การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง

แม่แบบ:ต้องการอ้างอิง แม่แบบ:ลิงก์ไปภาษาอื่น การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง (แม่แบบ:Langx) เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบหนึ่งซึ่งทำการแมพฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกฟังก์ชันหนึ่ง อีกนัยหนึ่งการแปลงฟูรีเยนั้นเป็นการแยกองค์ประกอบของฟังก์ชัน ตามสเปกตรัมของความถี่ที่มีค่าต่อเนื่อง และใช้หมายถึง ค่าสัญญาณใน "โดเมนของความถี่" ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม

(ดูเพิ่มเติมที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย)

นิยาม

สมมุติ f เป็นฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และสามารถหาปริพันธ์ลูเบกได้ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง F และการแปลงกลับ จะกำหนดโดย

การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง	การแปลงกลับ
$ℱ\{f(t)\}=F(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt$	${ℱ}^{-1}\{F(\omega )\}=f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )e^{\mathrm{i}\omega t}d\omega$

โดยที่ จำนวนจริง ω คือค่าความถี่เชิงมุม และมีค่าของการแปลง F(ω) เป็นจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย ขนาด และ มุม ขององค์ประกอบของฟังก์ชัน f(t) ที่แต่ละความถี่

สัมประสิทธิ์ของการปรับขนาด (normalization factor) $1/\sqrt{2\pi }$ ที่อยู่ในส่วนการแปลง และ การแปลงกลับนั้น สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยมีเงื่อนไขที่ผลคูณของสัมประสิทธิ์การแปลงไปและกลับ จะต้องเท่ากับ $1/2\pi$ เช่น อาจเลือกสัมประสิทธิ์ของการแปลงเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์ของการแปลงกลับเท่ากับ $1/2\pi$ (ซึ่งเป็นค่าที่นิยมใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม ส่วนค่าสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในนิยามด้านบนนั้นนิยมใช้ในทางคณิตศาสตร์เนื่องจากความสมมาตร) เหตุผลของเงื่อนไขผลคูณของสัมประสิทธิ์นี้ เพื่อให้การแปลงครบรอบนั้นเป็นการแปลงเอกลักษณ์ เช่น เมื่อทำการแปลง f(t) ไปเป็น F(ω) และแปลงกลับ จะได้ f(t) โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด เรียกคุณสมบัติว่า ยูนิแทรี (unitary)

ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม อาจใช้การแปลงไปเป็นฟังก์ชันของความถี่ แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม ω นิยมใช้สัญลักษณ์ f หรือ $\nu$ แทนความถี่โดยที่ $f=2\pi \omega$

ตารางต่อไปนี้สรุปการแปลงฟูรีเยต่อเนื่องแบบต่างๆ ที่นิยมใช้ เพื่อป้องกันความสับสน ในตารางข้างล่างนี้ f หมายถึงความถึ่ ส่วนฟังก์ชัน ใช้ x(t) แทน f(t) ส่วนเนื้อหาในหัวข้อถัดๆไป จะใช้การแปลงแบบแรกในตารางเป็นหลัก

สรุปรูปแบบที่นิยมของการแปลงฟูรีเย

ความถี่เชิงมุม $\omega$ (rad/s)	ยูนิแทรี	$X_1(\omega )\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{X}_2(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{X}_3\left(\frac{\omega }{2\pi }\right)$ $x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_1(\omega )e^{i\omega t}d\omega$
	ไม่เป็นยูนิแทรี	$X_2(\omega )\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-i\omega t}dt=\sqrt{2\pi }{X}_1(\omega )=X_3\left(\frac{\omega }{2\pi }\right)$ $x(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(\omega )e^{i\omega t}d\omega$
ความถี่ $f$ (hertz)	ยูนิแทรี	$X_3(f)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-i2\pi ft}dt=\sqrt{2\pi }{X}_1(2\pi f)=X_2(2\pi f)$ $x(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_3(f)e^{i2\pi ft}df$

รูปทั่วไป

คู่ของการแปลงไปกลับดังกล่าวข้างต้น จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปดังนี้

$F(\omega )=\sqrt{\frac{|b|}{(2\pi {)}^{1-a}}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-ib\omega t}dt$

$f(t)=\sqrt{\frac{|b|}{(2\pi {)}^{1+a}}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )e^{ib\omega t}d\omega$

โดยที่ ค่าคงที่ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่สามารถเลือกได้โดยอิสระตามบริบท ของการประยุกต์ใช้งาน ตามบริบทของบทความนี้ในนิยามข้างต้นเลือก $(a,b)=(0,1)$ สำหรับการแปลงไม่เป็นยูนิทารี $(a,b)=(1,1)$

ค่า a และ b ที่นิยมใช้ใน การประมวลผลสัญญาณคือ $(a,b)=(0,2\pi )$ ซึ่งในกรณีนี้ $\omega$ จะหมายถึงความถี่ (แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม) และมักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\nu$ หรือ f ในกรณีที่ a และ b เป็นค่าที่มีหน่วย ผลคูณของทั้งสองจะต้องเป็นค่าทีไม่มีหน่วย เช่น หาก a มีหน่วยเวลา b จะมีหน่วยเป็น เฮิรตซ์ หรือ เรเดียนต่อวินาที

การแปลงในมิติที่สูงขึ้น

สำหรับฟังก์ชัน f(x) ของ เวกเตอร์ x ซึ่งเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิมิติ N และ k (หรือเรียก เวกเตอร์คลื่น) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิของการแปลง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องจะกำหนดโดย

$F(𝐤)={\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\right)}^N\underset{{ℝ}^N}{\int }f(𝐱)e^{-i𝐤\cdot 𝐱}d𝐱$

โดยที่ dx เป็นอนุภาคของปริมาตรในมิติ N และสัญลักษณ์การคูณในค่ายกกำลัง หมายถึง การคูณภายใน (dot product) และจากคุณสมบัติ ออทอโกนัล ในมิติ N:

$\delta (𝐤)={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^N\underset{{ℝ}^N}{\int }{e}^{\pm i𝐤\cdot 𝐱}d𝐱$

เราจะได้การแปลงกลับ ดังนี้:

$f(𝐱)={\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\right)}^N\underset{{ℝ}^N}{\int }F(𝐤)e^{+i𝐤\cdot 𝐱}d𝐤$

คู่ของการแปลง

ตรารางแสดงคู่ของการแปลงที่สำคัญ โดยใช้การแปลงตามนิยามในตอนต้นของบทความ โดยที่สัญลักษณ์ $f(t)⟺F(\omega )$ หมายถึง $ℱ\{f(t)\}=F(\omega )$

คุณสมบัติ	ฟังก์ชัน		ผลการแปลงฟูรีเย
	$f(t),g(t)$	$⟺$	$F(\omega ),G(\omega )$
ความเป็นเชิงเส้น	$af(t)+bg(t)$	$⟺$	$aF(\omega )+bG(\omega )$
การสลับ *	$F(t)$	$⟺$	$f(-\omega )$
การเลื่อน (translation)	$f(t-a)$	$⟺$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$
การมอดูเลต (modulation)	$e^{iat}f(t)$	$⟺$	$F(\omega -a)$
สังยุค (conjugation)	$\overline{f(t)}$	$⟺$	$\overline{F(-\omega )}$
การสเกล	$f\left(\frac{t}{a}\right)$	$⟺$	$|a|F(a\omega )$
การคอนโวลูท (convolution) *	$(f*g)(t)$	$⟺$	$\sqrt{2\pi }F(\omega )G(\omega )$
การคูณ *	$f(t)g(t)$	$⟺$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(F*G)(\omega )$
อนุพันธ์ของเวลา	$f^{(n)}(t)$	$⟺$	$(i\omega {)}^{n}F(\omega )$
อนุพันธ์ของความถี่	$(-it{)}^{n}f(t)$	$⟺$	$F^{(n)}(\omega )$
ปฏิยานุพันธ์ของเวลา	$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau$	$⟺$	$\frac{1}{i\omega }F(\omega )+\pi F(0)\cdot \delta (\omega )$

หมายเหตุ : * คือ คู่ของการแปลง ที่อาจมีสัมประสิทธิ์ $1,2\pi ,\sqrt{2\pi }$ แตกต่างไป ขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของการปรับขนาดที่ใช้ในนิยามของการแปลง แม่แบบ:โครงคณิตศาสตร์