ฟังก์ชันซิกมอยด์

ฟังก์ชันซิกมอยด์ (เกน 5)

ฟังก์ชันซิกมอยด์ (sigmoid function) เป็นฟังก์ชันจำนวนจริงที่แสดงโดยสูตรดังต่อไปนี้

${\varsigma }_a(x)=\frac{1}{1+e^{-ax}}=\frac{\tanh (ax/2)+1}{2}$

โดยในที่นี้ $a$ เรียกว่าเกน (gain) ฟังก์ชันซิกมอยด์ใช้ในการจำลองคุณสมบัติของเซลล์ประสาททางชีวภาพ

ฟังก์ชันซิกมอยด์ในความหมายเชิงแคบหมายถึง ฟังก์ชันซิกมอยด์มาตรฐาน (standard sigmoid function) นั่นคือ

${\varsigma }_1(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{\tanh (x/2)+1}{2}$

ปัจจุบันนิยมใช้เป็นฟังก์ชันกระตุ้นภายในโครงข่ายประสาทเทียมสำหรับการเรียนรู้เชิงลึก

ชื่อเรียก

ฟังก์ชันซิกมอยด์มาตรฐาน

ซิกมอยด์ (sigmoid) หรือเรียกว่าเส้นโค้งซิกมอยด์ (sigmoid curve) หมายถึงรูปร่างที่คล้ายกับตัวอักษรกรีก ซิกมา อย่างไรก็ตาม อักษรซิกมานั้นเมื่ออยู่ในกลางคำจะเขียนเป็น แม่แบบ:Lang แต่ในที่นี้หมายถึงรูป แม่แบบ:Lang ซึ่งปรากฏเมื่ออยู่ท้ายคำ

ฟังก์ชันซิกมอยด์มาตรฐานเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันลอจิต และในไลบรารีการคำนวณเชิงตัวเลขบางไลบรารีสำหรับการประมวลผลทางสถิติยังมีการเรียกชื่อฟังก์ชันซิกมอยด์มาตรฐานว่าเป็นฟังก์ชัน เอกซ์พิต (expit)

สมบัติ

ฟังก์ชันซิกมอยด์เป็นฟังก์ชันทางเดียวแบบต่อเนื่องในช่วง $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\to (0,1)$ โดยมี จุดเปลี่ยนเว้าเพียงจุดเดียว

มีเส้นตรง $y=0$ และ $y=1$ เป็นเส้นกำกับ

$\begin{array}{cc}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\varsigma }_a(x)& =1\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\varsigma }_a(x)& =0\\ \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{{\varsigma }_a}^{\prime }(x)& =0\end{array}$

และเมื่อ $x=0$ จะได้ว่า

$\begin{array}{cc}{\varsigma }_a(0)& =\frac{1}{2}\\ {{\varsigma }_a}^{\prime }(0)& =\frac{a}{4}\\ {{\varsigma }_a}^{″}(0)& =0\end{array}$

นั่นคือมีจุดเปลี่ยนเว้าเป็น $(0,\frac{1}{2})$ กราฟของฟังก์ชันซิกมอยด์มีจุดสมมาตรอยู่ที่ $(0,\frac{1}{2})$ นั่นคือ ${\varsigma }_a(x)-\frac{1}{2}$ เป็นฟังก์ชันคี่ซึ่งเป็นไปตาม ${\varsigma }_a(-x)=1-{\varsigma }_a(x)$

ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันซิกมอยด์สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันลอจิตดังนี้

${\varsigma }_a^{-1}(y)=\frac{1}{a}\ln \left(\frac{y}{1-y}\right)=\frac{1}{a}\mathrm{logit}y$

อนุพันธ์อันดับ 1 และ 2 คือ

$\begin{array}{cc}{{\varsigma }_a}^{\prime }(x)& =\frac{a{e}^{-ax}}{(1+e^{-ax}{)}^2}=a{\varsigma }_a(x)\{1-{\varsigma }_a(x)\}\\ {{\varsigma }_a}^{″}(x)& =a^2{\varsigma }_a(x)\{1-{\varsigma }_a(x)\}\{1-2{\varsigma }_a(x)\}\end{array}$

ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปอย่างง่ายโดยใช้ฟังก์ชันซิกมอยด์เอง

เมื่อเข้าฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติแล้วหาอนุพันธ์จะได้เป็นดังนี้

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\ln ({\varsigma }_a(x))& =a{\varsigma }_a(-x)=a(1-{\varsigma }_a(x))\\ \frac{d}{dx}\ln (1-{\varsigma }_a(x))& =-a{\varsigma }_a(x)\end{array}$