพลังงาน

นอกจากการปรับเปลี่ยนแนวคิดเกี่ยวกับปริภูมิและเวลาแล้ว ทฤษฎีสัมพัทธภาพยังบังคับให้เราต้องกลับมาพิจารณาแนวคิดของ มวล โมเมนตัม และ พลังงาน ทั้งหมดนี้มีความสำคัญต่อโครงสร้างใน กลศาสตร์นิวตัน ทฤษฎีสัมพัทธภาพแสดงให้เห็นว่า อันที่จริงแล้ว แนวคิดเหล่านั้นมีแง่มุมที่ต่างกันมากสำหรับปริมาณทางกายภาพเดียวกันเหมือนกับที่มันแสดงว่าปริภูมิกับเวลามีความเชื่อมโยงกัน

มีหลายวิธี (ที่เทียบเท่ากัน) ที่จะนิยามโมเมนตัมและพลังงานใน SR (หมายถึง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ :ผู้แปล) วิธีหนึ่งคือใช้ กฎการอนุรักษ์ ถ้ากฎเหล่านี้ยังคงใช้ได้ใน SR พวกมันย่อมเป็นจริงในทุกกรอบอ้างอิงที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำ การทดลองในความคิด อย่างง่ายโดยใช้การนิยามแบบนิวตันของโมเมนตัมและพลังงาน เราจะเห็นว่าปริมาณเหล่านั้นไม่อนุรักษ์ใน SR เราสามารถกู้แนวคิดของการอนุรักษ์กลับมาโดยทำการปรับนิยามเพื่อให้เข้ากับความเร็วเชิงสัมพัทธภาพ และนี่คือนิยามใหม่ซึ่งแก้ไขแล้วสำหรับโมเมนตัมและพลังงานใน SR

ให้วัตถุมี มวลไม่แปรเปลี่ยน m₀ เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v พลังงานและโมเมตัมจะเป็น (และถูกสั่งให้เป็น)

$E=\gamma m_0{c}^2$

$\overrightarrow{p}=\gamma m_0\overrightarrow{v}$

เมื่อ γ (Lorentz factor) มาจาก

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

และ c คืออัตราเร็วแสง เทอม γ ปรากฏอยู่บ่อย ๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ และมันมาจาก สมการการแปลงแบบลอเรนซ์

พลังงานและโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพมีความสัมพันธ์กันตามสูตร

$E^2-(pc{)}^2=(m_0{c}^2{)}^2$

ซึ่งเรียกว่าเป็น สมการพลังงาน-โมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ (relativistic energy-momentum equation)

สำหรับความเร็วที่น้อยกว่าของแสงมาก ค่า γ สามารถประมาณได้โดยใช้ Taylor series expansion และจะพบว่า

$E\approx m_0{c}^2+\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{m}_0{v}^2$

$\overrightarrow{p}\approx m_0\overrightarrow{v}$

ถ้าไม่มีเทอมแรกในสูตรพลังงาน (จะกล่าวถึงภายหลัง) สูตรเหล่านี้จะสอดคล้องอย่างชัดเจนกับนิยามมาตรฐานของ พลังงานจลน์ และโมเมนตัมแบบนิวตัน นี่เป็นการแสดงว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษต้องสอดคล้องกับกลศาสตร์นิวตันที่ความเร็วต่ำ

เมื่อดูที่สูตรสำหรับพลังงานข้างต้น เราจะเห็นว่าวัตถุ เมื่ออยู่นิ่ง (v = 0 and γ = 1) จะมีพลังงานที่ไม่เท่ากับศูนย์เหลืออยู่ คือ

$E=m_0{c}^2$

พลังงานนี้เรียกว่า พลังงานนิ่ง (rest energy) พลังงานนิ่งไม่ได้เป็นสาเหตุของความขัดแย้งกับทฤษฎีแบบนิวตันเพราะว่ามันเป็นค่าคงที่ และเป็นความแตกต่างในแง่พลังงานซึ่งมีความหมายอย่างยิ่ง ตราบเท่าที่ยังพิจารณาพลังงานจลน์

เมื่อนำสูตรนี้พิจารณาค่า เราจะพบว่าในทฤษฎีสัมพัทธภาพ มวลเป็นเพียงแค่พลังงานรูปแบบหนึ่ง ในปี ค.ศ. 1927 ไอน์สไตน์ได้ตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไว้ว่า

ภายใต้ทฤษฎีนี้ มวลนั้นไม่ใช่ปริมาณใหม่อะไร แต่เป็นเพียงปริมาณที่ขึ้นอยู่กับ (และจริง ๆ แล้ว คือ เหมือนกับ) พลังงาน [1]

สูตรนี้มีความสำคัญเมื่อมีคนวัดมวลนิวคลิไอของอะตอมต่าง ๆ และโดยการดูผลต่างของมวลเหล่านั้น ก็สามารถทำนายได้ว่านิวคลีไอใดมีพลังงานที่เก็บไว้จนสามารถเกิด ปฏิกิริยานิวเคลียร์ ได้ รวมทั้งข้อมูลซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งในการพัฒนา ระเบิดนิวเคลียร์ ผลกระทบของสมการนี้ต่อผู้คนใน ศตวรรษที่ 20 ทำให้มันเป็นหนึ่งในสมการที่มีชื่อเสียงที่สุดในสาขาวิทยาศาสตร์ทั้งหมด

มวลเชิงสัมพัทธภาพ

ในวิชาฟิสิกส์เบื้องต้นและหนังสือเก่า ๆ เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพบางครั้งจะนิยามคำว่า มวลเชิงสัมพัทธภาพ ซึ่งเพิ่มขึ้นเมื่อความเร็วของวัตถุเพิ่มขึ้น ตามการตีความทางเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ มักจะไม่ชอบนิยามนี้ และคำว่า 'มวล' ถูกสงวนไว้สำหรับว่าคำว่า 'มวลนิ่ง' และไม่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง กล่าวคือ มัน ไม่แปรเปลี่ยน

จากการใช้นิยามของมวลเชิงสัมพัทธภาพ มวลวัตถุสามารถแปรเปลี่ยนได้ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยของผู้สังเกตเช่นเดียวกับปริมาณอื่น ๆ เช่น ความยาว การนิยามปริมาณหนึ่ง ๆ บางครั้งมี ประโยชน์ ในการช่วยให้คำนวณง่ายขึ้นโดยจำกัดมันกับกรอบอ้างอิง ยกตัวอย่างเช่น ในการพิจารณาวัตถุซึ่งมีมวลไม่แปรเปลี่ยน m₀ ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วค่าหนึ่งสัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตคนหนึ่ง ผู้สังเกตคนนั้นจะนิยาม มวลเชิงสัมพัทธภาพ ของวัตถุเท่ากับ

$m=\gamma m_0$

"มวลเชิงสัมพัทธภาพ" ไม่ควรสับสนกับนิยามของ "longitudinal" และ "transverse mass" ที่ถูกใช้ในช่วงปี ค.ศ. 1900 และที่ตั้งอยู่บนการประยุกต์ที่ขัดแย้งกันของกฎนิวตัน คือใช้ F=ma สำหรับมวลแปรค่าได้ ในขณะที่มวลเชิงสัมพัทธภาพสัมพันธ์กับมวลเชิงไดนามิกของนิวตัน โดยที่ p=mv และ F=dp/dt

ควรระลึกไว้เช่นกันว่า วัตถุ ไม่ ได้มีมวลมากขึ้นในกรอบอ้างอิง แท้และกรอบอ้างอิงเฉื่อยอื่นๆ (คือ กรอบอ้างอิงที่เห็นวัตถุหยุดนิ่ง :ผู้แปล,หรือกรอบที่เห็นวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่) เพราะมวลเชิงสัมพัทธภาพจะแตกต่างกันไปสำหรับผู้สังเกตในกรอบต่าง ๆ กัน(แท้จริงแล้วคือ Lorentz factor มีค่าต่าง ๆ กัน) มวลที่อิสระจากกรอบ เท่านั้น จึงจะเป็นมวลไม่แปรเปลี่ยน (มวลชิงสัมภัทธภาพ เปลี่ยนไปตามกรอบอ้างอิง แต่ไม่มีความจำเป็นที่จะนิยาม มวลเชิงสัมพัทธภาพขึ้นมาเลย)เมื่อใช้มวลเชิงสัมพัทธภาพ กรอบอ้างอิงที่ใช้ต้องระบุให้ชัดเจนหากมันไม่ชัดเจนหรือแสดงออกมา มันเป็นไปโดยไม่ได้กล่าวว่า การเพิ่มขึ้นในมวลเชิงสัมพัทธภาพไม่ได้มาจากจำนวนอะตอมที่เพิ่มขึ้นในวัตถุ แต่แทนที่จะเป็นอย่างนั้น มวลเชิงสัมพัทธภาพของแต่ละอะตอมและอนุภาคเล็กกว่าอะตอมก็ไม่เพิ่มขึ้น แต่พลังงานในการเคลื่อนที่เพิ่มขึ้น และเราตีความว่ามวลคือพลังงานนั่นเองแท้จริงแล้วธรรมชาติของมวลและพลังงานต่างกันมาก

หนังสือเรียนฟิสิกส์เก่า ๆ บางครั้งจะใช้มวลเชิงสัมพัทธภาพเพราะมันยอมให้นักเรียนได้ใช้ความรู้ของฟิสิกส์แบบนิวตันเพื่อจะได้เข้าใจในทฤษฎีสัมพัทธภาพในกรอบอ้างอิงของตัวเลือก (ซึ่งมักจะเป็นของตัวเอง!) "มวลเชิงสัมพัทธภาพ" ยังสอดคล้องกับแนวคิดของ "การยืดออกของเวลา" และ "การหดสั้นของระยะทาง"

แรง

นิยามแบบคลาสสิกของแรง F กำหนดโดย กฎข้อที่สองของนิวตัน ในรูปแบบดั้งเดิม

$\overrightarrow{F}=d\overrightarrow{p}/dt$

และใช้ได้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ

หนังสือเรียนสมัยใหม่ มักจะเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันใหม่เป็น

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$

รูปแบบนี้ใช้ไม่ได้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพและกรณีอื่นใดที่มวล m แปรเปลี่ยน

สำหรับมวลคงที่ m₀ สูตรดังกล่าวสามารถเขียนแทนได้ ในกรณีสัมพัทธภาพ จะเป็น

$\overrightarrow{F}=\gamma m_0\overrightarrow{a}+{\gamma }^3{m}_0\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{a}}{c^2}\overrightarrow{v}$

จากการมองสมการนี้ จะพบว่าแรงและเวกเตอร์ความเร่งไม่เป็นจำเป็นต้องขนานกันในทฤษฎีสัมพัทธภาพ

เรขาคณิตของปริภูมิ-เวลา

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษใช้ปริภูมิ-เวลาแบบมินคอฟสกีสี่มิติแบบราบ ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของ ปริภูมิ-เวลา อย่างไรก็ตาม ปริภูมิแบบนี้คล้ายกับปริภูมิแบบยูคลิดสามมิติมาตรฐานอย่างมาก และโชคดีคือว่าด้วยเหตุนั้น มันง่ายมากที่จัดการกับมัน

ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของระยะทาง(ds) ในปริภูมิสามมิติแบบคาร์ทีเซียน นิยามโดย

$d{s}^2=d{x}_1^2+d{x}_2^2+d{x}_3^2$

เมื่อ $(d{x}_1,d{x}_2,d{x}_3)$ เป็นผลต่างเชิงอนุพันธ์ของมิติตามแกนทั้งสาม ในเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพ มิติที่สี่ คือ เวลา ได้ถูกเพิ่มเข้าไป พร้อมกับหน่วยของ c นั่นทำให้สมการสำหรับดิฟเฟอเรนเชียลของระยะทาง กลายเป็น

$d{s}^2=d{x}_1^2+d{x}_2^2+d{x}_3^2-c^{2}d{t}^2$

ถ้าเราอยากทำให้พิกัดของเวลาดูเหมือนพิกัดของปริภูมิ เราสามารถทำให้เวลาเป็นจำนวนจินตภาพ: x₄ = ict . ในกรณีนี้ สมการข้างต้นจะสมมาตร

$d{s}^2=d{x}_1^2+d{x}_2^2+d{x}_3^2+d{x}_4^2$

นี่แสดงให้เห็นมุมมองทางทฤษฎีที่ลึกซึ้งเมื่อมันแสดงว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพเป็นการ สมมาตรเชิงหมุน ของ ปริภูมิ-เวลา ซึ่งคล้ายกับสมมาตรเชิงหมุนของ ปริภูมิแบบยูคลิด อย่างมาก หากเป็นปริภูมิแบบยูคลิดจะใช้ Euclidean metric ดังนั้นปริภูมิ-เวลาจะใช้ Minkowski metric ตาม Misner (1971 §2.3) แล้ว ความเข้าใจในเชิงลึกทั้งหมดของทั้งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไปจะมาจากการศึกษา Minkowski metric (จะบรรยายในภายหลัง) มากกว่า Euclidean metric "ปลอม" ที่ใช้ ict เป็นพิกัดเวลา

ถ้าเราลดแกนของปริภูมิลงเป็น 2 จนทำให้เราสามารถใช้ฟิสิกส์ในปริภูมิ 3 มิติ

$d{s}^2=d{x}_1^2+d{x}_2^2-c^{2}d{t}^2$

เราจะเห็นว่า null geodesics จะวางตัวตามกรวยคู่

ซึ่งนิยามโดยสมการ

$d{s}^2=0=d{x}_1^2+d{x}_2^2-c^{2}d{t}^2$

หรือ

$d{x}_1^2+d{x}_2^2=c^{2}d{t}^2$

ซึ่งเป็นสมการของวงกลมซึ่ง r=c*dt ถ้าเราขยายผลนี้เป็นปริภูมิสามมิติ null geodesics จะเป็นกรวย 4 มิติ

$d{s}^2=0=d{x}_1^2+d{x}_2^2+d{x}_3^2-c^{2}d{t}^2$

$d{x}_1^2+d{x}_2^2+d{x}_3^2=c^{2}d{t}^2$

null dual-cone นี้แทน "แนวการมองเห็น" ของจุดในปริภูมิ กล่าวคือ เมื่อเรามองไปที่ดวงดาวและกล่าวว่า "แสงจากดาวที่ฉันรับได้มีอายุ X ปี" หมายความว่าเรากำลังมองลงไปตามแนวการมองเห็นนี้ คือ null geodesic เรากำลังมองเหตุการณ์หนึ่งที่ห่างออกไป $d=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ เมตร และ d/c วินาทีในอดีต ด้วยเหตุผลดังกล่าว null dual cone จึงรู้จักกันในนาม 'กรวยแสง' (จุดในมุมซ้ายล่างของภาพแทนดวงดาว จุดกำเนิดแทนตัวผู้สังเกต และเส้นเชื่อมนั้นแทน null geodesic "แนวการมองเห็น")

กรวยในเขต -t เป็นข้อมูลที่จุดนั้นกำลัง 'รับ' ในขณะที่กรวยในเขต +t เป็นข้อมูลที่จุดนั้นกำลัง 'ส่ง'

เรขาคณิตของปริภูมิ-เวลาแบบมินคอฟสกี สามารถพรรณนาได้โดยใช้ Minkowski diagrams ซึ่งมีประโยชน์เช่นกันในความเข้าใจการทดลองทางความคิดต่าง ๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ฟิสิกส์ในปริภูมิ-เวลา

บัดนี้ เราจะได้เห็นวิธีการเขียนสมการของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในรูปแบบที่ไม่แปรเปลี่ยนอย่างชัดเจน ตำแหน่งของเหตุการณ์หนึ่ง ๆ ในปริภูมิ-เวลา สามารถกำหนดโดย contravariant four vector ซึ่งมีองค์ประกอบ คือ

$x^{\nu }=(t,x,y,z)$

หมายความว่า $x^0=t$ และ $x^1=x$ และ $x^2=y$ และ $x^3=z$. ตัวยกเป็นดัชนีของ contravariant indices ในส่วนนี้มากกว่าจะเป็นเลขชี้กำลังเว้นเสียแต่ว่าเมื่อมันหมายถึงยกกำลังสอง ส่วนตัวห้อยเป็น covariant indices ซึ่งเรียงจากศูนย์ไปถึงสามเมื่อใช้กับ spacetime gradient ของสนาม φ:

${\partial }_0\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial t},{\partial }_1\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x},{\partial }_2\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial y},{\partial }_3\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial z}.$

เมตริกซ์และการแปลงพิกัด

จากการระลึถึงธรรมชาติสี่มิติของปริภูมิ-เวลา เราถูกชักจูงให้สร้าง Minkowski metric, η, กำหนดให้มีองค์ประกอบ (ใช้ได้ใน กรอบอ้างอิงเฉื่อย ใด ๆ) คือ

${\eta }_{\alpha \beta }=\left(\begin{array}{cccc}-c^2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

และส่วนกลับของมันคือ

${\eta }^{\alpha \beta }=\left(\begin{array}{cccc}-1/c^2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

ภายใต้เงื่อนไข

${\eta }_{\alpha \beta }{\eta }^{\alpha \beta }=I$

จากนั้น เราระลึกได้ว่าการแปลงพิกัดระหว่างกรอบอ้างอิงเฉื่อยนั้นกำหนดโดย Lorentz transformation tensor Λ. สำหรับกรณีพิเศษของการเคลื่อนที่ตามแนวแกน x เราจะได้

$\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma /c& 0& 0\\ -\beta \gamma c& \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t\\ x\\ y\\ z\end{array}\right)$

หรือ

${\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}{}_{\nu }=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma /c& 0& 0\\ -\beta \gamma c& \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

ซึ่งก็คือ matrix of a boost (เช่นการหมุน) ระหว่างพิกัด x กับ t เมื่อ μ' บอกแถว และ ν บอกคอลัมน์ ค่า β และ γ ยังนิยามเป็น

$\beta =\frac{v}{c},\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.$

เพื่อให้ทั่วไปยิ่งขึ้น การแปลงจากกรอบอ้างอิงหนึ่ง (ซึ่งไม่สนการแปลงเพื่อความเรียบง่าย) ไปยังอีกกรอบ ต้องทำให้

${\eta }_{\alpha \beta }={\eta }_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}{}_{\alpha }{\mathrm{\Lambda }}^{{\nu }^{\prime }}{}_{\beta }$

เมื่อมี implied summation ของ ${\mu }^{\prime }$ และ ${\nu }^{\prime }$ จาก 0 ถึง 3 บนหลักมือขวาซึ่งสอดคล้องกับ Einstein summation convention Poincaré group เป็นกลุ่มที่ทั่วไปที่สุดของการแปลงซึ่งยังคงรักษาi Minkowski metric ไว้ และนี่เป็นสมมาตรทางกายภาพภายใต้ทฤษฎีสัมพัทธภาพอีกด้วย

ปริมาณทางกายภาพแท้ทั้งหมดกำหนดโดยเทนเซอร์ ดังนั้นเพื่อการแปลงกรอบหนึ่งไปยังอีกกรอบหนึ่ง เราใช้จะกฎที่รู้จักกันดีในชื่อ tensor transformation law

$T_{[{j_1}^{\prime },{j_2}^{\prime },...{j_q}^{\prime }]}^{[{i_1}^{\prime },{i_2}^{\prime },...{i_p}^{\prime }]}={\mathrm{\Lambda }}^{{i_1}^{\prime }}{}_{i_1}{\mathrm{\Lambda }}^{{i_2}^{\prime }}{}_{i_2}...{\mathrm{\Lambda }}^{{i_p}^{\prime }}{}_{i_p}{\mathrm{\Lambda }}_{{j_1}^{\prime }}{}^{j_1}{\mathrm{\Lambda }}_{{j_2}^{\prime }}{}^{j_2}...{\mathrm{\Lambda }}_{{j_q}^{\prime }}{}^{j_q}{T}_{[j_1,j_2,...j_q]}^{[i_1,i_2,...i_p]}$

เมื่อ ${\mathrm{\Lambda }}_{{j_k}^{\prime }}{}^{j_k}$ เป็นเมตริกซ์ส่วนกลับของ ${\mathrm{\Lambda }}^{{j_k}^{\prime }}{}_{j_k}$.

เพื่อให้เห็นว่ามันมีประโยชน์อย่างไร เราจะแปลงตำแหน่งของเหตุการณ์หนึ่งจากระบบพิกัดไม่มีเครื่องหมายไพรม์ S ไปยังระบบมีไพรม์ S' เราคำนวณได้ว่า

$\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=x^{{\mu }^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}{}_{\nu }{x}^{\nu }=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma /c& 0& 0\\ -\beta \gamma c& \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t\\ x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\gamma t-\gamma \beta x/c\\ \gamma x-\beta \gamma ct\\ y\\ z\end{array}\right)$

ซึ่งการแปลงแบบลอเรนซ์ให้ผลเหมือนกัน เทนเซอร์ทุกตัวแปลงด้วยกฎเดียวกัน

ความยาวกำลังสองของดิฟเฟอเรนเชียลของ position four-vector $d{x}^{\mu }$ ซึ่งหาได้โดย

${𝐝𝐱}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=-(c\cdot dt{)}^2+(dx{)}^2+(dy{)}^2+(dz{)}^2$

เป็นปริมาณไม่แปรเปลี่ยน การไม่แปรเปลี่ยนหมายความว่ามันให้ค่าเดิมเสมอในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อย เพราะมันเป็นสเกลาร์ (0 rank tensor) และดังนั้นจึงไม่มี Λ ปรากฏในการแปลงเล็ก ๆ น้อย ๆ ระลึกไว้ว่าเมื่อ line element ${𝐝𝐱}^2$ เป็นลบ $d\tau =\sqrt{-{𝐝𝐱}^2}/c$จะเป็นดิฟเฟอเรนเชียลของ proper time ในขณะที่ เมื่อ ${𝐝𝐱}^2$ เป็นบวก $\sqrt{{𝐝𝐱}^2}$ จะเป็นดิฟเฟอเรนเชียลของ proper distance

ค่าพื้นฐานของการจัดรูปสมการทางฟิสิกส์ในรูปของเทนเซอร์ คือสิ่งที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้the Poincaré group อย่างชัดเจน จนทำให้เราไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณเพิ่มเติมที่น่าเบื่อหน่ายเพื่อตรวจสอบความจริงนี้ เช่นเดียวกับการสร้างสมการ เรามักพบว่าสมการที่ตอนแรกดูจะไม่เกี่ยวข้องกันนั้น อันที่จริงแล้ว มันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดในการเป็นส่วนหนึ่งของสมการเทนเซอร์เดียวกัน

ความเร็วและความเร่งใน 4 มิติ

การเขียนปริมาณทางกายภาพอื่น ๆ เป็นเทนเซอร์สามารถนำมาซึ่งกฎการแปลงได้เรียบง่ายขึ้นเช่นกัน อย่างแรก ระลึกไว้ว่า velocity four-vector U^μ กำหนดโดย

$U^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }=\left(\begin{array}{c}\gamma \\ \gamma v_x\\ \gamma v_y\\ \gamma v_z\end{array}\right)$

จากการเขียนเช่นนี้ เราสามารถกลับมามองกฎการรวมความเร็วในรูปแบบอย่างง่ายเกี่ยวกับการแปลง velocity four-vector ของอนุภาคจากกรอบอ้างอิงหนึ่งไปยังอีกกรอบหนึ่ง U^μ จึงมีรูปแบบไม่แปรเปลี่ยน คือ

${𝐔}^2={\eta }_{\nu \mu }{U}^{\nu }{U}^{\mu }=-c^2.$

ดังนั้น velocity four-vector ทุกตัวจึงมีขนาดเท่ากับ c นี่เป็นสิ่งที่บอกความจริงว่าไม่มีวัตถุใดอยู่นิ่งในสัมพัทธภาพ อย่างน้อยที่สุด คุณก็ต้องเคลื่อนที่ไปในเวลา acceleration 4-vector กำหนดโดย $A^{\mu }=d{𝐔}^{\mu }/d\tau$. เมื่อได้ดังนั้น ทำการ differentiate สมการข้างต้นด้วย τ จะได้

$2{\eta }_{\mu \nu }{A}^{\mu }{U}^{\nu }=0.$

ดังนั้นในทฤษฎีสัมพัทธภาพ acceleration four-vector กับ velocity 4-vector ตั้งฉากกัน

โมเมนตัมใน 4 มิติ

โมเมนตัมและพลังงานรวมอยู่ใน covariant 4-vector:

$p_{\nu }=m\cdot {\eta }_{\nu \mu }{U}^{\mu }=\left(\begin{array}{c}-E\\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right).$

เมื่อ m คือ มวลไม่แปรเปลี่ยน

ปริมาณไม่แปรเปลี่ยน (invarient) ของ momentum 4-vector คือ:

${𝐩}^2={\eta }^{\mu \nu }{p}_{\mu }{p}_{\nu }=-(E/c{)}^2+p^2.$

เราสามารถทำออกมาได้ว่า ค่าไม่แปรเปลี่ยนนี้ เนื่องจากมันเป็นสเกลาร์ จึงไม่เกี่ยวข้องกับว่าเราใช้กรอบอ้างอิงไหนในการคำนวณ หลังจากนั้นโดยการแปลงกรอบที่ทำให้โมเมนคัมรวมเป็นศูนย์

${𝐩}^2=-(E_{rest}/c{)}^2=-(m\cdot c{)}^2.$

เราจะพบว่า พลังงานนิ่งเป็นค่าไม่แปรเปลี่ยนซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง พลังงานนิ่งสามารถคำนวณได้แม้ในระบบที่อนุภาคและระบบกำลังเคลื่อนที่ เพียงแปลงกรอบไปยังกรอบที่ทำให้โมเมนตัมเป็นศูนย์เท่านั้น

พลังงานนิ่งสัมพันธ์กับมวลตามสมการอันน่ายินดีที่เราได้พูดถึงไปแล้ว

$E_{rest}=m{c}^2$

ระลึกไว้ว่า มวลของระบบวัดในกรอบศูนย์กลางของโมเมนตัม (center of momentum frame) (เมื่อโมเมนตัมลัพธ์เป็นศูนย์) นั้นกำหนดโดยพลังงานรวมของระบบในกรอบอ้างอิงนั้น มันไม่ได้เท่ากับผลรวมของมวลแต่ละก้อนที่วัดในกรอบอ้างอิงอื่น

แรงใน 4 มิติ

เมื่อใช้ กฎข้อที่สามของนิวตัน แรงทั้งสองต้องนิยามจากอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมซึ่งใช้พิกัดเวลาเดียวกัน กล่าวคือ เราต้องใช้แรงใน 3 มิติในการนิยามข้างต้น โชคร้ายที่ไม่มีเทนเซอร์ใน 4 มิติใดที่บรรจุองค์ประกอบของเวกเตอร์แรง 3 มิติตามองค์ประกอบต่าง ๆ ของมัน

ถ้าวัตถุไม่ได้เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว c เราสามารถแปลงแรงใน 3 มิติจากกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ร่วมไปกับวัตถุไปยังกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตได้ นั่นนำมาซึ่ง 4-vector ซึ่งเรียกว่า four-force มันคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ four-vector พลังงาน-โมเมนตัม เทียบกับ proper time รูป covariant version ของ four force คือ

$F_{\nu }=\frac{d{p}_{\nu }}{d\tau }=\left(\begin{array}{c}-dE/d\tau \\ d{p}_x/d\tau \\ d{p}_y/d\tau \\ d{p}_z/d\tau \end{array}\right)$

เมื่อ $\tau$ คือ proper time

ในกรอบนิ่งของวัตถุ องค์ประกอบเวลาของ four force จะเป็นศูนย์จนกว่า "มวลไม่แปรเปลี่ยน" ของวัตถุนั้นจะเปลี่ยนแปลง โดยที่ มันจะเท่ากับค่าลบของอัตราการเปลี่ยนแปลงคูณ c² อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วองค์ประกอบของ four force ไม่ได้เท่ากับองค์ประกอบของแรงสามมิติ เพราะว่าแรงในสามมิตินิยามโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเทียบกับเวลาของพิกดันั้น กล่าวคือ $\frac{dp}{dt}$ ในขณะที่ four force นิยามโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเทียบกับ proper time นั่นคือ $\frac{dp}{d\tau }$.

ใน continuous medium density of force3 มิติรวมกับ density of power เพื่อสร้าง covariant 4-vector องค์ประกอบเชิงปริภูมิมาจากผลการหารแรงที่กระทำต่อเซลล์เล็กจิ๋ว (ใน 3 มิติ) โดยปริมาตรของเซลล์นั้น ส่วนองค์ประกอบเชิงเวลามาจากค่าลบของกำลังที่ส่งผ่านไปยังเซลล์หารด้วยปริมาตรของเซลล์นั้น เวกเตอร์นี้จะนำไปใช้ในเรื่องแม่เหล็กไฟฟ้าด้านล่างต่อไป

สัมพัทธภาพกับการรวมสนามแม่เหล็กไฟฟ้า

การแปลงแบบลอเรนซ์ของ สนามไฟฟ้า ของประจุซึ่งเคลื่อนที่ไปในกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตซึ่งไม่ได้เคลื่อนที่ ให้ผลการปรากฏของเทอมทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันทั่วไปในนาม สนามแม่เหล็ก ในทางกลับกัน สนาม แม่เหล็กที่เกิดขึ้นจากประจุซึ่งเคลื่อนที่จะหายไปและกลายเป็นสนาม ไฟฟ้าสถิต ทั้งหมดในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไปกับประจุ สมการของแมกซ์เวลล์ จึงเข้ากันอย่างเห็นไห้ชัดกับผลเชิงสัมพัทธภาพพิเศษในแบบจำลองคลาสสิกของเอกภพ เมื่อสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงและสัมพันธ์กัน จึงเรียกว่าสนาม แม่เหล็กไฟฟ้า ทั้งนี้ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษได้ให้กฎการแปลงสำหรับวิธีที่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าในกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งไปยังอีกกรอบอ้างอิงเฉื่อยอีกอันหนึ่ง

ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าใน 4 มิติ

สมการของแมกซ์เวลล์ ในรูปแบบสามมิตินั้นสอดคล้องกับเนื้อความเชิงกายภาพของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษอยู่แล้ว แต่เราต้องเขียนมันใหม่เพื่อทำให้มันมีความไม่แปรเปลี่ยนอย่างชัดเจน

ความหนาแน่นประจุ $\rho$ และความหนาแน่นกระแส $[J_x,J_y,J_z]$ สามารถรวมกันใน current-charge 4-vector:

$J^{\mu }=\left(\begin{array}{c}\rho \\ J_x\\ J_y\\ J_z\end{array}\right)$

กฎ การอนุรักษ์ประจุ จึงกลายเป็น

${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0.$

สนามไฟฟ้า $[E_x,E_y,E_z]$ และ magnetic induction $[B_x,B_y,B_z]$ รวมกันใน (rank 2 antisymmetric covariant) electromagnetic field tensor

$F_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x& -E_y& -E_z\\ E_x& 0& B_z& -B_y\\ E_y& -B_z& 0& B_x\\ E_z& B_y& -B_x& 0\end{array}\right)$

ความหนาแน่นของ แรงลอเรนซ์ $f_{\mu }$ กระทำต่อวัตถุโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะกลายเป็น

$f_{\mu }=F_{\mu \nu }{J}^{\nu }.$

กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ และ กฎของเกาส์ สำหรับสนามแม่เหล็กรวมกันในรูป

${\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{F}_{\nu \lambda }+{\partial }_{\nu }{F}_{\lambda \mu }=0.$

ถึงแม้ว่าจะมีสมการปรากฏขึ้นถึง 64 สมการในที่นี้ จริง ๆ แล้วมันจะลดลงเหลือเพียงสี่สมการที่ไม่ขึ้นจากกัน โดยการใช้ antisymmetry ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า เราสามารถลดรูปเหลือ identity (0=0) หรือไม่ก็ลบสามารถทั้งหมดออกไปยกเว้นสมาการที่มี λ,μ,ν = 1,2,3 หรือ 2,3,0 หรือ 3,0,1 หรือ 0,1,2.

electric displacement $[D_x,D_y,D_z]$ และ magnetic field $[H_x,H_y,H_z]$ รวมกันเป็น (rank 2 antisymmetric contravariant) electromagnetic displacement tensor

${𝒟}^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& D_x& D_y& D_z\\ -D_x& 0& H_z& -H_y\\ -D_y& -H_z& 0& H_x\\ -D_z& H_y& -H_x& 0\end{array}\right)$

กฎของแอมแปร์ และ กฎของเกาส์ รวมกันในรูป

${\partial }_{\nu }{𝒟}^{\mu \nu }=J^{\mu }.$

ในสุญญากาศ constitutive equations คือ

${\mu }_0{𝒟}^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \alpha }{\eta }^{\nu \beta }{F}_{\alpha \beta }.$

Antisymmetry ลดสมการทั้ง 16 สมการนี้เหลือเพียงหกสมการที่ไม่ขึ้นจากกัน

ความหนาแน่นพลังงาน ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้ารวมกันกับ with Poynting vector และ Maxwell stress tensor เพื่อสร้างเป็น stress-energy tensor 4 มิติ มันคือ (ความหนาแน่น) ฟลักซ์ของ momentum 4-vector ในรูป rank 2 mixed tensor มันสามารถเขียนเป็น

$T_{\alpha }^{\pi }=F_{\alpha \beta }{𝒟}^{\pi \beta }-\frac{1}{4}{\delta }_{\alpha }^{\pi }{F}_{\mu \nu }{𝒟}^{\mu \nu }$

เมื่อ ${\delta }_{\alpha }^{\pi }$ คือ Kronecker delta เมื่อดัชนีตัวบนต่ำกว่า η มันจะสมมาตรและเป็นส่วนหนึ่งของแหล่งกำเนิดสนามโน้มถ่วง

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและพลังงานโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถเขียนเป็น

$f_{\mu }+{\partial }_{\nu }{T}_{\mu }^{\nu }=0$

เมื่อ $f_{\mu }$ คือความหนาแน่นของ แรงลอเรนซ์ สมการนี้สามารถสรุปได้จากสมการข้างต้นที่ผ่านมา (กับความพยายามอย่างสำคัญ)

สถานะ

ทฤษฎีสัมพัทธภาพจะถูกต้องเมื่อ ศักย์โน้มถ่วง น้อยกว่า c² มาก ๆ ในสนามโน้มถ่วงที่เข้ม เราต้องใช้ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (ซึ่งกลายเป็นสัมพัทธภาพพิเศษที่สนามอ่อน ๆ) ที่ระดับเล็กมากเช่นที่ระดับ ความยาวพลังค์ และต่ำลงไป ผลทางควอนตัมต้องถูกนำไปใช้พิจารณายังผลใน quantum gravity อย่างไรก็ตาม ที่ระดับโตและในที่ที่ปลอดสนามโน้มถ่วงเข้ม ๆ ทฤษฎีสัมพัทธภาพถูกทดสอบในเชิงทดลองได้ผลถูกต้องในระดับที่แม่นยำมาก (10^-14) จึงได้รับการยอมรับจากสังคมฟิสิกส์ในทีสุด ผลการทดลองซึ่งพบว่าขัดแย้งกับทฤษฎีจะไม่อาจอยู่ได้ต่อไป และถูกเชื่อว่าที่เป็นเช่นนั้นเนื่องจากความผิดพลาดของการทดลอง

เนื่องจากความอิสระในการเลือกนิยามหน่วยของความยาวและเวลาในฟิสิกส์ มันจึงเป็นไปได้ที่จะสร้างผลสรุปของนิยามเชิง สัจนิรันดร์ จากหนึ่งในสองของสมมติฐานจากทฤษฎีสัมพัทธภาพ แต่เราไม่สามารถทำสิ่งเหล่านี้สำหรับสมมติฐานสองอย่างพร้อมกัน เพราะเมื่อรวมกัน พวกมันจะให้ผลสรุปซึ่งอิสระจากการเลือกนิยามความยาวและเวลา

ทฤษฎีสัมพัทธภาพนั้นสอดคล้องในตัวเองในเชิงคณิตศาสตร์ และมันเป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีเชิงกายภาพยุคใหม่ทั้งหมด เช่น ทฤษฎีสนามควอนตัม, ทฤษฎีสตริง, และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (ในกรณีจำกัดที่ลืมสนามโน้มถ่วงได้)

กลศาสตร์นิวตันก็สอดคล้องในเชิงคณิตศาสตร์กับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษที่ความเร็วน้อย ๆ (เทียบกับอัตราเร็วแสง) ดังนั้นกลศาสตร์นิวตันสามารถพิจารณาเท่ากับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ช้าได้ ดู สถานะของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

การทดลองส่วนหนึ่งที่นำมาซึ่งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

• การทดลองของ Trouton-Noble แสดงให้เห็นว่าทอร์กของตัวเก็บประจุนั้นไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งและกรอบอ้างอิงเฉื่อย การทดลองนี้นำมาสู่สมมติฐานข้อแรก
• การทดลองของไมเคิลสัน-เมอร์เลย์ อันโด่งดังแสดงให้เห็นถึงความไม่แปรเปลี่ยนเชิงทิศทางของอัตราเร็วแสงสองทาง — "อัตราเร็วแสง" จึงนิยามเป็นสมมติฐานข้อที่สอง

การทดลองหลายอย่างนำมาสู่การทดสอบทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษต้านกับทฤษฎีคู่แข่ง รวมทั้งการทดลองเหล่านี้

• การทดลองของ Kaufman — การสะท้อนของอิเล็กตรอนซึ่งเป็นไปตามe Lorentz-Einstein prediction อย่างชัดเจน
• การทดลองของ Hamar experiment — ไม่มี "การต้านทานเนื่องจากการไหลของอีเทอร์"
• การทดลองของ Kennedy-Thorndike — การยืดออกของเวลาเป็นไปตามการแปลงแบบลอเรนซ์
• การทดลองของ Rossi-Hall — ผลเชิงสัมพัทธภาพที่มีต่อครึ่งชีวิตของอนุภาคซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูง
• การทดลองเพื่อทดสอบ emitter theory แสดงให้เห็นว่าอัตราเร็วแสงไม่ขึ้นอยู่กับอัตราเร็วของตัวเปล่งแสง

นอกจากนี้ เครื่องเร่งอนุภาคกำลังทำงานอยู่ทุกวันนี้ในหลายที่ของโลก และมันเร่งและวัดสมบัติของอนุภาคซึ่งเคลื่อนที่ใกล้ความเร็วแสงอยู่เสมอ ผลหลายอย่างที่พบในเครื่องเร่งอนุภาคสอดคล้องอย่างยิ่งกับทฤษฎีสัมพัทธภาพและขัดแย้งอย่างยิ่งกับ กลศาสตร์นิวตัน ก่อนหน้านั้น

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีสัมพัทธภาพ
• ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป