รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

แม่แบบ:ตรีโกณมิติ ต่อไปนี้เป็นรายการปริพันธ์ (ฟังก์ชันปฏิยานุพันธ์) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยทั่วไป ถ้าฟังก์ชัน $\sin (x)$ เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติใด ๆ และ $\cos (x)$ เป็นอนุพันธ์ของมัน แล้ว

$\int a\cos nxdx=\frac{a}{n}\sin nx+C$

ในทุกสูตร กำหนดให้ ค่าคงตัว a เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ และ C เป็นค่าคงตัวของการหาปริพันธ์

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องเฉพาะไซน์

$\int \sin axdx=-\frac{1}{a}\cos ax+C$

$\int {\sin }^{2}axdx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4a}\sin 2ax+C=\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}\sin ax\cos ax+C$

$\int {\sin }^{3}axdx=\frac{\cos 3ax}{12a}-\frac{3\cos ax}{4a}+C$

$\int x{\sin }^{2}axdx=\frac{x^2}{4}-\frac{x}{4a}\sin 2ax-\frac{1}{8a^2}\cos 2ax+C$

$\int x^2{\sin }^{2}axdx=\frac{x^3}{6}-(\frac{x^2}{4a}-\frac{1}{8a^3})\sin 2ax-\frac{x}{4a^2}\cos 2ax+C$

$\int (\sin b_{1}x)(\sin b_{2}x)dx=\frac{\sin ((b_2-b_1)x)}{2(b_2-b_1)}-\frac{\sin ((b_1+b_2)x)}{2(b_1+b_2)}+C\text{(สำหรับ }|b_1|\ne |b_2|\text{)}$

$\int {\sin }^{n}axdx=-\frac{{\sin }^{n-1}ax\cos ax}{na}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}axdx\text{(สำหรับ }n>0\text{)}$

$\int \frac{dx}{\sin ax}=-\frac{1}{a}\ln |\csc ax+\cot ax|+C$

$\int \frac{dx}{{\sin }^{n}ax}=\frac{\cos ax}{a(1-n){\sin }^{n-1}ax}+\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\sin }^{n-2}ax}\text{(สำหรับ }n>1\text{)}$

$\int x\sin axdx=\frac{\sin ax}{a^2}-\frac{x\cos ax}{a}+C$

$\begin{array}{cc}\int x^n\sin axdx& =-\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos axdx\\ & =\sum _{k=0}^{2k\le n}(-1{)}^{k+1}\frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k+1\le n}(-1{)}^k\frac{x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!}\sin ax\\ & =-\sum _{k=0}^n\frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos (ax+k\frac{\pi }{2})\text{(สำหรับ }n>0\text{)}\end{array}$

$\int \frac{\sin ax}{x}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(ax{)}^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}+C$

$\int \frac{\sin ax}{x^n}dx=-\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}\int \frac{\cos ax}{x^{n-1}}dx$

$\int \frac{dx}{1\pm \sin ax}=\frac{1}{a}\tan (\frac{ax}{2}\mp \frac{\pi }{4})+C$

$\int \frac{xdx}{1+\sin ax}=\frac{x}{a}\tan (\frac{ax}{2}-\frac{\pi }{4})+\frac{2}{a^2}\ln |\cos (\frac{ax}{2}-\frac{\pi }{4})|+C$

$\int \frac{xdx}{1-\sin ax}=\frac{x}{a}\cot (\frac{\pi }{4}-\frac{ax}{2})+\frac{2}{a^2}\ln |\sin (\frac{\pi }{4}-\frac{ax}{2})|+C$

$\int \frac{\sin axdx}{1\pm \sin ax}=\pm x+\frac{1}{a}\tan (\frac{\pi }{4}\mp \frac{ax}{2})+C$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องเฉพาะโคไซน์

$\int \cos axdx=\frac{1}{a}\sin ax+C$

$\int {\cos }^{2}axdx=\frac{x}{2}+\frac{1}{4a}\sin 2ax+C=\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}\sin ax\cos ax+C$

$\int {\cos }^{n}axdx=\frac{{\cos }^{n-1}ax\sin ax}{na}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}axdx\text{(สำหรับ }n>0\text{)}$

$\int x\cos axdx=\frac{\cos ax}{a^2}+\frac{x\sin ax}{a}+C$

$\int x^2{\cos }^{2}axdx=\frac{x^3}{6}+(\frac{x^2}{4a}-\frac{1}{8a^3})\sin 2ax+\frac{x}{4a^2}\cos 2ax+C$

$\begin{array}{cc}\int x^n\cos axdx& =\frac{x^n\sin ax}{a}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin axdx\\ & =\sum _{k=0}^{2k+1\le n}(-1{)}^k\frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k\le n}(-1{)}^k\frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!}\sin ax\\ & =\sum _{k=0}^n(-1{)}^{\lfloor k/2\rfloor }\frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos (ax-\frac{(-1{)}^k+1}{2}\frac{\pi }{2})\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\sin (ax+k\frac{\pi }{2})\text{(สำหรับ }n>0\text{)}\end{array}$

$\int \frac{\cos ax}{x}dx=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(ax{)}^{2k}}{2k\cdot (2k)!}+C$

$\int \frac{\cos ax}{x^n}dx=-\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\int \frac{\sin ax}{x^{n-1}}dx\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{dx}{\cos ax}=\frac{1}{a}\ln |\tan (\frac{ax}{2}+\frac{\pi }{4})|+C$

$\int \frac{dx}{{\cos }^{n}ax}=\frac{\sin ax}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}+\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\cos }^{n-2}ax}\text{(สำหรับ }n>1\text{)}$

$\int \frac{dx}{1+\cos ax}=\frac{1}{a}\tan \frac{ax}{2}+C$

$\int \frac{dx}{1-\cos ax}=-\frac{1}{a}\cot \frac{ax}{2}+C$

$\int \frac{xdx}{1+\cos ax}=\frac{x}{a}\tan \frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln |\cos \frac{ax}{2}|+C$

$\int \frac{xdx}{1-\cos ax}=-\frac{x}{a}\cot \frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln |\sin \frac{ax}{2}|+C$

$\int \frac{\cos axdx}{1+\cos ax}=x-\frac{1}{a}\tan \frac{ax}{2}+C$

$\int \frac{\cos axdx}{1-\cos ax}=-x-\frac{1}{a}\cot \frac{ax}{2}+C$

$\int (\cos a_{1}x)(\cos a_{2}x)dx=\frac{\sin ((a_2-a_1)x)}{2(a_2-a_1)}+\frac{\sin ((a_2+a_1)x)}{2(a_2+a_1)}+C\text{(สำหรับ }|a_1|\ne |a_2|\text{)}$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องเฉพาะแทนเจนต์

$\int \tan axdx=-\frac{1}{a}\ln |\cos ax|+C=\frac{1}{a}\ln |\sec ax|+C$

$\int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C$

$\int {\tan }^{n}axdx=\frac{1}{a(n-1)}{\tan }^{n-1}ax-\int {\tan }^{n-2}axdx\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{dx}{q\tan ax+p}=\frac{1}{p^2+q^2}(px+\frac{q}{a}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\text{(สำหรับ }{p}^2+q^2\ne 0\text{)}$

$\int \frac{dx}{\tan ax+1}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}\ln |\sin ax+\cos ax|+C$

$\int \frac{dx}{\tan ax-1}=-\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}\ln |\sin ax-\cos ax|+C$

$\int \frac{\tan axdx}{\tan ax+1}=\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}\ln |\sin ax+\cos ax|+C$

$\int \frac{\tan axdx}{\tan ax-1}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}\ln |\sin ax-\cos ax|+C$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องเฉพาะเซแคนต์

$\int \sec axdx=\frac{1}{a}\ln |\sec ax+\tan ax|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

$\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln |\sec x+\tan x|+C.$

$\int {\sec }^{n}axdx=\frac{{\sec }^{n-2}ax\tan ax}{a(n-1)}+\frac{n-2}{n-1}\int {\sec }^{n-2}axdx\text{ (สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{dx}{\sec x+1}=x-\tan \frac{x}{2}+C$

$\int \frac{dx}{\sec x-1}=-x-\cot \frac{x}{2}+C$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องเฉพาะโคเซแคนต์

$\int \csc axdx=-\frac{1}{a}\ln |\csc ax+\cot ax|+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int {\csc }^{3}xdx=-\frac{1}{2}\csc x\cot x-\frac{1}{2}\ln |\csc x+\cot x|+C.$

$\int {\csc }^{n}axdx=-\frac{{\csc }^{n-2}ax\cot ax}{a(n-1)}+\frac{n-2}{n-1}\int {\csc }^{n-2}axdx\text{ (สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{dx}{\csc x+1}=x-\frac{2}{\cot \frac{x}{2}+1}+C$

$\int \frac{dx}{\csc x-1}=-x+\frac{2}{\cot \frac{x}{2}-1}+C$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องเฉพาะโคแทนเจนต์

$\int \cot axdx=\frac{1}{a}\ln |\sin ax|+C$

$\int {\cot }^{n}axdx=-\frac{1}{a(n-1)}{\cot }^{n-1}ax-\int {\cot }^{n-2}axdx\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{dx}{1+\cot ax}=\int \frac{\tan axdx}{\tan ax+1}$

$\int \frac{dx}{1-\cot ax}=\int \frac{\tan axdx}{\tan ax-1}$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องทั้งไซน์และโคไซน์

$\int \frac{dx}{\cos ax\pm \sin ax}=\frac{1}{a\sqrt{2}}\ln |\tan (\frac{ax}{2}\pm \frac{\pi }{8})|+C$

$\int \frac{dx}{(\cos ax\pm \sin ax{)}^2}=\frac{1}{2a}\tan (ax\mp \frac{\pi }{4})+C$

$\int \frac{dx}{(\cos x+\sin x{)}^n}=\frac{1}{n-1}(\frac{\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x{)}^{n-1}}-2(n-2)\int \frac{dx}{(\cos x+\sin x{)}^{n-2}})$

$\int \frac{\cos axdx}{\cos ax+\sin ax}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}\ln |\sin ax+\cos ax|+C$

$\int \frac{\cos axdx}{\cos ax-\sin ax}=\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}\ln |\sin ax-\cos ax|+C$

$\int \frac{\sin axdx}{\cos ax+\sin ax}=\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}\ln |\sin ax+\cos ax|+C$

$\int \frac{\sin axdx}{\cos ax-\sin ax}=-\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}\ln |\sin ax-\cos ax|+C$

$\int \frac{\cos axdx}{(\sin ax)(1+\cos ax)}=-\frac{1}{4a}{\tan }^2\frac{ax}{2}+\frac{1}{2a}\ln |\tan \frac{ax}{2}|+C$

$\int \frac{\cos axdx}{(\sin ax)(1-\cos ax)}=-\frac{1}{4a}{\cot }^2\frac{ax}{2}-\frac{1}{2a}\ln |\tan \frac{ax}{2}|+C$

$\int \frac{\sin axdx}{(\cos ax)(1+\sin ax)}=\frac{1}{4a}{\cot }^2(\frac{ax}{2}+\frac{\pi }{4})+\frac{1}{2a}\ln |\tan (\frac{ax}{2}+\frac{\pi }{4})|+C$

$\int \frac{\sin axdx}{(\cos ax)(1-\sin ax)}=\frac{1}{4a}{\tan }^2(\frac{ax}{2}+\frac{\pi }{4})-\frac{1}{2a}\ln |\tan (\frac{ax}{2}+\frac{\pi }{4})|+C$

$\int (\sin ax)(\cos ax)dx=\frac{1}{2a}{\sin }^{2}ax+C$

$\int (\sin a_{1}x)(\cos a_{2}x)dx=-\frac{\cos ((a_1-a_2)x)}{2(a_1-a_2)}-\frac{\cos ((a_1+a_2)x)}{2(a_1+a_2)}+C\text{(สำหรับ }|a_1|\ne |a_2|\text{)}$

$\int ({\sin }^{n}ax)(\cos ax)dx=\frac{1}{a(n+1)}{\sin }^{n+1}ax+C\text{(สำหรับ }n\ne -1\text{)}$

$\int (\sin ax)({\cos }^{n}ax)dx=-\frac{1}{a(n+1)}{\cos }^{n+1}ax+C\text{(สำหรับ }n\ne -1\text{)}$

$\begin{array}{cc}\int ({\sin }^{n}ax)({\cos }^{m}ax)dx& =-\frac{({\sin }^{n-1}ax)({\cos }^{m+1}ax)}{a(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int ({\sin }^{n-2}ax)({\cos }^{m}ax)dx\text{(สำหรับ }m,n>0\text{)}\\ & =\frac{({\sin }^{n+1}ax)({\cos }^{m-1}ax)}{a(n+m)}+\frac{m-1}{n+m}\int ({\sin }^{n}ax)({\cos }^{m-2}ax)dx\text{(สำหรับ }m,n>0\text{)}\end{array}$

$\int \frac{dx}{(\sin ax)(\cos ax)}=\frac{1}{a}\ln |\tan ax|+C$

$\int \frac{dx}{(\sin ax)({\cos }^{n}ax)}=\frac{1}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}+\int \frac{dx}{(\sin ax)({\cos }^{n-2}ax)}\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{dx}{({\sin }^{n}ax)(\cos ax)}=-\frac{1}{a(n-1){\sin }^{n-1}ax}+\int \frac{dx}{({\sin }^{n-2}ax)(\cos ax)}\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{\sin axdx}{{\cos }^{n}ax}=\frac{1}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}+C\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{{\sin }^{2}axdx}{\cos ax}=-\frac{1}{a}\sin ax+\frac{1}{a}\ln |\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{ax}{2})|+C$

$\int \frac{{\sin }^{2}axdx}{{\cos }^{n}ax}=\frac{\sin ax}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}-\frac{1}{n-1}\int \frac{dx}{{\cos }^{n-2}ax}\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{{\sin }^{n}axdx}{\cos ax}=-\frac{{\sin }^{n-1}ax}{a(n-1)}+\int \frac{{\sin }^{n-2}axdx}{\cos ax}\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{{\sin }^{n}axdx}{{\cos }^{m}ax}=\{\begin{array}{cc}\frac{{\sin }^{n+1}ax}{a(m-1){\cos }^{m-1}ax}-\frac{n-m+2}{m-1}\int \frac{{\sin }^{n}axdx}{{\cos }^{m-2}ax}& \text{(สำหรับ }m\ne 1\text{)}\\ \frac{{\sin }^{n-1}ax}{a(m-1){\cos }^{m-1}ax}-\frac{n-1}{m-1}\int \frac{{\sin }^{n-2}axdx}{{\cos }^{m-2}ax}& \text{(สำหรับ }m\ne 1\text{)}\\ -\frac{{\sin }^{n-1}ax}{a(n-m){\cos }^{m-1}ax}+\frac{n-1}{n-m}\int \frac{{\sin }^{n-2}axdx}{{\cos }^{m}ax}& \text{(สำหรับ }m\ne n\text{)}\end{array}$

$\int \frac{\cos axdx}{{\sin }^{n}ax}=-\frac{1}{a(n-1){\sin }^{n-1}ax}+C\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{{\cos }^{2}axdx}{\sin ax}=\frac{1}{a}(\cos ax+\ln |\tan \frac{ax}{2}|)+C$

$\int \frac{{\cos }^{2}axdx}{{\sin }^{n}ax}=-\frac{1}{n-1}(\frac{\cos ax}{a{\sin }^{n-1}ax}+\int \frac{dx}{{\sin }^{n-2}ax})\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{{\cos }^{n}axdx}{{\sin }^{m}ax}=\{\begin{array}{cc}-\frac{{\cos }^{n+1}ax}{a(m-1){\sin }^{m-1}ax}-\frac{n-m+2}{m-1}\int \frac{{\cos }^{n}axdx}{{\sin }^{m-2}ax}& \text{(สำหรับ }m\ne 1\text{)}\\ -\frac{{\cos }^{n-1}ax}{a(m-1){\sin }^{m-1}ax}-\frac{n-1}{m-1}\int \frac{{\cos }^{n-2}axdx}{{\sin }^{m-2}ax}& \text{(สำหรับ }m\ne 1\text{)}\\ \frac{{\cos }^{n-1}ax}{a(n-m){\sin }^{m-1}ax}+\frac{n-1}{n-m}\int \frac{{\cos }^{n-2}axdx}{{\sin }^{m}ax}& \text{(สำหรับ }m\ne n\text{)}\end{array}$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องทั้งไซน์และแทนเจนต์

$\int (\sin ax)(\tan ax)dx=\frac{1}{a}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C$

$\int \frac{{\tan }^{n}axdx}{{\sin }^{2}ax}=\frac{1}{a(n-1)}{\tan }^{n-1}(ax)+C\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องทั้งโคไซน์และแทนเจนต์

$\int \frac{{\tan }^{n}axdx}{{\cos }^{2}ax}=\frac{1}{a(n+1)}{\tan }^{n+1}ax+C\text{(สำหรับ }n\ne -1\text{)}$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องทั้งไซน์และโคแทนเจนต์

$\int \frac{{\cot }^{n}axdx}{{\sin }^{2}ax}=-\frac{1}{a(n+1)}{\cot }^{n+1}ax+C\text{(สำหรับ }n\ne -1\text{)}$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องทั้งโคไซน์และโคแทนเจนต์

$\int \frac{{\cot }^{n}axdx}{{\cos }^{2}ax}=\frac{1}{a(1-n)}{\tan }^{1-n}ax+C\text{(สำหรับ }n\ne 1\text{)}$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องทั้งเซแคนต์และแทนเจนต์

$\int (\sec x)(\tan x)dx=\sec x+C$

ปริพัทธ์ที่เกี่ยวข้องทั้งโคเซแคนต์และโคแทนเจนต์

$\int (\csc x)(\cot x)dx=-\csc x+C$