การหารสังเคราะห์พหุนาม

ภาพเคลื่อนไหวแสดงการหารสังเคราะห์ เพื่อหาผลหารของ $2 x^{4} + 3 x^{2} + 5 x + 1$ หารด้วย $x - 2$ สังเกตได้ว่าไม่มีพจน์ $x^{3}$ ดังนั้นหลักที่ 4 จากทางขวาจึงเป็นศูนย์

ในพีชคณิต การหารสังเคราะห์พหุนาม หรือการหารสังเคราะห์ (อังกฤษ: synthetic division) เป็นการคำนวนโดยใช้วิธีการหารพหุนามยุคลิด และเป็นวิธีที่สั้นกว่าการหารยาวพหุนาม

ส่วนใหญ่จะสอนใช้กับแค่พหุนามโมนิก เชิงเส้น (กฎของรัฟฟินี) แต่สามารถวางนัยกับพหุนามทั่วไปได้

ข้อดีของการหารสังเคราะห์คือ สามารถทดได้โดยไม่ต้องเขียนตัวแปร คำนวนน้อย และใช้พื้นที่น้อยกว่าการหารยาว อีกทั้งการลบในการหารยาวเปลี่ยนเป็นการบวกแทนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตอนแรก ๆ ช่วยป้องกันการเขียนเครื่องหมายผิด

การหารสังเคราะห์ปกติ

ตัวอย่างแรกคือการหารสังเคราะห์ที่มีตัวส่วนเป็นโมนิกเชิงเส้น $x - a$

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} - 42}{x - 3}$

ตัวเศษเขียนใหม่ได้เป็น $P (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 0 x - 42$

รากของตัวส่วน $g (x)$ คือ $3$

สัมประสิทธิ์ของ $P (x)$ เรียงได้ดังนี้ โดยเขียนรากของ $g (x)$ ไว้ทางซ้าย

$\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \end{matrix} \end{matrix}$

แม่แบบ:สีหลังเส้นกั้น ถูกดึงลงมาแถวสุดท้าย

$\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}$

แม่แบบ:สีคูณกับแม่แบบ:สี แม่แบบ:สีวางทแยงไปขวาบนในหลักถัดไป

$\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}$

แม่แบบ:สีกันภายในหลักถัดไป

$\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 \\ 1 & - 9 \end{matrix} \end{matrix}$

ทำสองขั้นตอนที่แล้วไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงหลักสุดท้าย

$\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 & - 27 & - 81 \\ 1 & - 9 & - 27 & - 123 \end{matrix} \end{matrix}$

ที่นี้ หลักสุดท้าย (-123) คือเศษเหลือ ที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

$\begin{matrix} 1 x^{2} & - 9 x & - 27 & - 123 \end{matrix}$

ผลหารและเศษเหลือจะเป็นดังนี้

$q (x) = x^{2} - 9 x - 27$

$r (x) = - 123$

การประยุกต์ใช้จากทฤษฎีบทเศษเหลือ

รูปแบบการหารสังเคราะห์ข้างต้นมีประโยชน์ในการหาเศษเหลือจากพหุนามตัวแปรเดียวจากทฤษฎีบทเศษเหลือ โดยสรุป ค่าของ $P (x)$ ณ $a$ จะเท่ากับเศษเหลือจากการหาร $P (x)$ ด้วย $x - a$

ข้อดีจากการใช้วิธีนี้ตือการคูณน้อยลงประมาณครึ่งหนึ่งจากการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ อีกวิธีทางเลือกคือวิธีของฮอร์เนอร์

การหารสังเคราะห์ส่วนขยาย

วิธีนี้วางนัยได้กับการหารพหุนามโมนิกทั่วไปได้ ข้อแตกต่างจากวิธีปกติจะทำเส้นหนา ใช้ขั้นตอนเหมือนกับวิธีปกติกับการหารพหุนามต่อไปนี้

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} - 42}{x^{2} + x - 3}$

ดูเฉพาะสัมประสิทธิ์ของตัวเศษ เขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวตั้งข้างบน

$\begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \end{matrix}$

กลับเครื่องหมายตัวหาร

$\begin{matrix} - 1 x^{2} & - 1 x & + 3 \end{matrix}$

เขียนแม่แบบ:สีทุกตัวยกเว้นตัวแรกทางซ้ายก่อนเส้นกั้น เขียนทแยงไปทางขวาบน (ดูภาพถัดไป)

$\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \end{matrix} \end{matrix}$

สังเกตการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายจาก 1 เป็น -1 และจาก -3 เป็น 3 ดึงแม่แบบ:สีหลังเส้นกั้นลงมาแถวสุดท้าย

$\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}$

คูณแม่แบบ:สีกับแม่แบบ:สี แม่แบบ:สีวางทแยงไปขวาบนจนกว่าจะคูณครบทุกเลขหน้าเส้นกั้นในหลักถัด ๆ ไป

$\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}$

แม่แบบ:สีกันภายในหลักถัดไป

$\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 \\ - 1 \\ 1 & - 13 \end{matrix} \end{matrix}$

ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเส้นทแยงผลคูณจะเลยหลักสุดท้าย

$\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 & - 39 \\ - 1 & 13 \\ 1 & - 13 & 16 \end{matrix} \end{matrix}$

แล้วก็บวกหลักที่เหลือ

$\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 & - 39 \\ - 1 & 13 \\ 1 & - 13 & 16 & - 81 \end{matrix} \end{matrix}$

นับจำนวนตัวเลขหน้าเส้นกั้น เนื่องจากมีสองตัว เศษเหลือจึงมีดีกรีเป็นหนึ่ง สังเกตได้ว่าหลักที่ไม่ได้ถูกคูณจะเป็นเศษเหลือ ซึ่งเป็นสองหลักใต้เส้นกั้นที่นับจากทางขวา เขียนเส้นกั้นลงไป

$\begin{matrix} 1 & - 13 & 16 & - 81 \end{matrix}$

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

$\begin{matrix} 1 x & - 13 & 16 x & - 81 \end{matrix}$

ผลลัพท์จากการหารจะได้ดังนี้

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} - 42}{x^{2} + x - 3} = x - 13 + \frac{16 x - 81}{x^{2} + x - 3}$

สำหรับตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก

วิธีนี้ยังสามารถวางนัยทั่วไปให้สามารถใช้ได้กับพหุนามทั่วไป ไม่ใช่แค่พหุนามโมนิกโดยการดัดแปลงเล็กน้อย โดยปกติจะหารตัวหาร $g (x)$ ด้วยสัมประสิทธิ์นำ $a$

$h (x) = \frac{g (x)}{a}$

แล้วหารสังเคราะห์โดยใช้ $h (x)$ เป็นตัวหาร แล้วหารผลหารที่ได้ด้วย $a$ ถึงจะได้ผลหารจากการหารด้วย $g (x)$ (เศษเหลือยังคงเดิม) แต่วิธีนี้ผิดพลาดได้ง่ายเนื่องจากตัวคูณในการหารสังเคราะห์เป็นเศษส่วน

จากการสังเกตจากการหารยาวพหุนามด้วยตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก สัมประสิทธิ์ $P (x)$ จะถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของ $g (x)$ หลังถูกดึงและก่อนคูณ

โดยแสดงจากการหารพหุนามดังต่อไปนี้

$\frac{6 x^{3} + 5 x^{2} - 7}{3 x^{2} - 2 x - 1}$

ใช้ตารางที่ถูกดัดแปลงเล็กน้อย

$\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ / 3 \end{matrix} \begin{matrix} 6 & 5 & 0 & - 7 \end{matrix} \end{matrix}$

สังเกตว่ามีแถวเพิ่มขึ้นข้างล่าง ใช้เพื่อเขียนค่าหลังจากหารตัวที่ถูกดึงด้วยสัมประสิทธิ์นำของ $g (x)$ (ในที่นี้คือ /3 สังเกตว่าตัวเลขนี้ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ต่างจากสัมประสิทธิ์ตัวอื่น ๆ ของ $g (x)$ )

แม่แบบ:สีของ $P (x)$ ถูกดึงลงมาตามเดิม

$\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ / 3 \end{matrix} \begin{matrix} 6 & 5 & 0 & - 7 \\ 6 \end{matrix} \end{matrix}$

แม่แบบ:สีลงมาหารด้วย 3 แล้วเขียนลงไปในแถวถัดไป

$\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ / 3 \end{matrix} \begin{matrix} 6 & 5 & 0 & - 7 \\ 6 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix}$

แม่แบบ:สีที่ถูกหารนี้ ไปคูณกับเลขหน้าเส้นกั้นและเขียนในแถวที่เป็นพหุคูณของ แม่แบบ:สี ดังที่ได้อธิบายไว้ในวิธีส่วนขยายที่กล่าวไป

$\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ / 3 \end{matrix} \begin{matrix} 6 & 5 & 0 & - 7 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix}$

แม่แบบ:สีถูกดึงและบวกกับ 4 ผลลัพท์จะถูกหารด้วย 3

$\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ / 3 \end{matrix} \begin{matrix} 6 & 5 & 0 & - 7 \\ 2 \\ 4 \\ 6 & 9 \\ 2 & 3 \end{matrix} \end{matrix}$

ทำเข่นเดียวกันกับแม่แบบ:สี

$\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ / 3 \end{matrix} \begin{matrix} 6 & 5 & 0 & - 7 \\ 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ 6 & 9 \\ 2 & 3 \end{matrix} \end{matrix}$

ณ จุดนี้หลัวจากได้ผลบวกตัวที่สาม เส้นทแยงผลคูณจะ "ตกขอบขวา" ดังนั้นผลบวกตัวนี้จะเป็นสัมประสิทธิ์ตัวแรกของเศษเหลือ เหมือนในวิธีส่วนขยายที่ได้กล่าวไป แต่ค่าของเศษเหลือจะไม่ถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร

$\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ / 3 \end{matrix} \begin{matrix} 6 & 5 & 0 & - 7 \\ 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ 6 & 9 & 8 & - 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \end{matrix}$

เหมือนในการหารสังเคราะห์แบบขยาย สองหลักสุดท้ายจะเป็นสัมประสิทธิ์เศษเหลือ (ดีกรีของตัวหารเป็น 2) ส่วนค่าที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

$\begin{matrix} 2 x & + 3 & 8 x & - 4 \end{matrix}$

ผลลัพท์จะได้ดังนี้

$\frac{6 x^{3} + 5 x^{2} - 7}{3 x^{2} - 2 x - 1} = 2 x + 3 + \frac{8 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 1}$

การหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ

แต่ว่าการเขียนแนวทแยงจากที่ได้กล่าวมานั้น จะกินพื้นที่เมื่อดีกรีตัวหารเกินครึ่งหนี่งของตัวตั้ง พิจารณาได้จากการหารต่อไปนี้

$\frac{a_{7} x^{7} + a_{6} x^{6} + a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}}{b_{4} x^{4} - b_{3} x^{3} - b_{2} x^{2} - b_{1} x - b_{0}}$

จะเห็นได้ว่าจะเขียนผลคูณไว้ที่บรรทัดไหนก็ได้ ขอให้แค่ถูกหลักก็พอ โดยใช้กลยุทธ์แบบละโมบในการย่อขั้นตอนวิธี ดังการหารต่อไปนี้

$\begin{matrix} \begin{matrix} b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ / b_{4} \end{matrix} \begin{matrix} q_{0} b_{3} \\ q_{1} b_{3} & q_{1} b_{2} & q_{0} b_{2} \\ q_{2} b_{3} & q_{2} b_{2} & q_{2} b_{1} & q_{1} b_{1} & q_{0} b_{1} \\ q_{3} b_{3} & q_{3} b_{2} & q_{3} b_{1} & q_{3} b_{0} & q_{2} b_{0} & q_{1} b_{0} & q_{0} b_{0} \\ a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ a_{7} & {q_{2}}^{'} & {q_{1}}^{'} & {q_{0}}^{'} & r_{3} & r_{2} & r_{1} & r_{0} \\ q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} \end{matrix} \end{matrix}$

ต่อไปนี้คือขั้นตอนวิธีของการหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ สามารถใช้ได้กับพหุนามไม่เป็นโมนิกอีกด้วย

เขียนสัมประสิทธิ์ตัวตั้งบนเส้นกั้น

$\begin{matrix} \begin{matrix} a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \end{matrix} \end{matrix}$

กลับเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ของตัวหาร ยกเว้นสัมประสิทธิ์ตัวนำ แล้วเขียนลงทางซ้ายของเส้นกัั้น

$\begin{matrix} \begin{matrix} b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \end{matrix} & \begin{matrix} a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \end{matrix} \end{matrix}$

นับจำนวนสัมประสิทธิ์ตัวหารให้เท่ากับสัมประสิทธิ์หน้าเส้นกั้น โดยเริ่มจากหลักขวาสุด แล้วเขียนเส้นกั้นลงทางซ้ายเพื่อแบ่งหลักที่เป็นสัมประสิทธิ์ผลหารกับเศษเหลือ

$\begin{matrix} \begin{matrix} b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \end{matrix} & \begin{matrix} a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \end{matrix} \end{matrix}$

ดึงสัมประสิทธิ์หลักแรกลงใต้เส้นกั้น

$\begin{matrix} \begin{matrix} b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \end{matrix} & \begin{matrix} a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ a_{7} \end{matrix} \end{matrix}$

- หารจำนวนที่ถูกดึง/บวกมาด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร แล้วเขียนผลหารลงแถวข้างล่าง (ขั้นตอนนี้ไม่จำเป็นถ้าสัมประสิทธิ์ตัวนำตัวหารเป็น 1) ในที่นี้ $q_{3} = \frac{a_{7}}{b_{4}}$ ซึ่งดัชนีของ $q$ เป็น $3 = 7 - 4$ นั้นเกิดจากการลบดัชนีของตัวตั้งกับตัวหาร
- คูณจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหาร ด้วยสัมประสิทธิ์ตัวหารที่ถูกกลับเครื่องหมายหน้าเส้นกั้น (เริ่มจากซ้ายสุด) ข้ามขั้นตอนนี้ถ้าจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหารเป็นศูนย์ เขียนผลคูณในหลักถัด ๆ ไปตามลำดับ $\begin{matrix} \begin{matrix} b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ / b_{4} \end{matrix} \begin{matrix} q_{3} b_{3} & q_{3} b_{2} & q_{3} b_{1} & q_{3} b_{0} \\ a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ a_{7} \\ q_{3} \end{matrix} \end{matrix}$
ทำการบวกภายในหลักถัดไป ในที่นี้ $q'_{2} = q_{3} b_{3} + a_{6}$

$\begin{matrix} \begin{matrix} b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ / b_{4} \end{matrix} \begin{matrix} q_{3} b_{3} & q_{3} b_{2} & q_{3} b_{1} & q_{3} b_{0} \\ a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ a_{7} & {q_{2}}^{'} \\ q_{3} \end{matrix} \end{matrix}$

ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงเลขหน้าเส้นกั้น i. ให้ $q_{2} = \frac{{q_{2}}^{'}}{b_{4}}$

$\begin{matrix} \begin{matrix} b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ / b_{4} \end{matrix} \begin{matrix} q_{2} b_{3} & q_{2} b_{2} & q_{2} b_{1} \\ q_{3} b_{3} & q_{3} b_{2} & q_{3} b_{1} & q_{3} b_{0} & q_{2} b_{0} \\ a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ a_{7} & {q_{2}}^{'} & {q_{1}}^{'} \\ q_{3} & q_{2} \end{matrix} \end{matrix}$ ii.ให้ $q_{1} = \frac{{q_{1}}^{'}}{b_{4}}$ $\begin{matrix} \begin{matrix} b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ / b_{4} \end{matrix} \begin{matrix} q_{1} b_{3} & q_{1} b_{2} \\ q_{2} b_{3} & q_{2} b_{2} & q_{2} b_{1} & q_{1} b_{1} \\ q_{3} b_{3} & q_{3} b_{2} & q_{3} b_{1} & q_{3} b_{0} & q_{2} b_{0} & q_{1} b_{0} \\ a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ a_{7} & {q_{2}}^{'} & {q_{1}}^{'} & {q_{0}}^{'} \\ q_{3} & q_{2} & q_{1} \end{matrix} \end{matrix}$ iii.ให้ $q_{0} = \frac{{q_{0}}^{'}}{b_{4}}$ $\begin{matrix} \begin{matrix} b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ / b_{4} \end{matrix} \begin{matrix} q_{0} b_{3} \\ q_{1} b_{3} & q_{1} b_{2} & q_{0} b_{2} \\ q_{2} b_{3} & q_{2} b_{2} & q_{2} b_{1} & q_{1} b_{1} & q_{0} b_{1} \\ q_{3} b_{3} & q_{3} b_{2} & q_{3} b_{1} & q_{3} b_{0} & q_{2} b_{0} & q_{1} b_{0} & q_{0} b_{0} \\ a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ a_{7} & {q_{2}}^{'} & {q_{1}}^{'} & {q_{0}}^{'} & r_{3} \\ q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} \end{matrix} \end{matrix}$

ทำการบวกหลักที่เหลือ (เพื่อคำนวนหาเศษเหลือ)

$\begin{matrix} \begin{matrix} b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ / b_{4} \end{matrix} \begin{matrix} q_{0} b_{3} \\ q_{1} b_{3} & q_{1} b_{2} & q_{0} b_{2} \\ q_{2} b_{3} & q_{2} b_{2} & q_{2} b_{1} & q_{1} b_{1} & q_{0} b_{1} \\ q_{3} b_{3} & q_{3} b_{2} & q_{3} b_{1} & q_{3} b_{0} & q_{2} b_{0} & q_{1} b_{0} & q_{0} b_{0} \\ a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ a_{7} & {q_{2}}^{'} & {q_{1}}^{'} & {q_{0}}^{'} & r_{3} & r_{2} & r_{1} & r_{0} \\ q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} \end{matrix} \end{matrix}$

ในแถวล่างสุดใต้เส้นกั้เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ส่วนหน้าเส้นกั้นเป็นของผลหาร ส่วนหลังเส้นกั้นเป็นเศษเหลือ สัมประสิทธิ์เหล่านี้มีดีกรีเพิ่มขึ้นจากขวาไปซ้าย โดยเริ่มที่ศูนย์ทั้งผลหารและเศษเหลือ

$\frac{a_{7} x^{7} + a_{6} x^{6} + a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}}{b_{4} x^{4} - b_{3} x^{3} - b_{2} x^{2} - b_{1} x - b_{0}} = q_{3} x^{3} + q_{2} x^{2} + q_{1} x + q_{0} + \frac{r_{3} x^{3} + r_{2} x^{2} + r_{1} x + r_{0}}{b_{4} x^{4} - b_{3} x^{3} - b_{2} x^{2} - b_{1} x - b_{0}}$

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น

การหารสังเคราะห์พหุนาม

เนื้อหา

การหารสังเคราะห์ปกติ

การประยุกต์ใช้จากทฤษฎีบทเศษเหลือ

การหารสังเคราะห์ส่วนขยาย

สำหรับตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก

การหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น

รายการนำทางไซต์

การหารสังเคราะห์พหุนาม

การหารสังเคราะห์ปกติ

การประยุกต์ใช้จากทฤษฎีบทเศษเหลือ

การหารสังเคราะห์ส่วนขยาย

สำหรับตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก

การหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น

รายการนำทางไซต์

ค้นหา