เมทริกซ์แบบบล็อก

เมทริกซ์แบบบล็อก (block matrix) หมายถึงเมทริกซ์ใด ๆ ที่สามารถแบ่งกลุ่มสมาชิกออกเป็นเมทริกซ์ย่อยที่เรียกว่า บล็อก (block) เมทริกซ์แบบบล็อกจะถูกแบ่งที่ตำแหน่งของสมาชิกที่สามารถเข้ากันได้จัดอยู่ในกลุ่มเดียวกัน และจะต้องแบ่งตามเส้นแนวตั้งหรือเส้นแนวนอนของแถวและหลักทั้งหมด เปรียบเสมือนการตีตารางลงในเมทริกซ์แล้วตัดแบ่งออกเป็นส่วน ๆ

ตัวอย่างเมทริกซ์แบบบล็อก เช่น กำหนดให้เมทริกซ์ P

$P=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 2\\ 1& 1& 2& 2\\ 3& 3& 4& 4\\ 3& 3& 4& 4\end{array}\right]$

จะเห็นว่ามีสมาชิกที่คล้ายกันอยู่เป็นกลุ่ม ๆ ซึ่งสามารถตัดแบ่งออกเป็นเมทริกซ์ย่อยขนาด 2×2

$P_{11}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right],P_{12}=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right],P_{21}=\left[\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 3\end{array}\right],P_{22}=\left[\begin{array}{cc}4& 4\\ 4& 4\end{array}\right]$

ดังนั้น เมทริกซ์ P จึงสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งเป็น

$P_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{d}}=\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& P_{22}\end{array}\right]$

เมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก

เมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก (block diagonal matrix) คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีบล็อกของเมทริกซ์ย่อยพาดผ่านเส้นทแยงมุมหลัก ซึ่งบล็อกนั้นก็เป็นเมทริกซ์จัตุรัสเช่นกัน และบล็อกอื่น ๆ ที่อยู่นอกแนวเส้นทแยงมุมเป็นเมทริกซ์ศูนย์ทั้งหมด หากเขียนในรูปทั่วไปจะได้ว่า

$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& A_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & A_n\end{array}\right]$

หรืออาจเรียกได้ว่า เมทริกซ์ A คือผลบวกโดยตรง (direct sum) ของเมทริกซ์ $A_1,A_2,...,A_n$ เขียนแทนได้ด้วย

$A=A_1\oplus A_2\oplus \dots \oplus A_n$

หรือเขียนแทนด้วยสัญกรณ์ของเมทริกซ์ทแยงมุม

$A=\mathrm{diag}(A_1,A_2,\dots ,A_n)$

สำหรับค่าของดีเทอร์มิแนนต์กับรอยเมทริกซ์ของเมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก มีคุณสมบัติ ดังนี้

$\det A=\det A_1\times \det A_2\times \dots \times \det A_n$

$\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}{A}_1+\mathrm{tr}{A}_2+\dots +\mathrm{tr}{A}_n$