รูปวงรี

วงรีซึ่งมาจากการตัดของทรงกรวยกับระนาบ

นิยามสองแบบของวงรีซึ่งเทียบเท่ากัน: ใช้โฟกัสสองจุด(เขียว) และใช้โฟกัสกับไดเรกทริกซ์(น้ำเงิน)

วงรี (แม่แบบ:Langx) เป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ซึ่งล้อมรอบจุดโฟกัสสองจุดและทำให้ผลรวมของระยะทางจากจุดบนเส้นโค้งไปหาจุดโฟกัสแต่ละจุดเป็นค่าคงที่ จากนิยามนี้ วงรีถือเป็นนัยทั่วไปของวงกลม นั่นคือ วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีที่มีจุดโฟกัสซ้อนกันเป็นจุดเดียว ความยืดของวงรีแสดงด้วยค่าความเยื้องศูนย์กลาง ซึ่งสำหรับวงรีอาจมีค่าได้ตั้งแต่ 0 (กรณีพิเศษของวงกลม) และมากเข้าใกล้ 1 เท่าใดก็ได้ แต่ไม่ถึง 1 (ซึ่งจะกลายเป็นพาราโบลา) วงรียังสามารถนิยามเป็นเซตของจุด ที่สำหรับแต่ละจุดในเซต อัตราส่วนของระยะทางไปหาจุดที่กำหนด (ซึ่งจะเป็นหนึ่งในจุดโฟกัส) ต่อระยะทางไปหาเส้นที่กำหนด (เรียกว่าเส้นไดเรกทริกซ์) เป็นค่าคงที่ ซึ่งค่าคงที่นี้จะเท่ากับความเยื้องศูนย์กลางข้างต้น

วงรีเป็นภาคตัดกรวย นั่นคือ เกิดจากการตัดกันของทรงกรวยกับระนาบ (ดูภาพขวา) และยังเป็นภาคตัดของทรงกระบอก ยกเว้นเฉพาะกรณีที่ระนาบตัดขนานกับแกนทรงกระบอก

นิยาม

วงรีมักนิยามเป็นโลกัสของจุดในระนาบสองมิติ โดยจากจุดโฟกัส $F_1$ กับ $F_2$ และระยะทาง $2a$ จะนิยามวงรีเป็นเซตของจุด $P$ ทั้งหมดที่ทำให้ผลบวกของระยะทาง $|P{F}_1|$ กับ $|P{F}_2|$ เป็น $2a$ หรือเขียนเป็นสัญกรณ์ว่า

$E=\{P\in {ℝ}^2||P{F}_1|+|P{F}_2|=2a\}$

(กรณีที่ $2a\le |F_1{F}_2|$ จะลดรูปเป็นเส้นตรง ดังนั้นเพื่อให้เป็นวงรีจะต้องบังคับ $2a>|F_1{F}_2|$)

จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดโฟกัสทั้งสอง เรียกว่า จุดศูนย์กลาง ของวงรี เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัสทั้งสองเรียกว่าแกนเอก และเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับแกนเอกเรียกว่า แกนโท แกนเอกตัดกับวงกลมที่ จุดยอด ซึ่งห่างจากจุดศูนย์กลาง $a$ หน่วย ระยะทางจากจุดโฟกัสไปจุดศูนย์กลางเรียกว่า ระยะโฟกัส $c$ อัตราส่วน $\frac{c}{a}=e$ คือ ความเยื้องศูนย์กลาง

สมบัติ

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(h,k)$ แกนเอกขนานแกน x ยาว $2a$ แกนโทขนานแกน y ยาว $2b$ เขียนสมการได้เป็น:

$\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$

ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีเป็นไปตามสูตร

$e=\sqrt{1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$

หากใช้ระบบสมการอิงตัวแปรเสริม จะสามารถเขียนวงรีในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น

$x=h+a\cos t,y=k+b\sin t,0\le t<2\pi$

หากแทน $u=tan(t/2)$ จะได้สมการตัวแปรเสริมอีกรูปคือ

$x=h+a\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right),y=k+b\left(\frac{2u}{1+u^2}\right),-\mathrm{\infty }<u<\mathrm{\infty }$

ในพิกัดเชิงขั้ว หากใช้จุดศูนย์กลางของวงรีเป็นจุดกำเนิด และวัดมุมเทียบกับแกนเอก จะได้เป็นสมการ

$r(\theta )=\frac{ab}{\sqrt{(b\cos \theta {)}^2+(a\sin \theta {)}^2}}=\frac{b}{\sqrt{1-(e\cos \theta {)}^2}}$

แต่หากใช่จุดโฟกัสเป็นจุดกำเนิด จะได้สมการที่ง่ายกว่า คือ

$r(\theta )=\frac{a(1-e^2)}{1\pm e\cos \theta }$

วงรีมีพื้นที่ $\pi ab$ เห็นได้จากการมองวงรีเป็นวงกลมรัศมี $b$ที่ถูกยืดออก $a/b$ เท่า จึงได้พื้นที่เป็น $(\pi b^2)(\frac{a}{b})=\pi ab$ หรืออาจพิสูจน์จากการอินทิเกรต โดยจัดรูปสมการวงรี $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ เป็น $y=b\sqrt{1-x^2/a^2}$อินทิเกรตจาก $-a$ ถึง $a$ จะได้พื้นที่ครึ่งบน ดังนั้นได้เป็น

$\begin{array}{cc}A& =2\underset{-a}{\overset{a}{\int }}b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx\\ & =\frac{b}{a}\cdot 2\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx\\ & =\frac{b}{a}\cdot \pi a^2\\ & =\pi ab\end{array}$

ความยาวรอบรูปของวงรีไม่สามารถเขียนเป็นสูตรอย่างง่ายได้ โดยมีค่าเท่ากับอินทิกรัล

$C=4a\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta =4aE(e)$

เมื่อ $E$ เป็นปริพันธ์วงรีสมบูรณ์ชนิดที่สอง (Complete elliptic integral of the second kind)

$E(e)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta$

สูตรความยาวรอบรูปสามารถเขียนในรูปอนุกรมอนันต์ได้เป็น

$\begin{array}{cc}C& =2\pi a\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{e}^2-{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2\frac{e^4}{3}-{\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)}^2\frac{e^6}{5}-\cdots \right]\\ & =2\pi a[1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)}^2\frac{e^{2n}}{2n-1}]\end{array}$

รามานุจันได้ให้สูตรประมาณค่าความยาวรอบรูปว่า

$C\approx \pi [3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}]=\pi [3(a+b)-\sqrt{10ab+3(a^2+b^2)}]$ แม่แบบ:โครงเรขาคณิต