ลิมิตของลำดับ

$n$	$n\cdot \sin (\frac{1}{n})$
$1$	$0.841471$
$2$	$0.958851$
$\dots$
$10$	$0.998334$
$\dots$
$100$	$0.999983$

เมื่อจำนวนเต็มบวก $n$ มีค่ามากขึ้น ค่า $n\cdot \sin \left(\frac{1}{n}\right)$ จะเข้าใกล้ $1$ กล่าวได้ว่า "ลิมิตของลำดับ $n\cdot \sin \left(\frac{1}{n}\right)$ เท่ากับ $1$"

ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของลำดับ (แม่แบบ:Langx) เป็นค่าซึ่งพจน์ของลำดับ "โน้มเอียง" เข้าหา หากลำดับใดมีลิมิต ลำดับนั้นเรียก ลู่เข้า (แม่แบบ:Lang) หากลำดับไม่ลู่เข้าจะเรียก ลู่ออก (แม่แบบ:Lang) มีคำกล่าวว่าลิมิตของลำดับเป็นความคิดมูลฐานซึ่งเป็นที่ลงเอยสุดท้ายของการวิเคราะห์ทั้งหมด

สามารถนิยามลิมิตในปริภูมิเมตริกหรือทอพอโลยีใดก็ได้ แต่มักจะเจอครั้งแรกในระบบจำนวนจริง

จำนวนจริง

การลงจุดของลำดับลู่เข้า $\{a_n\}$ แสดงในสีน้ำเงิน จะเห็นได้ว่าลำดับลู่เข้าลิมิตเมื่อ $n$ เพิ่ม

ในจำนวนจริง จำนวน $L$ เป็นลิมิตของลำดับ $(x_n)$ ถ้าจำนวนในลำดับมีค่าเข้าใกล้ $L$ มากขึ้น ๆ และไม่เข้าใกล้จำนวนอื่น

ตัวอย่าง

• ถ้า $x_n=c$ สำหรับค่าคงตัว c แล้ว $x_n\to c$
• ถ้า $x_n=\frac{1}{n}$ แล้ว $x_n\to 0$
• ถ้า $x_n=\frac{1}{n}$ เมื่อ $n$ เป็นคู่ และ $x_n=\frac{1}{n^2}$ เมื่อ $n$ เป็นคี่ แล้ว $x_n\to 0$ (ข้อเท็จจริงว่า $x_{n+1}>x_n$ ต่อเมื่อ $n$ เป็นคู่นั้นไม่เกี่ยวข้องกัน)
• สำหรับจำนวนจริงใด ๆ อาจสามารถสร้างลำดับที่ลู่เข้าจำนวนนั้นได้โดยการใช้การประมาณทศนิยม ตัวอย่างเช่น ลำดับ $0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots$ ลู่เข้า $\frac{1}{3}$ หมายเหตุว่า ทศนิยม $0.3333\dots$ เป็นลิมิตของลำดับก่อนหน้า นิยามโดย $$0.3333\dots \triangleq \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{3}{10^i}$$
• การหาลิมิตของลำดับอาจไม่ชัดเจนเสมอไป สองตัวอย่างได้แก่ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$ (ซึ่งมีลิมิตเป็นจำนวน e) และ มัชฌิมเลขคณิต–เรขาคณิต (arithmetic–geometric mean) ซึ่ง ทฤษฎีบทบีบ (squeeze theorem) มักมีประโยชน์ในการหาลิมิตของกรณีเหล่านี้

อ้างอิง

• Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley and James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)

แม่แบบ:หัวข้อแคลคูลัส